Математические модели

Мы рассмотрим далее математические модели только с одной точки зрения: их непосредственной применимости для решения проблемы выбора в уникальных ситуациях.

Математические модели издавна использовались физиками для описания основных свойств объективно существующего мира. Модели менялись с углублением знаний о наблюдаемых явлениях, но каждый раз существовало общепринятое средство их проверки — эксперимент.

У инженеров модели используются при конструировании сложных искусственных объектов. Так, при расчете систем автоматического управления ракетой ис-пользуются дифференциальные уравнения, описывающие ее поведение. На основе этих уравнений делается расчет, определяющий, каким должен быть регулятор,

за Предиршп ия Склады Мощности 1 2 ... т 1 х12 1 ах 2 | I Г21 1 *22 1 1 1 (*2 1 1 1 1 1 1 1 1 ,,„„ 1 ап Потребности ^ 1 ft, 1 h 1 1 ь» 1 Гне. 2

чтобы движение ракеты было устойчивым, удовлетворяло совокупности заданных требований, либо было оптимальным по заданным критериям.

Общим в рассматриваемых случаях является взгляд на модель как на способ описания объективно существующих явлений, поддающийся проверке при эксперименте.

Несколько иной тип моделей принесло с собой исследование операций. Исследование операций использует общую схему системного подхода. В качестве вспомогательного средства сравнения альтернатив в ней применяются математические модели. В отличие от физических и инженерных моделей в исследовании операций модели описывают поведение систем, включающих в себя во многих случаях коллективы людей. При этом предполагается, что люди ведут себя определенным ра-циональным образом, который может быть адекватно описан. Критерий сравнения альтернатив (критерий оптимизации) обычно рассматривается как единственный и очевидный. В данном случае модель отражает веру исследователя, что данная ситуация определяет именно это, а не другое поведение людей, и что в этом плане описание приближается к объективному.

Рассмотрим, например, так называемую трапспорт- пую задачу (рис. 2), характерную для задач исследования операций.

Цмеются предприятия и оптовые склады. Известны перечни заявок каждого склада и мощности предприятий. Кроме того, известны транспортные расходы по доставке продукции с каждого предприятия на "каждый склад. Требуется распределить поставляемую предприятиями продукцию таким образом, чтобы минимизировать общие транспортные расходы.

Эта модель отражает объективно существующую реальность; критерий напрашивается сам собой (если, конечно, не учитывать дополнительные факторы как, на-пример, надежность поставок). То же самое можно сказать про большинство моделей, применяющихся в экономических задачах.

Успехи в применении исследования операций привели, в частности, и к тому, чго подобные модели стали использовать в ситуациях, принципиально отличающихся от приведенной выше транспортной задачи.

Рассмотрим, например, модели, используемые в задачах выбора проектов научных исследований.

Вероят- Всроят- Годовой Цена оди- Период ность ность объем - ницы > сюйчи-

научного X коммер- X продаж X и роду u- X во го сбы- Пока- успеха чесного . ціш та (лет)

ватель успеха

при-

быль-

нос ги Стоимость нее л о- Издержки в пери- Издержки, связаи- довашш и разра- , од производствен-, ные с продвиже- боток Тно-технического 'ином товаров иа

освоения рынок

Показатель прибыльности, выражающий ценность проекта, действительно, зависит от указанных выше факторов. Но он зависит еще и от многих других переменных, ие включенных в данную формулу, таких как, например, квалификация предполагаемых исполнителей проекта. Вид зависимостей между включенными в формулу переменными объективно не определен: ясно лишь, что один из них увеличивают ценность проекта, а другие уменьшают ее. Недаром существует множество подобных зависимостей — нет объективных оснований выделить какую-то из них. Данная модель отражает лишь веру руководителя какой-то организации, чю отбор проектов должен производиться на основе приведенной зависимости.

В подобных случаях руководитель с его свободпой а принятии решений является неотъемлемой составляющей рассматриваемой ситуации. Исключение его из рассмотрения, попытка рассмотрения ситуации выбора как «объективно существующей» приводит к крайней ненадежности результатов при использовании математических моделей.

Как видим, существуют различные типы проблем. Наиболее подходящей для наших целей является классификация, предложенная Г. Саймоном 16, согласно которой все проблемы подразделяются на три класса:

хорошо структуризованные или количественно сформулированные проблемы, в которых существенные зависимости выяснены настолько хорошо, что они могут быть выражены в числах или символах, получающих в конце концов численные оценки;

неструктуризованные или качественно выраженные проблемы, содержащие лишь описание важнейших ресурсов, признаков и характеристик, количественные зависимости между которыми совершенно неизвестны;

слабо структуризованные пли смешанные проблемы, которые содержат как качественные, так и количественные элементы, причем качественные, малоизвестные п неопределенные стороны проблем имеют тенденцию доминировать.

