13. Логические парадоксы

Задача о пленнике, который заявил, что он будет сожжен заживо (задача 6 из гл. 12), дает пример порочного круга.

Если мы предположим, что это утверждение истин­но, то придем к заключению, что оно ложно.

Можно привести многочисленные примеры рассуж­дений подобного типа.

ВСЕ КРИТЯНЕ — ЛЖЕЦЫ

Один из наиболее древних парадоксов такого типа восходит к античности.

Речь идет об утверждении: «Все критяне — лжецы».

Это невинное на первый взгляд утверждение не заслуживает особого внимания, если его произнесет иностранец. Действительно, здесь возникают две оче­видные гипотезы:

либо все критяне действительно лжецы, и в этом случае утверждение истинно;

либо не все критяне лжецы, и тогда оно ложно.

Дело усложнится, если эту фразу скажет житель Крита. Действительно, если это утверждение истинно и все критяне — лжецы, то сам автор высказывания тоже лжец, а значит, он не мог сказать правду и наше утверждение ложно. Если же это высказыва­ние ложно и критяне не лжецы, то наше высказы­вание должно быть истинным. Как и в предыдущем случае, мы получаем порочный круг.

Однако такое рассуждение не точно. В самом деле, ведь ложность утверждения «все критяне — лжецы» вовсе не означает, что «все критяне не лгут»,— возможно, что всего лишь «не все критяне лгут».

Поэтому данный житель Крита солгал. Но здесь нет никакого парадокса, ибо каждый отдельно взятый житель Крита может как солгать, так и сказать правду.

В некоторых логических задачах, как, например, в задаче про «дверь свободы» (задача 12, гл. 12), встречаются чисто сказочные персонажи: одни из них всегда говорят только правду, другие же постоянно лгут. Подобного рода оговорки подразумеваются и в парадоксе с Критянами — и лишь тогда мы получаем в самом деле парадокс.

Парадокс с критянами можно объяснить и по-дру­гому.

В обществе, все члены которого постоянно лгут, никто никогда не скажет, что члены этого общества постоянно лгут, поскольку это правда.

Если все критяне — лжецы и их попросят сказать свое мнение на эту тему, то они дружно ответят, что все критяне говорят только правду. Тем более критяне скажут, что все они говорят правду, если это действительно так. Поэтому само утверждение, что критянин сказал «все критяне — лжецы», невозможно.

Мы видим, что даже относительно простое утвержде­ние может таить в себе свое отрицание, может приво­дить к «противоречию».

Этот момент становится особенно важным в мате­матике и логике, где рассуждения проводятся лишь в рамках непротиворечивых теорий. Как только в теории обнаружатся два «доказуемых» противоречивых пред­ложения (т. е. предложение Л, которое оказывается истинным вместе со своим отрицанием — предложением «не Л»), все здание теории рушится. В частности, логические рассуждения, используемые в противоре­чивой теории, не приводят ни к чему.

У ВСЯКОГО ПРАВИЛА ЕСТЬ ИСКЛЮЧЕНИЕ

У всякого правила есть исключение.

Но предыдущее утверждение — правило.

Значит, у него есть исключение.

Следовательно, не у всякого правила есть исклю­чение.

Четыре предыдущие фразы противоречивы. Мы на­чинаем с некоего утверждения и приходим к его отри­цанию.

В чем причина этого противоречия? Она в начальной фразе «у всякого правила есть исключение». Можно сделать вывод, что это утверждение заведомо ложно.

В самом деле, если это утверждение истинно, то мы приходим к тому, что оно ложно. Напротив, если это утверждение ложно, то, значит, есть правила, у которых нет исключений, и мы не получаем никакого противо­речия.

Таким образом, истина состоит в том, что имеются правила, у которых нет исключений.

ДАННОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ ЛОЖНО

Мы довольно легко проанализировали два преды­дущих парадокса и нашли, где скрывается истина. Но гораздо большие тонкости содержатся в парадоксе: «Данное утверждение ложно».

Мы можем рассмотреть две гипотезы:

либо данное утверждение ложно; но поскольку оно

ложно, то получается, что оно истинно;

либо данное утверждение истинно.

ложно.

На этот раз нам не удастся избежать порочного круга. Если утверждение ложно, то оно истинно, а если оно истинно, то оно же ложно. Что можно вывести отсюда, кроме того, что данное утверждение не истинно и не ложно?

Возьмем другой пример:

Следующее утверждение ложно.

Следующее утверждение истинно.

Следующее утверждение ложно.

Следующее утверждение истинно.

Первое утверждение ложно.

Если первое утверждение истинно, то второе утверждение ложно. Но это значит, что ложно и третье утверждение. Следовательно, четвертое ут­верждение истинно — а значит, истинно и пятое утверждение, т. е. первое утверждение ложно.

Если же первое утверждение ложно, то второе, а значит, и третье утверждения истинны. В этом случае четвертое утверждение ложно, т. е. ложно и пятое утверждение,— а поэтому первое утверждение истинно.

