1.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБУЧЕНИЯ
Преимущество метода математического моделирования в том, что модели проще и удобнее исследовать, с ними можно проводить эксперименты, постановка которых на учащихся может оказаться неоправданной или дать отрицательный результат.
Модели логичны и формализованы; это позволяет однозначно исследовать факторы, определяющие ха-рактеристики исследуемого процесса. Метод моделирования предполагает абстрагирование от конкретной природы явления, составление системы описывающих его уравнений, проведение вычислительного эксперимента, интерпретацию его результатов, обратный переход от математической идеализации к реальному объекту.? Будем исходить из того, что учебный материал состоит из равных по сложности независимых элементов. Например, учащийся в течение года пытается запомнить пятьсот слов иностранного языка, или изучить факты, составляющие основу курса химии и т.д. Одновременно с обучением, приводящим к росту уровня знаний происходит уменьшение количества знаний вследствие забывания. В основу простейшей модели процесса обучения положим принципы:Процесс обучения есть сумма научения, то есть усвоения знаний, и забывания. Скорость изменения количества знаний учащегося равна алгебраической сумме скорости усвоения dZy/dt > О и скорости забывания dZ^jdt < 0: dZ/dt — dZy/dt + dZ^jdt.
Скорость уменьшения знаний вследствие забывания про-порциональна количеству знаний учащихся: dZ^jdt — —7где 7 — коэффициент забывания. Исследования подтверждают, что сразу после окончания обучения скорость забывания велика, а с течением времени она уменьшается, оставаясь пропорциональной количеству знаний. Если же ученик по данному вопросу ничего не знает, то ему нечего забывать.
"Нужно иметь в голове множество разнообразнейших идей, чтобы родить одну хорошую".
Л. Мерсье
Разобьем учебный процесс на интервалы длительностью т и будем считать, что внутри каждого такого интервала учебный материал распределен равномерно, то есть скорость поступления информации к учащемуся остается постоянной:
v = dl/dt = const.
Тогда:dZy dl dZ3 „ dZ dZv dZ3
—= — = v и —— = —/yZ, —— = —-1 H — = v — 7 Z.
dt dt dt dt dt dt 1
Пусть в момент to = 0 количество знаний равно Zq. Получаем:
z t
Zo о
В качестве примера рассмотрим конкретный случай: модель формирования эмпирических знаний по физике. Все факты, изучаемые в школе, разделим на три категории: 1) факты, которые могут быть установлены экспериментально в повседневной жизни; 2) факты, которые могут быть установлены экспериментально в условиях обучения, но не устанавливаются учащимися в повседневной жизни; 3) факты, которые невозможно установить в условиях обучения. Проанализируем школьный учебник физики и определим количества фактов к-ой категорий в каждом г-ом учебном году (k = 1, 2,3, і = 1, 2,..., 11). Они равны значениям скоростей поступления эмпирической информации v^ в единицах измерения факт/год.
Пусть в начальный момент времени количество знаний учащегося равно нулю. Выберем величину г, равную 1 учебному году. Напишем компьютерную программу, которая, исходя из коэффициентов забывания 71,72,73 и значений Vik, по выведенной выше формуле вычисляла бы количество знаний среднестатистического учащегося в конце (і + 1 )-го учебного года.
Протестируем выпускников школы и определим уровень знаний фактов пер-вой, второй и третьей категорий как отношение числа заданных вопросов N к числу правильных ответов п: К = n/N. Согласование математической модели с результатами тестирования сводится к определению таких значений 7ъ7257з5 ПРИ которых коэффициенты сформированности эмпирических знаний К'к для фактов различных категорий к = 1,2,3, предсказываемые моделью, максимально близки к соответствующим значениям Kk, полученным при тестировании. Искомые коэффициенты забывания равны 71 = 0,090 лет-1,72 = 0,49 лет-1,7з = 1,5 лет-1. Соответствующие значения периода забывания половины информации Т\— 7, 7 лет, Т2 = 1,4 года, Т3 = 0,46 лет.
Все это позволяет построить графики зависимостей количества знаний фактов k-ой категорий (k = 1,2,3J от времени (рис. 1.3). Видно, что уровень знаний фактов первой категории плавно возрастает до некоторого значения, а затем остается практически неизменным. Уровни знаний фактов второй и третьей категорий плавно возрастают, в конце обучения достигают максимума, а затем уменьшаются из-за забывания. Анализ этой модели представлен в книге Майера Р.В. "Исследование процесса формирования эмпирических знаний по физике".