§ 5. Три способа определения движения точки

Движение точки можно определить тремя способами: векторным, координатным и естественным. 1. Векторный способ. Положение точки можно определить с помощью радиуса-вектора г, проведенного из некоторой заданной неподвижной точки О в данную точку М При движении точки радиус-вектор г изменяется по величине и направлению Каждому моменту времени г соответствует свое значение г.

Следовательно, г является функцией времени г: г = г (t) Функцию г (t) полагают однозначной, так как рассматриваемая точка М в данный момент времени может находиться только в одном месте пространства Кроме этого г (t) должна быть непрерывной функцией. В большинстве задач механики функция г (t) является Дважды дифференцируемой функцией времени t. Уравнение (11.1) называется кинематическим уравнением движения точки в векторной форме. Это уравнение выражает также закон движения точки, и в векторной форме выражает уравнение траектории точки. При движении точки конец вектора г движется по траектории. Геометрическое место концов переменного вектора при фиксированной точке их приложения называется годографом («годос» по-гречески — путь, «граф» — описывать). Следовательно, траектория точки является годографом радиуса-вектора г. 2. Координатный способ. Этот способ определения движения точки состоит в том, что задаются координаты точки как функции времени, т. е. х=х(t), у = у(t), z = z(t) Между векторным и координатным способами задания движения точки существует следующая связь:

r=ix+jy+kz

где i,j,k — орты (или единичные векторы), соответственно направленные по осям координат Ох, Оу, Оz.

На том же основании, что и г (t), функции х(t), у(t), z (t) являются однозначными, непрерывными, допускающими непрерывные производные.

Уравнения (П.2) являются уравнением траектории в параметрической форме. Исключая из уравнений (П.2) параметр t, получаем уравнение траектории в явной форме.

Если движение точки задано в полярных координатах г=г(t), φ = φ(t), где г — полярный радиус, φ — угол между полярной осью и полярным радиусом, то уравнения (П.4) выражают уравнение траектории точки. Исключив параметр t, получим г = г(φ). 3. Естественный способ. Если траектория точки известна заранее, то для определения закона движения точки в пространстве достаточно задать положение точки на ее траектории. С этой целью одну из точек О на траектории принимают за начало отсчета дуговых координат, так как положение движущейся точки М определяется ее ориентированным расстоянием, которое отсчитывается по дуге траектории от выбранной точки отсчета (рис. 36). Следовательно, является функцией времени: s = s(t). Уравнение (11.6) определяет закон движения точки по траектории или закон изменения расстояния. Функция s= s (t) должна быть однозначной, непрерывной и дифференцируемой. За положительное направление отсчета дуговой координаты s принимают направление движения точки в момент, когда она занимает положение О. следует помнить, что уравнение (11.6) не определяет закон движения точки в пространстве, так как для определения положения точки в пространстве нужно знать еще траекторию точки с начальным положением точки на ней и фиксированное положительное направление. Таким образом, движение точки считается заданным естественным способом, если известна траектория и уравнение (или закон) движения точки по траектории. Важно заметить, что дуговая координата точки s отлична от пройденного точкой по траектории пути σ. При своем движении точка проходит некоторый путь σ, которой является функцией времени t. Однако пройденный путь σ совпадает с расстоянием s лишь тогда, когда функция s = s(t) монотонно изменяется со временем, т.е. при движении точки в одном направлении. Допустим, что точка М переходит из М в М.