Этот парадокс на первый взгляд более запутан, чем предыдущий, поскольку в нем содержатся пять утверждений вместо одного. Но он приводит к тому же выводу: начиная с утверждения А, которое мы

считаем истинным, мы приходим к выводу, что утверждение «не Л», т. е. отрицание Л, тоже истинно. Значит, множество наших утверждений противоречи­во — и из него нельзя вывести ничего путного.

Можно исследовать несколько простых примеров с утверждениями истинными, ложными или противо­речивыми.

Рассмотрим следующее утверждение: «Лошадь Жана — черная».

Возможно одно из двух: либо лошадь Жана действи­тельно черная, и тогда это утверждение истинно; либо же она не черная, и тогда наше утверждение ложно.

Но как обстоит дело с утверждением: «Черная лошадь Жана — белая»?

Первая часть этой фразы говорит нам о том, что лошадь Жана черная, а вторая часть — что эта лошадь белая.

Дабы избежать в этом парадоксе возможности прибегнуть к какой-нибудь увертке, добавим, что здесь речь не идет о черной лошади с белыми пятнами, и уточним наше утверждение следующим образом: «Совершенно черная лошадь Жана совершенно бела»

Хотя с точки зрения грамматики эта фраза состав­лена безукоризненно, логически она бессмысленна (противоречива).

Даже если лошадь Жана окажется белой, мы не можем сказать, что данное утверждение истинно, поскольку в нем речь идет о черной лошади. Но мы также не можем сказать, что оно ложно. Можно лишь заметить, что эта противоречивая фраза никакой информации нам добавить не может. Поэтому беспо­лезно обсуждать ее далее, над ней можно лишь посмеяться. Или сухо констатировать, что эта фраза внутренне противоречива,— вот и все.

К тому же типу принадлежит и фраза «данное утверждение ложно». Парадокс состоит в том, что это утверждение внутренне противоречиво; из него можно вывести с равным успехом и Л, и «не А».

Но почему именно противоречиво это утверждение?

Мы уже видели, что если все критяне — лжецы, то ни один из них не скажет, что все критяне — лжецы.

Точно так же никто, оставаясь в рамках строгой, привычной нам логики, не сформулирует противо­речивое утверждение.

Как в обычной жизни никто, находясь в здравом уме и твердой памяти, не скажет «черная лошадь Жана — белая», так и в мире логики никто не скажет «данное утверждение ложно». Парадокс основан лишь на том, что нелогичный характер этого утверждения менее очевиден, чем в случае с черной лошадью.

После этих предварительных примеров мы можем взяться за две более трудные задачи. Одна из них — это модифицированный вариант «двери свободы» (см. задачу 12 из гл. 12), а вторая — это так называе­мый «парадокс повешенного».

ДВЕРЬ СВОБОДЫ, НОВЫЙ ВАРИАНТ

В данном варианте султан помещает узника в темницу с двумя дверями — «дверь свободы» и «дверь рабства», но теперь вместе с узником находится лишь один человек — скажем, слуга султана.

Этот слуга либо всегда говорит правду, либо всегда лжет, либо иногда говорит правду, а иногда лжет. При этом слуга — аккуратист и логик; он всегда использует лишь строгие «логические» высказывания, для которых можно однозначно определить, истинно ли данное утверждение или ложно; противоречивыми высказываниями слуга никогда не пользуется.

Узник имеет право задать слуге один и только один вопрос.

Может ли он с уверенностью определить «дверь свободы», заранее, разумеется, не зная, лжет ли слуга или говорит правду?

В аналогичной задаче из предыдущей главы фигурировали двое слуг, один из которых всегда лгал, а другой всегда говорил правду. Поэтому утвержде­ние, которое делает один слуга, ссылаясь на другого, обязательно ложно.

Теперь у нас только один слуга. Поэтому каким бы ни был заданный вопрос, узник как будто никак не сможет определить, правдив ли ответ на этот воп­рос,— и, следовательно, не сможет определить «дверь свободы» с уверенностью.

Однако не следует торопиться. Нет ли ошибки в этом выводе? к обсуждению данной ситуации мы вернемся в конце главы.

ПАРАДОКС ПОВЕШЕННОГО

Одного человека приговорили к казни через повешение.

Однажды воскресным утром судья, который никогда не лгал, сказал ему: «Вы будете повешены в один из дней на следующей неделе. Когда именно вас повесят, вы узнаете только утром в день вашей казни».

Вернувшись в свою камеру, узник задумался и стал рассуждать следующим образом.

Меня не могут повесить в следующее воскресенье, поскольку в противном случае я буду знать об этом

не воскресным утром, а уже в субботу вечером — ведь других дней недели, кроме воскресенья, уже не останется. Но правдивый судья сказал, что я узнаю о дне казни только утром этого дня. Значит, меня никак не могут повесить в воскресенье; другими словами, последний день, когда может совершиться казнь,— это суббота. Но и в субботу меня повесить тоже не могут, ибо поскольку я знаю, что в воскре­сенье меня не повесят, то если в пятницу утром ко мне не придут с объявлением о казни, в пятницу вечером я буду твердо знать, что меня повесят в субботу. Однако правдивый судья сказал, что о дне казни я узнаю лишь утром дня казни, а не накануне вечером. Значит, в субботу меня повесить не могут — и последним возможным днем казни становится пятни­ца.

