§ 2. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси под дей­ствием внешних сил F1, F2,…,Fn (рис. 114). В этом случае тело имеет одну степень свободы (k =1) и за обобщен­ную координату примем угол поворота (q=φ).

Кинетическая энергия тела будет

где Iz — момент инерции тела относительно оси вра­щения z.

Обобщенную силу Q найдем из формулы

где Мz — главный момент приложенных к телу внешних сил отно­сительно оси z. Имеем

Q=Mz.

Подставляя в уравнение Лагранжа

получим дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

I2Ф = М2. | Ш.218

Предлагаем читателю самостоятельно вывести дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвиж­ной оси на основании теоремы об изменении кинетического момента

где по (111.97) Lz=Izω