3. 1. Первая задача динамики

Зная массу точки и ее уравнение движения, можно найти действующую на точку силу.

А. Уравнения движения точки в декартовых координатах

Действительно, если заданы уравнения движения точки в декартовой системе координат

,

то проекции силы на оси координат определяются из уравнений (1.2)

(1.3)

Зная проекции силы на координатные оси, легко определить модуль силы и направляющие косинусы углов силы с осями координат.

Пример 1. Груз спускается вниз по шероховатой наклонной плоскости, расположенной под углом  к горизонту, двигаясь согласно уравнению . Определить модуль силы трения скольжения груза о плоскость.

Решение. Совместим ось x c направлением движения тела. К грузу приложены три силы: сила трения , реакция поверхности и вес тела (рис. 1.1).

Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х:

. (а)

Так как , то , уравнение (а) примет вид

,

откуда

.

Следует отметить, что решение накладывает ограничения на условия задачи и справедливо только, когда

Пример 2. Материальная точка массы m движется согласно уравнениям , . Определить силу , вызывающую это движение, если известно, что сила зависит только от положения точки, т.е. .

Решение. Уравнение траектории движения, согласно заданным уравнениям движения: , т. е. точка вращается по окружности против часовой стрелки (рис. 1.2). Совместим систему координат с центром окружности и составим уравнение (1.3) в проекциях на оси получим:

Модуль силы

,

где r – модуль радиус-вектора материальной точки (рис. 1.2).

Направление силы определяем по направляющим косинусам:

.

.

Так как величины и определяют углы, образуемые соответственно осями х и у с радиус-вектором , то сила направлена от точке М к центру окружности (рис. 1.2).

Б. Естественные уравнения движения

Если точка движется по известной траектории, радиус кривизны которой известен, то следует использовать в качестве системы координат оси естественного трехгранника (трехгранник Френе). Такие оси, как известно из кинематики, называются естественными осями координат . Проекции ускорения точки на естественные оси имеют вид

.

Обозначая проекции сил на естественные оси через , , , получим закон движения материальной точки в проекциях на эти оси

(1.4)

Из этих уравнений видно, что > 0 и = 0. Таким образом, сила, действующая на материальную точку, всегда расположена в соприкасающейся плоскости к траектории движения точки и направлена в сторону вогнутости траектории.

Пример 3. Вездеход массой 2000 кг движется по оврагу с постоянной скоростью . Определить давление вездехода на дно оврага, когда радиус кривизны . Силой сопротивления движению пренебречь.

Решение. Примем вездеход за материальную точку, тогда на нее действуют две силы: вес и реакция грунта (рис. 1.3).

Составим уравнения (1.4), учитывая, что поскольку .

Закон движения точки примет вид

,

.

Откуда

Здесь учтено, что

.

Отметим, что давление вездехода на дно оврага больше его веса . Следовательно, чтобы уменьшить давление на грунт, необходимо снизить скорость.

Если вездеход будет двигаться по холму (рис. 1.4), то направление нормальной составляющей ускорения будет совпадать с направлением веса вездехода .

Тогда

,

.

В этом случае давление вездехода на грунт будет меньше веса. Следовательно, для уменьшения давления на грунт нужно увеличить скорость.

Из примеров видно, что первая задача динамики сводится к чисто кинематическим расчетам.

1.