Так рассуждая, осужденный исключил последова­тельно пятницу, четверг, среду, затем вторник и, нако­нец, понедельник.

Мы столкнулись здесь с первым парадоксом: чело­век, который всегда говорит правду (судья), формули­рует предписание, выполнить которое невозможно.

Но история еще не закончена. На самом деле во вторник утром осужденного совершенно неожиданно для него предупредили, что его сегодня днем повесят. В силу сказанного выше он этого не ожидал — и, зна­чит, условие судьи было полностью выполнено. В то время как чисто логически приговор был невыполни­мым, в действительности именно из-за этой невыполни­мости его удалось выполнить, соблюдая названное чест­ным судьей условие. Этот парадокс, впервые сформули­рованный около тридцати лет назад, буквально утонул в море чернил. Для него было предложено много разных объяснений — но ни одно из них нельзя признать удовлетворительным.

Чтобы проанализировать этот парадокс, попытаем­ся поставить задачу более четко. Для этого мы дадим судье двух помощников: В (он в дальнейшем будет вытягивать шары) и О (этот будет открывать ящики с шарами). Кроме того, дабы поставить задачу во всей ее общности, отныне мы будем считать, что воз­можных дней казни имеется не 7, а п, где п — произ­вольное (целое положительное) число.

Прежде всего обсудим, как именно выбирает судья день казни.

Первый помощник судьи, В, ведает принадлежностя­ми, позволяющими выбирать день казни «случайным образом», а именно:

мешком, в котором находится один черный шар и п— 1 белых шаров (всего п шаров);

п закрытыми ящиками, пронумерованными от 1 до п.

Чтобы определить день казни, В вытягивает наудачу шары из мешка и помещает их последовательно в ящик 1, затем в ящик 2 и т. д.

После этого в дело вступает второй помощник судьи, О, который открывает сначала ящик 1, затем ящик 2 и т. д., пока не обнаружит черный шар. Если черный шар окажется, например, в ящике 6, то казнь совершится в шестой день.

Заметим, что эта новая задача не полностью экви­валентна предыдущей, поскольку ранее не говорилось, что судья выбирает день казни случайным образом. Но здесь речь идет о важном для нашего обсуждения моменте, который необходимо учесть, оговорив спе­циально, поступает или не поступает подобным образом судья при выборе дня казни.

Кроме того, нам также предстоит исследовать влия­ние числа п дней, в которые возможна казнь.

Можно заметить, что в первоначальной формули­ровке парадокса это число — а именно 7 — выбрано очень удачно.

Будь это число меньше, нам легче было бы разо­браться в решении. Будь оно слишком большим, это сделало бы менее очевидным сам парадокс.

Перед тем как начать довольно сложный анализ данного парадокса, уточним, что наши рассуждения не во всех случаях поведут читателя дорогой истины. Только раздел, озаглавленный «Решение парадокса», содержит рассуждение, представляющееся нам без­ошибочным.

Начнем со случая, когда есть лишь один день, в ко­торый возможна казнь. Задача в этом случае форму­лируется так:

судья всегда говорит правду;

судья говорит осужденному: вы будете повешены завтра;

судья говорит осужденному: вы не узнаете о дне сво­ей казни до завтрашнего утра.

Очевидно, что здесь второе и третье утверждения противоречивы. Парадокс в данном случае объясня­ется так же легко, как и в случае фразы «данное утверж­дение ложно». Речь просто идет об условии, сформули­рованном настолько противоречиво, что из него ничего нельзя вывести, поскольку правила логики здесь нару шены.

Обратимся в этом случае к языку шаров. Судья го> ворит осужденному: «В ящике лежит один черный шар; вы не узнаете, что в ящике лежит черный шар, пока не откроете ящик».

Вновь противоречие сразу бросается в глаза.

Вспомним теперь, как рассуждал приговоренный, чтобы сделать очевидными два вывода, которые три­виальны в рассматриваемом нами случае и которые будут повторены и далее, при рассмотрении общего случая.

Осужденный может сказать: судья, который всегда говорит правду, утверждает, что я не смогу узнать, где находится черный шар, до того, как открою ящик. Но это означает, что черного шара в ящике нет; в то же время тот же правдивый судья говорит, что черный шар там есть.

Первый вывод состоит в напоминании о том, что это рассуждение основано на одновременной «истинности» двух противоречивых утверждений, из которых нельзя вывести ровно ничего, кроме того, что информация наша ничего не стоит,— и, значит, черный шар может как быть в ящике, так и не быть.

Кроме того, обратимся к изложенному выше концу этой истории. Судья открывает ящик. Там лежит чер­ный шар. Осужденный не знал, лежит ли в ящике чер­ный шар или нет, ибо противоречивое высказывание судьи он вообще не мог никак учитывать. Значит, оба утверждения судьи оказались верными. Можно думать, что таким образом нам удалось избежать противоречия.