Хотя эта классификация не является устоявшейся, л некоторые проблемы могут со временем пзменить свою принадлежность к определенному классу, она позволяет понять многое.

Прежде всего отметим, что упоминавшиеся выше методы исследования операций предназначены для хорошо структуризованных проблем. Слова «хорошо струк-туризованные проблемы» совсем не означают, что эти проблемы легки.

Большинство неструкгуризоваииых проблем решается эвристическими методами, в которых отсутствует какая-либо упорядоченная логическая процедура отыскания решения, а сам метод целиком зависит от личности исследователя, решающего задачу. Чаще всего это мето-

Ды интуитивных догадок, основанных на прошлом опыте, методы, о которых сам человек честно говорит: «1 fе знаю как, но я могу это сделать».

Между классами хорошо структурированных и не- структуризованныч находится класс слабоструктурисованных проблем. Согласно принятым определениям 17, к типичным слабоструктуризованным проблемам относятся проблемы, обладающие следующими особенностями:

принимаемые решения относятся к будущему;

имеется широкий диапазон альтернатив;

решения зависят от текущей неполноты технологических достижений;

применяемые решения требуют больших вложений ресурсов и содержат элементы риска;

неполностью определены требования, относящиеся к стоимости и времени решения проблемы;

проблема внутренне сложна вследствие того, что для ее решения необходимо комбинирование различных ресурсов.

Если сравнить эти особенности с особенностями проблем выбора в уникальных ситуациях, станет ясной их идентичность. Следовательно, проблемы выбора в уникальных ситуациях являются слабоструктурпзованнымп.

Важнейшая особенность слабоструктурнзованных проблем заключается в том, что их модель может быть построена только на основании дополнительной информации, получаемой от человека, участвующего в решении проблемы. При этом исчезает почва для построения беспристрастных, объективных моделей. Непонимание этого обстоятельства явилось причиной неудач в применении многих «объективных» математических моделей.

Многие системы, включающие в себя людей, очень трудны для изучения.

Так как граница между классами хорошо- и слабоструктурнзованных систем пе является четкой п однозначной, некоторые исследователи наряду с общей схемой системного подхода использовали и «объективные» математические модели. Так появились модели сложных человеческих систем — здравоохранения, воспитания п т. д. Записанные в математическом виде взаимосвязи не стали более объективными, однако некоторые исследователи искрение верили, что можно построить объективную модель сложных социальных систем. Так, известный американский ученый, профессор Дж. Форрестер пишет: «Наши социальные сисъемы несравненно более сложны и труднопоннмаемы, чем технологические. Почему же тогда мы не используем аналогичный подход создания моделей социальных систем и проведения лабораторных экспериментов на них перед тем, как опробовать новые законы и программы в жизни?» И далее: «Сейчас имеется возможность конструировать модели социальных систем. Конечно, такие модели являются упрощением реальных социальных систем, но они могут быть значительно более понятными, чем прежние под-ходы».18

Друїие ученые не столь категоричны, понимая, что при построении моделей вносятся и субъективные оценки. 11о часто модель начинала жить своей жизнью независимо от намерений ее создателя, выступая как нечто, представляющее реальную ситуацию. Между тем многие зависимости в сложных моделях отражают веру групп (иногда многочисленных) людей, что связи между определенными параметрами имеют такой-то (а не иной) вид, что причинно-следственные зависимости, выхваченные из реальной жизни, остаются справедливыми и в модели.

В известной модели мировой динамики Дж. Форре- стера и Д. Медоуза используются пять основных переменных: ресурсы, население, уровень жизни, капиталовложения, загрязнение среды.

Конечно, математические модели сложных человеческих систем могут разрабатываться пе только для целей принятия решений. Они могут служить средством лучшего понимания таких систем. Если же говорить о проблемах уникального выбора, то абсолютпо ясно, что сами математические модели пе могут давать наиболее су-щественную часть информации, необходимую для принятия решений.

Как справедливо отмечает американский ученый Дж. Шлеспнжер, «применимость методов исследования операций зависит от выполнения следующих условий: критерий (цель) может быть точно определен; может быть построена формальная модель, выражающая связи между критерием, переменными и существующими ограничениями; имеется достаточная количественная информация, позволяющая провести разумное определение параметров. На практике наиболее вероятно выполнение этих условий тта нижнем уровне, для технических и повторяющихся функций, иными словами — в узких оперативных, а не в широких политических решениях»20.

Существует множество проблем уникального выбора, для которых в последние 10—20 лет были построены «объективные» математические модели. В большинстве случаев эти модели остались без всякого применения. 11, возможно, потому, что, как сказал известный американский экономист В. Леонтьев, «недостаток фактических знаний об условиях, существующих в реальном мире, заставляет авторов моделей основывать многие, если не все, общие заключения на различных априорных допущениях, выбранных из-за их удобсів, а не из-за их отношения к наблюдаемым фактам»21.