5 Замечательные пределы

Обычно замечательными пределами называют:

1) - замечательный тригонометрический предел.

2) - замечательный показательно – степенной предел.

3) - замечательный логарифмический предел.

4) - замечательный показательный предел.

5) - замечательный степенной предел.

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

Второй замечательный предел

Доказательство второго замечательного предела:

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, т.е. докажем, что . Рассмотрим два случая:

Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n = [x] - это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

2. Пусть .

Из двух этих случаев вытекает, что для любого x.

Следствия

Доказательство следствия

Следствия из второго замечательного предела:

Замечательный логарифмический предел

Доказательство предела

Замечательный показательный предел

Следствия

для ,

Доказательство предела

Доказательство следствия

Замечательный степенной предел

Доказательство предела