Именно потому, что утверждения судьи противоре­чивы, осужденный и не может сказать с уверенностью, есть ли в ящике черный шар или нет. И отсюда напра­шивается второй вывод: из трех основных утвержде­ний задачи именно первое оказывается ложным: судья не всегда говорит правду.

Получилось так, что на этот раз он сказал правду. Но поскольку он говорит ее не всегда, осужденный не может ничего вывести из двух утверждений судьи.

Ведь если предположить, что судья всегда говорит правду, то эти два утверждения становятся противоре­чивыми. Но поскольку судья не всегда говорит правду, в ящике может оказаться черный шар, а заключенный тем не менее не будет знать с уверенностью, так ли это или нет, т. е. слова судьи о том, что до того, как ящик будет открыт, подсудимый о его содержании не узна­ет,— это правда.

Исследуем теперь случай, когда возможных дней два, и, значит, мы будем иметь дело с двумя ящиками и двумя шарами — белым и черным.

Поскольку шары вытягиваются из мешка случайным образом, есть один шанс из двух, что черный шар ока­жется во втором ящике.

Если бы второй помощник, О, открывал оба ящика одновременно, судья мог бы, очевидно, сказать, что осужденный не узнает местоположение черного шара до того, как ящики будут открыты.

Но ящики открываются последовательно. Поэтому если в ящике 1 не окажется черного шара, то заключен­ный будет знать, что он лежит в ящике 2, еще до того, как этот ящик откроют.

Здесь снова условия задачи оказываются противо­речивыми.

В более общем виде мы можем рассуждать следую­щим образом.

Если п шаров вынимают случайным образом и по­мещают в п ящиков, то существует один шанс из п, что черный шар окажется в последнем ящике. Следователь­но, судья никак не может утверждать, что осужденный ни в коем случае не узнает, где находится черный шар, до того, как ящик с этим шаром не будет открыт. Усло­вия задачи вновь оказываются противоречивыми.

Напротив, если судья сам выбирает местоположение черного шара, то он может сформулировать свои утверж­дения непротиворечивым образом.

Например, при п = 365 судья может выбрать один из дней восемнадцатой недели, не давая осужденно­му никакого повода предпочесть этот день какому-либо другому.

В случае когда судья выбирает местоположение чер­ного шара сам, объяснение парадокса меняется в зави­симости от числа шаров.

В случае одного шара объяснение такое же, как и ра­нее: судья формулирует задачу с противоречивыми условиями, и более о ней нечего говорить, как нечего говорить о «черной лошади, которая является белой».

В случае двух шаров судья утверждает, что: в одном из двух ящиков лежит черный шар; два ящика будут открыты последовательно; осужденный не сможет узнать, где находится черный

шар, прежде чем не откроют ящик, где он лежит.

Осужденный тогда будет рассуждать следующим образом:

если черный шар находится в ящике 2, то я узнаю об этом до того, как откроют ящик 2, поскольку увижу белый шар в ящике 1;

значит, черный шар не может находиться в ящике 2;

следовательно, он находится в ящике 1;

но если он находится в ящике 1, то, значит, мне из­

вестно об этом до того, как этот ящик будет открыт.

Следовательно, предписание судьи невыполнимо.

В первоначальном варианте истории осужденный ре­шил, что его вообще никогда не повесят.

В данном примере его вывод состоит в том, что в двух ящиках вообще нет черного шара.

Что можно вывести отсюда? Что судья сформули­ровал противоречивое предписание? Что рассуждения приговоренного ложны? Данный пример особенно прост, поскольку есть только два ящика. Условия за­дачи не кажутся двусмысленными. Однако парадокс здесь все-таки возникает.

Условия судьи ясны. Предположим, что в них нет противоречия, и вновь шаг за шагом проследим за рас­суждениями приговоренного. Черный шар не может оказаться в ящике 2, поскольку в противном случае осужденный знал бы об этом до того, как откроют ящик 2, а именно сразу же после того, как будет открыт ящик 1

Поскольку судья говорит правду, в одном из ящиков находится черный шар. А поскольку речь никак не мо­жет идти о ящике 2, то, значит, речь должна идти о ящике 1.

Следовательно, осужденный заранее знает, что чер­ный шар находится в ящике 1. Но это противоречит третьему утверждению судьи; значит, условия задачи противоречивы.

Как и в случае п=1, решение парадокса состоит в том, что судья не всегда говорит правду. На этот раз его утверждения оказались справедливыми. Но посколь­ку он не всегда говорит правду, то осужденный не смо­жет построить свое рассуждение так, чтобы прийти к утверждению, истинность которого удалось бы устано­вить заранее.

Источник противоречия здесь приходится искать в утверждениях судьи.

О чем, строго говоря, идет речь? О событии, состоя­щем в том, что последовательно открывают два ящика, в которых находится один белый и один черный шар. Не известно, где именно находится каждый шар,— и мы хотели бы это обнаружить.

