2. 6. Моменты инерции относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса-Штейнера

Существует простая связь между моментами инерции тела относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса-Штейнера), одна из которых проходит через центр масс.

Теорема. Момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции тела относительно оси , проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояний между осями:

, (2.13)

где М – масса тела, d – расстояние между двумя параллельными осями.

Пусть оси и параллельны, причем ось проходит через точку С – центр масс тела.

Возьмем начало координат в точке С, совместим ось z с осью , а ось у направим так, чтобы она пересекала оси и (рис. 2.5).

Выделим в теле произвольный элемент массой dm и опустим из него перпендикуляры на оси z и , обозначив их соответственно h и . Согласно определению осевых моментов инерции моментов (2.7), будем иметь

.

По теореме косинусов (рис.2.5) найдем , однако , где у – координата элемента, тогда

.

Подставим полученное выражение в формулу (2.13), определяющую момент инерции :

.

Первый интеграл равен по определению, второй – массе тела М, а третий – нулю: , поскольку начало координат совпадает с центром масс. Следовательно,

.

Эта формула широко используется в практических расчетах при определении моментов инерции тел относительно осей, не проходящих через центр масс. Применяя метод разбиения, с помощью этой формулы можно определять осевые моменты инерции тел сложной формы.

Установим формулы для центробежных моментов инерции, аналогичные (2.13). Рассмотрим две системы координат с взаимно параллельными осями и Сxyz, где С-центр масс тела (рис. 2.6). Обозначим через a,b,c координаты точки С в системе Тогда формулы перехода от одной системы координат к другой будут иметь вид

Рис. 2.6

По определению центробежных моментов инерции имеем

или, раскрывая скобки, группируя члены и вынося постоянные множители за знак интеграла,

Первый интеграл равен массе тела М, второй и третий равны нулю (они соответственно определяют положение центров тяжести ), а последний равен по определению. Таким образом, имеем (две другие формулы получены аналогично)

(2.14)