1.2.6 Обобщенные модели случайных процессов (по Пугачеву)

о

X(t) = mx(t)+ X (t) (1.108)

и описан моделью

да

X(t) = mx(t)+ S U kФ k (t) , (1.109)

k = 1

где: Uk - коэффициенты разложения случайной величины;

57

Ф k(t) - координатные, детерминированные функции.

В качестве критерия адекватности модели исследуемому сигналу можно взять критерий минимума среднеквадратической погрешности

A =M[{ XH(t)-X(t)}2] = min (1.110)

да

M[XM(t)] = M[mx(t)]+ S M [U k ]ф k (t) (1.111)

k = 1

Чтобы обеспечить равенство математических ожиданий модели и сигнала необходимо, чтобы сумма равнялась нулю. Это возможно, когда все случайные величины Uk центрированы. Дальнейшее построение модели сводится к отысканию Uk.

A =min

о

Xм (t)= S U kф k (t) (1.112)

k = 1

. о о 2

A =M[{ XM (t)- X(t)}2]=min. (1.113)

д A

Это выполняется при д ф k (t ) =0,

о

д A о о д Хм

или дф k (t) =M[{ XM(t)- X (t)} дф k (t) ]=°.

о

Но irr^frv =Uk,

д Хм дф k (t)

M[{ X M (t)- X (t)}Uk ]=0,

отсюда

M[Хм (t)Uk]=M[X (t)Uk] (1.114)

да

S M [U mU k] Ф m (t) = M[ X (t)Uk]k=0,1,... да (1.115) m = 1

Это нереально, поэтому кроме требования центрированности, накладываем еще одно условие

о о

M[ Um (t) U k (t)]=Rm,k.

Для того, чтобы избежать необходимости решать систему уравнений, потребуем выполнения условия ортогональности

k

(1.116)

Rm,k

Dk,m = 0, m * k

то есть случайные величины U должны быть некоррелированными.

2

о

U

M

k

=Dk

о

DkФk(t) =M[UkX (t)], k=1,2,3,... (1.117)

Вместо системы уравнений получаем совокупность уравнений, каждое из которых имеет единственное неизвестное. Определяем координатные функции

M [U k X (t)] ф k(t) = DT (1.118)

при известной дисперсии.

Или наоборот, задаваясь координатными функциями, отыскиваем дисперсии

M [и k X П)] (1119)

Dk" ф k(t) (1119)

Вывод: любой случайный процесс X(t) можно описать моделью

X^t) = mx(t)+ I U kФ k(t)

k = 1

причем математические ожидания модели и сигнала должны совпадать, а коэффициенты разложения представляют центрированные и некоррелированные случайные величины.

Dkф k(t) =M[UkX (t)].

Так как Dkф k(t) Ф0, то и M[UkX (t)] Ф0, следовательно, любой коэффициент разложения должен быть коррелирован с самим сигналом X(t).

Вычислим минимальное значение среднеквадратической погрешности.

Итак, центрированная модель имеет вид

X (t)= I u k ф k(t).

k =1

Среднеквадратическая погрешность определяется выражением

A =M[{XM (t)-X (t)}2].

Или

о2 о о о

A =M[ X М (t)]-2M[ X м (t) X (t)]+M[ X 2(t)]

причем последнее слагаемое равно дисперсии исследуемого сигнала.

о 2 N N N 2

X М (t)= I I Ф k(t^ m (t)M [U kU m ] = I Dk ф 2k(t)

k=1 m =1 k=1

о о ^ о

XM (t) X (t)= I U k ф k(t)X(t),

k = 1

о о ^ о

M[ X м (t)X (t)]= I ф k (t)M [U k X(t)],

k =1

но

о N 2

M[Uk X (t)]= I Dk ф k(t), то есть k =1

0 0 N 2

M[XM (t)X (t)]= I Dkфk(t),

k =1

NN

Amin=Dx(t)-2 I Dkфk(t) + I Dkф2k(t),

k =1 k =1

N2

A mrn=Dx(t)- I Dk ф k(t) (1.120)

k =1

Отсюда видно, что среднеквадратическая погрешность

60

убывает до нуля, когда N стремится к бесконечности.

IN ф2

Выражение I Dkфk(t) , будем считать дисперсией модели. k =1

Минимальную среднеквадратическую погрешность чисто формально можно представить в виде

N

A mrn={Rx(t, t1)- I Dk ф k(t)Ф k(t1) }| (1.121)

k =1

где: Я^Д^-АКФ сигнала. Отсюда можно предположить, что N

I Dk ф k(t)Ф k(t1) = Rм(t, t1) - АКФ модели. k =1

Обратимся к модели и найдем ее функцию корреляции:

0 0 NN

RM(VI)=M[XM (t)X (ti)]=M[ Z Z фk(t)9m(t1)U kU m =

k=1 m =1

N N N

= Z Z ф2(t)фm(t1)M[U2Um] = Z Э2Ф2(t)фk(ti) (1.122)

k=1 m=1 k=1

то есть наше предположение о виде АКФ модели верно.

Таким образом, минимум среднеквадратической погрешности определяется выражением

A mm={Rx(t, ti)- RM(t,ti)}|t =t1 (1.123)

Выводы :

В качестве модели АКФ случайного процесса можно брать ее каноническую модель :

N

RM(t, ti)= Z Dk Ф k(t№ k(t1),

k =1

и чем точнее модель АКФ, тем точнее будет модель самого сигнала.

Из выражения для канонической модели АКФ вытекает каноническая модель сигнала, и для построения последней необходимо предварительно синтезировать каноническую модель

его функции корреляции.