Местоположение шаров становится известным пос­ле вскрытия первого ящика. С этого момента интере­сующее нас событие можно считать полностью реали­зованным — а по смыслу задачи судья вынуждает осужденного делать предсказание после вскрытия пер­вого ящика, т. е. после того, как событие уже реали­зовалось.

Значит, поставленная судьей задача не имеет смысла.

Задержимся на этой стадии анализа, чтобы осо­знать крайнюю сложность рассматриваемого пара­докса.

Решение будет различно в зависимости от того, опре­деляется ли положение черного шара случайным обра­зом или выбирается судьей.

В первом случае условия задачи противоречивы.

Во втором случае, при п=1, условия задачи тоже противоречивы.

При п = 2 условия, поставленные судьей, не имеют смысла.

При п = 365 судья действительно может выбрать ящик, не давая осужденному возможности узнать его номер заранее, и, следовательно, ложны именно рас­суждения осужденного.

Подвергнем теперь столь же тщательному анализу случай, когда имеются три ящика.

Судья утверждает, что:

два белых и один черный шар находятся в трех ящиках, пронумерованных номерами от 1 до 3; эти ящи­ки открывают последовательно один за другим;

осужденный не сможет узнать, где именно находит­ся черный шар, до того, как будет открыт ящик, в ко­тором этот шар находится.

Пользуясь теми же рассуждениями, что и в исход­ном варианте задачи, осужденный делает вывод, что черный шар не может находиться ни в ящике 3, ни в ящике 2, ни, наконец, в ящике 1 — и, следовательно, что черного шара вообще нет ни в одном из ящиков.

Проанализируем это рассуждение, как и ранее, от­правляясь от предположения, что в утверждениях судьи нет противоречий, точнее говоря, считая, что в одном из трех ящиков действительно находится черный шар

Местоположение черного шара наверняка стано­вится известным после открытия ящика 2. Следова­тельно, судья не может положить черный шар в ящик 3 — и осужденному это известно.

Значит, судья может положить черный шар либо в ящик 1, либо в ящик 2.

Если он положит шар в ящик 2, то, после того как откроют ящик 1, все сведется к предыдущему случаю — и осужденному станет известно, что черный шар нахо­дится в ящике 2.

Обязан ли теперь судья положить черный шар в ящик 1? Если бы это было так, то мы вновь пришли бы к выводу, что это заранее известно осужденному,— и ус­ловия задачи окажутся противоречивыми.

Но проведенный таким образом анализ, совпадаю­щий с тем, который проводился в исходном варианте парадокса, не полон, ибо учитывает лишь рассужде­ния приговоренного к казни.

В случае когда осужденный знает, что судья говорит правду, он уверен, что черный шар не находится в ящи­ке 3. Поэтому в момент, когда ящик 1 уже открыт и в нем обнаружен белый шар, осужденному станет известно, что черный шар находится в ящике 2.

Но давайте рассмотрим момент перед тем, как от­кроют ящик 1. Что может сказать осужденный? Он зна­ет, что имеется черный шар и что он находится не в ящи­ке 3. Но может ли он утверждать, что этот шар ле­жит скорее в ящике 1, чем в ящике 2?

Предположим, что речь идет об игре с двумя участ­никами, одного из которых назовем «судьей», а дру­гого — «осужденным». Судья требует, чтобы осужден­ный предсказал, в каком из трех последовательно от­крываемых ящиков находится черный шар. Как пред­ставить себе эту игру? В начале партии, т. е. до откры­тия ящика 1, судья требует, чтобы осужденный сказал, где находится черный шар. Если осужденный укажет на ящик 1 и если его предсказание не подтвердится, то потребует ли судья нового предсказания (и так до тех пор, пока черный шар не будет найден) или мы будем считать, что осужденный проиграл партию и следует начать новую?

Другими словами:

Будет ли осужденный прежде всего утверждать, что черный шар находится в ящике 1?

Затем, если он ошибся, то позволит ли ему судья утверждать, что черный шар находится в ящике 2?

Наконец (почему бы и нет?), если это снова ока­жется неверным, то позволит ли судья ему утверждать, что черный шар находится в ящике 3?

В этом случае становится ясным решение парадокса, которое можно дать двумя разными способами:

1) условия задачи, поставленной судьей, двусмыс­ленны. Судья требует от осужденного, чтобы тот сфор­мулировал предсказание: уточняя, что осужденный не сможет определить положение черного шара, судья тре­бует, чтобы он его постарался найти. И он, по сути, поз­воляет ему делать то, что не имеет смысла,— форму­лировать многочисленные предсказания в случае, если первые окажутся ложными;

2) рассуждение приговоренного проходит только в том случае, если допустить, что он может делать мно­гочисленные последовательные проверки, касающиеся местоположения черного шара.

В самом деле, осужденный не может быть уверен, что черный шар находится в ящике 1, до того, как этот ящик будет открыт.

Окончательно, ключ к парадоксу двойствен: судья ставит задачу, условие которой с логической

точки зрения лишено смысла;

осужденный строит свои рассуждения, основываясь

на утверждениях судьи (которые, будучи алогичными, не могут привести ни к чему или, если вам так удобнее считать, могут привести к чему угодно), интерпретирует двумя различными способами слово «ожидаемый»; наконец, его рассуждения неполны.

Судья говорит, что событие будет «неожиданным». Но что мы понимаем под «ожидаемым»? Ожидаем ли мы, что черный шар окажется в некотором ящике, до того, как этот ящик будет открыт? Или мы ожидаем, что он находится в одном из ящиков, до того, как будет открыт первый ящик? Рассуждения приговоренного не­полны именно потому, что он не задумывался над во­просом о том, что происходит до того, как открывают первый ящик. Учитывая, что условия задачи, постав­ленной судьей, сами неполны и нелогичны, этот дефект рассуждений легко просмотреть.

Но ситуация существенно меняется, когда п доста­точно велико. Например, если число шаров равно 365, то задача, поставленная судьей, вполне осмысленна. Ее условия корректны и не противоречивы. Как мы уже говорили, ему достаточно, например, выбрать один из дней на восемнадцатой неделе (если перейти к назна­чению дня казни), чтобы три соответствующих утверж­дения стали справедливыми.

Напротив, рассуждения приговоренного, согласно которым черный шар не может оказаться на 365-м месте, затем на 364-м месте, затем на 363-м месте и т. д., лож­ны. Его рассуждения на самом деле приводят к выводу, что черный шар находится в ящике 1 и что там его и сле­дует ждать. Затем если в ящике 1 черного шара не ока­жется, то его следует ожидать в ящике 2, потом в ящи­ке 3 и т. д. Другими словами, осужденный не может точ­но сказать, есть ли в данном ящике черный шар, до того, как этот ящик будет открыт. Сумма соответствующих ожиданий приводит лишь к абсолютной уверенности в том, что черный шар находится в одном из 365 ящи­ков — но это-то мы ведь знали с самого начала.

Новая задача. Таким образом, мы оказались перед лицом новой проблемы. Когда число шаров мало, усло- 79

вия задачи, поставленной судьей, не имеют смысла.

Напротив, когда число шаров велико, условия по­ставленные судьей, имеют смысл, а неверными оказы­

ваются рассуждения приговоренного.

При каком числе шаров^[12] совершается переход от

первого случая ко второму?

Вторая задача. А теперь — вторая задача. После того как мы далеко продвинулись в изучении данного парадокса, после того как мы сочли его уже практиче­ски решенным, если мы попытаемся провести рассуж­дение по индукции, то вновь столкнемся с этим пара­доксом, возродившимся из пепла и еще более изощрен­ным, чем раньше.

Пусть мы уже показали, что при пг шарах задача, поставленная судьей, не имеет смысла. Что будет, если мы возьмем т+1 шар?

Приговоренный может рассуждать следующим об­разом:

если бы черный шар оказался в одном из m послед­них ящиков, задача, поставленная судьей, не имела бы смысла;

значит, если эта задача имеет смысл, черный шар должен оказаться в ящике 1;

итак, я знаю, что черный шар лежит в ящике 1; но это противоречит утверждению судьи, согласно которо­му я не смогу узнать, в каком ящике лежит черный шар, до того, как этот ящик будет открыт;

следовательно, и при числе шаров, равном т+1, условия задачи, поставленной судьей, противоречивы.

Но мы уже видели, что при п = 2 и п=3 задача, по­ставленная судьей, смысла не имеет. Значит, она не име­ет смысла ни для п = 4, ни для п = 5, 6, ... Таким обра­зом, мы приходим к выводу, что утверждения судьи про­тиворечивы и при п = 365,— а ранее мы говорили, что при этом значении п задача имеет смысл.

Третья задача. Не будем останавливаться на пути. Здесь решение как горизонт: чем ближе мы к нему под­ходим, тем более удаленным от нас оно нам кажется. Сейчас мы покажем, сформулировав по-иному вторую задачу, что ответ на первую задачу получить нельзя.

Предположим, что мы решили первую задачу и на­шли нужное число т, т. е. такое, что если число шаров меньше или равно т, то условия задачи, поставленной судьей, противоречивы, а если это число больше т, то ошибочными оказываются рассуждения приговоренного к казни. Изучим, что происходит в случае т+1 шара. Приговоренный рассуждает следующим образом:

если судья положил черный шар в один из послед­них т ящиков, то все сводится к предыдущему слу­чаю и задача, поставленная судьей, не имеет смысла;

это значит, что черный шар находится в ящике 1 и мне это заранее известно; но это противоречит одному

из утверждений судьи.

Таким образом, мы видим, что искомое число т су­ществовать не может.

Вторую задачу решить легко. На каждом этапе на­шего рассуждения по индукции мы приходим к выводу, что черный шар находится в ящике 1. Здесь снова сум­ма 365 ожиданий при каждом открывании ящика при­водит — всего-то! — к абсолютной уверенности, что черный шар находится в каком-то из 365 ящиков.

Решение третьей задачи менее очевидно. В том рас­суждении, которое мы проводили, концы с концами не сходятся. Действительно, мы предполагаем вначале, что при т+1 шаре утверждения судьи не противоре­чивы, что они имеют логический смысл. Тем самым мы предполагаем, что способ, которым судья разрешает осужденному определять положение черного шара, от­вечает законам логики.

Это очевидно в случае 365 шаров, но менее очевидно, когда шаров всего два или три.

В приведенном выше анализе третьей задачи мы в первой части рассуждения не имеем права предпо­лагать, что судья требует от осужденного, чтобы тот определил положение черного шара «чисто логически», т. е. до того, как будет открыт ящик 1 (а именно это мы делали, уточняя, что при m + 1 шаре утверждения судьи

истинны);

во второй части рассуждения не можем предпола­гать, что осужденный в состоянии определять положе­ние черного шара с помощью каких-то других правил (а именно это мы делали, считая, что если осужденный решил, что черный шар — в первом ящике, и при этом он ошибся, то все сводится к предыдущей задаче с т шарами).

Теперь осталось решить первую задачу, что позволит нам прийти к окончательному выводу и найти решение парадокса.

Во всяком случае, нельзя надеяться устранить па­радокс, если мы не предположим, что осужденный оп­ределяет предполагаемое положение черного шара чис­то логическим путем, формулируя свое предсказание только один раз — еще до того, как будет открыт ящик 1.

При этих условиях решение первой задачи очевидно: переход от первого типа ответа ко второму происходит при двух шарах.

Когда имеется только один шар, утверждения судьи противоречивы.

Когда шаров два или больше двух, то:

либо мы считаем, что законы логики применимы и

к утверждениям судьи, и к рассуждениям приговорен­ного. В этом случае осужденный должен выбрать один из двух ящиков до того, как будет открыт первый ящик. Здесь нет больше никакого парадокса, поскольку у осужденного нет никаких оснований предпочесть один ящик другому;

либо в противном случае, когда осужденный может выбирать один или более ящиков последовательно делать заключения вне пределов строгой^[13] логики,- здесь мы и приходим к парадоксу.

Точно так же в исходной постановке, когда есть толь­ко один возможный день, утверждения судьи противо­речивы, ибо он на самом деле говорит:

вы будете повешены завтра;

вы не узнаете до завтрашнего утра, что будете пове­шены завтра.

Исследование случая, когда имеются два возмож­ных дня, позволяет в последний раз возродить парадокс из пепла.

На самом деле можно сказать, что между задачей с шарами и задачей о казни через повешение нет пол­ной аналогии.

В первоначальной версии судья говорит: вы будете повешены завтра или послезавтра; вы не сможете узнать день, когда вас повесят, рань­

ше утра этого дня.

Условия ясны. Если утром первого дня осужденному не скажут, что его повесят в этот же день, то вечером он уже будет знать, что его повесят завтра. Значит, утверждения судьи противоречивы, и мы вновь возвра­щаемся к трем последним задачам.

При п = 2 не только рассуждения приговоренного ложны, но равным образом противоречивы и утверж­дения судьи.

При п = 365 ложны лишь рассуждения приговорен­ного. При каком п происходит переход от одной ситуа­ции к другой?

Чтобы лучше показать, что этот экстравагантный парадокс присутствует всегда и что мы как будто ни на йоту не продвинулись в его анализе, представим па­радокс по-новому, отказываясь от всяких ссылок на шары и ящики.

Последняя формулировка парадокса. Когда число возможных дней равно двум, то кажется бесспорным, что утверждения судьи противоречивы.

Судья не может выбрать второй день. Значит, он должен выбрать первый день — и осужденному это из­вестно, что противоречит последнему утверждению судьи.

Напротив, когда имеется семь возможных дней, судья может выбрать один из двух либо из трех или да­же четырех первых дней.

У осужденного нет относительно дня казни ни ма­лейшей уверенности. Если бы судья выбрал первый день, то с помощью каких рассуждений (кроме ложных, как нам известно) смог бы осужденный определить, что его скорее повесят в первый день, чем во второй? Точно так же если его не повесили в первый день, то на основании чего он выберет второй день, а не третий?

Когда возможных дней семь, судья говорит правду Его утверждения точны, непротиворечивы: у осужден­ного нет ни малейшей уверенности относительно дня казни вплоть до утра этого самого дня, как и сказал ему судья.

Напротив, рассуждения приговоренного, которые приводят к выводу, что его вообще не повесят, ложны, так как в них предполагается, что осужденный может семь раз последовательно с уверенностью сказать, что его повесят в тот же самый день.

Мы вновь возвращаемся к трем предыдущим зада­чам.

Если в случае двух дней решение парадокса состоит в том, что утверждения судьи противоречивы, и если в случае семи дней решение заключается в том, что утверждения судьи истинны и что, напротив, ложны рассуждения приговоренного, то в случае какого числа дней мы переходим от одного решения к другому? В случае трех дней? В случае четырех дней?

В случае трех дней судья не может выбрать два по­следних дня, не сведя все к задаче с двумя днями, в ко­торой утверждения судьи противоречивы. Значит, он должен выбрать первый день — и осужденному это из­вестно.

Следовательно, утверждения судьи в случае трех дней противоречивы.

Рассуждая таким же образом, можно показать, что так же обстоит дело и в случае четырех, пяти и т. д. воз­можных дней.

Теперь самое время сделать окончательные выводы и для этой последней формулировки парадокса.

Решение парадокса. Опять мы заключаем, что в рас­суждениях, проводимых в обоих случаях (в случае двух дней и в случае семи дней), концы с концами не сходят­ся.

В случае двух дней мы с необходимостью считаем, что осужденный решит сначала, что его повесят в пер­вый день, а затем, если этого не произошло, что его пове­сят во второй день.

В случае семи дней здравый смысл приводит нас к логически более удобному допущению, что у осужден­ного нет оснований для того, чтобы выбрать скорее пер­вый день, чем второй. Самое большее, что может сде­лать осужденный, это оставаться внутренне убежденным, что его повесят завтра. Это убеждение все более и более возрастает по мере того, как проходит время^[14],— однако оно не может превратиться в абсолютную уверенность, если судья выберет один из двух-трех первых дней.

И даже если ничего не произойдет в три первых дня, то осужденный вечером третьего дня не сможет быть абсолютно уверен, что его повесят завтра.

Окончательно, решение парадокса состоит в следую­щем.

Когда возможных дней один, условия задачи проти­воречивы. Осужденный не может из них вывести ничего.

Судья не всегда говорит правду. В данном случае он может сказать или не сказать правду. Осужденного, может быть, повесят, но, может быть, этого и не про­изойдет. Но если даже его повесят, то это вовсе не будет означать, что судья всегда говорит правду,— отсюда будет лишь следовать, что он сказал правду на этот раз.

Когда возможных дней два (или более), то, как в случае с шарами,

1) либо мы решим, что законы логики применимы как к утверждениям судьи, так и к рассуждениям при­говоренного. В этом случае для семи дней, как и для двух, мы должны считать, что вывод относительно дня казни осужденный должен сделать на заре первого дня. При этих условиях даже в случае двух дней больше нет никакого парадокса, ибо у осужденного нет оснований для того, чтобы выбрать первый, а не второй день. Ви­димость парадокса связана лишь с неправильными рас­суждениями приговоренного;

2) либо мы допускаем, что у осужденного вначале может быть абсолютная уверенность в том, что его по­весят в первый день, затем, когда это не подтвердится, что его повесят на следующий день и т. д. В этом случае, будет ли два, семь или более дней, мы приходим к пара­доксу. Решение этого парадокса состоит в том, что утверждение судьи (или, скорее, наша интерпретация его утверждений) противоречиво.

В последней формулировке парадокса, таким об­разом, ставилась ложная задача. Утверждения су дьи — при не совсем строгой, но разумной их интерпре­тации — противоречивы лишь в случае одного дня

Когда возможных дней два или более, интерпрета ция утверждения судьи, согласующаяся с законами ло­гики, приводит к выводу, что ложными оказываются рассуждения приговоренного к казни. Этим подтверж дается вывод, основанный на здравом смысле, что в случае 365 дней вообще нет никакого парадокса. Этим подтверждается аналогия (которая на самом деле была полной) с задачей о ящиках и черном шаре.

Решение модифицированной задачи о «двери сво­боды». Узник задал следующий вопрос: «Верно ли сле­дующее утверждение: если эта дверь — «дверь свобо­ды», то ваш ответ на мой вопрос будет ложью, а если нет, то истиной?»

Слуга рассуждает строго логически. Поэтому неза­висимо от того, лжет ли он или говорит правду, его от­вет позволит узнику определить «дверь свободы».

Рассмотрим следующую таблицу:

Таким образом, если слуга ответил «нет», то пока­занная ему дверь — это «дверь свободы»; если же он сказал «да», то можно смело идти во вторую дверь. Мы видим, что узник может заставить своего соседа по тем­нице открыть истину.

Не следует ли теперь выбросить на свалку пресло­вутый детектор лжи?

Очевидно, нет, поскольку логическая хитрость, за­ставляющая допрашиваемого открыть истину, эффек­тивна лишь в том случае, если слуга соглашается дей­ствовать в рамках строгой логики, — что, кстати ска­зать, есть довольно жесткое условие: пожалуй, никто из нас бы не согласился во всех случаях действовать и говорить только логично^[15].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Грезы улетают прочь. Чудесная страна логики с ее уста­ревшими атрибутами и опереточными султанами по­дернулась туманом. Жанно покидает свой солнечный чердак.

Но он еще вернется туда.

Пожелаем же читателю чтобы, как и Жанно на своем чердаке, он смог найти в этой книге немало интересного, над чем ему бы захотелось поломать голову.