§ 58. Законы обращения случайных предложений

Продолжая свое изложение законов обращения модальных предложений, Аристотель в начале «Первой аналитики» говорит, что общеотрицательные случайные предложения не обратимы, тогда как частноотрицательные — обратимы .

Это любопытное утверждение требует внимательного изучения.

Согласно Аристотелю, случайность есть то, что не необходимо и не невозможно. Такое понимание случай-ного явно подразумевается в несколько неуклюжем определении Аристотеля и выразительно подтверждается Александром b Повторим его для того, чтобы гарантировать здесь полную ясность: «р — случайно означает то же самое, что и р — не необходимо и р — не невозможно», или в символической форме:

48. QTpKNLpNLNp.

Эта формула, очевидно, эквивалентна выражению

QTpKMpMNp,

то есть случайно то, что может быть, а может и не быть.

Формулы 48 и 50 являются весьма общими и применимы к любому предложению р. Применим их к общеотрицательному предложению ЕЬа. Мы получаем из 50:

QTEbaKMEbaMNEba.

Так как NEbaэквивалентно Iba, мы также имеем:

QTEbaKMEbaMIba.

Теперь мы можем вывести из законов обращения:

123. CMEbaMEabи 122. CMIbaMIab,

что МЕЬа эквивалентно MEab, a MIbaэквивалентно Mlab; отсюда мы имеем:

QKMEbaMIbaKMEabMIab.

Первая часть этой формулы, KMEbaMIba,эквивалентна ТЕЬа, вторая часть, KMEabMIab, эквивалентна ТЕаЬ\ так что мы имеем в итоге:

QTEbaTEab.

Это означает, что случайные общеотрицательные предложения обратимы.

Как же случилось, что Аристотель не заметил этого простого доказательства, когда в его распоряжении имелись все его посылки? Мы здесь уже касались других изъянов его модальной логики, даже более трудных для исправления, нежели те, которые были вызваны аристотелевской идеей о необходимости.

Аристотель весьма общо замечает, что случайные предложения с противоположными аргументами взаимно обратимы относительно своих аргументов. Следующие примеры пояснят эту не очень ясную формулировку. «Случайно, что bбудет а» обратимо с «Случайно, что b не будет а»; «Случайно, что каждое Ъ будет а» обратимо с «Случайно, что ее каждое Ъ будет а»; и «Случайно, что некоторое Ъ будет а» обратимо со «Случайно, что некоторое bне будет а» К Этот вид обращения я буду, следуя Дэвиду Россу, называть «дополнительным обраще-нием» .

Согласно этому, Аристотель мог бы принять, что предложение «Случайно, что каждое bбудет а» обратимо с предложением «Случайно, что ни одно bне будет а», или в символах:

(i) QTAbaTEbci(принимается Аристотелем).

Это есть исходный пункт его доказательства, которое со-вершается посредством reductio ad absurdum. Он аргументирует, в сущности, так: Если ТЕЬа обратимо с ТЕаЬ, то ТАЬа будет обратимо с ТЕаЬ, а так как ТЕаЬ обратимо с ТАаЬ, мы должны получить ложное следствие:

(х) QTAbaTAab(отбрасывается Аристотелем) .

Что мы должны сказать по поводу этого аргумента? Совершенно очевидно, что принимаемое Аристотелем определение случайности влечет за собой обратимость случайных общеотрицательных предложений. Следовательно, опровержение этой обратимости должно быть ошибочно. Так как оно формально правильно, то ошибка должна заключаться в посылках. А так как имеются две посылки, на которых основывается это опровержение: принимаемая формула (і) и отбрасываемая (а), — то либо ошибочно принимать (і), либо ошибочно отбрасывать (*). Однако этот вопрос невозможно решить в пределах основной модальной логики.

В пределах ее границ мы можем только сказать, что истинность принимаемой формулы (і) не оправдывается принятым определением случайности. Из определения:

QTpKMpMNp

с помощью подстановки p/Npмы получаем формулу QTNpKMNpMNNp, и, так как MNNpэквивалентно Мр, согласно положению 9 основной модальной логики, мы имеем:

QTNpKMpMNp.

Из 50 и 137 вытекает следствие:

QTpTNp,

а, применяя это следствие к посылке ЕЬа, мы получаем:

QTEbaTNEbaили 140.

так как NEbaозначает то же самое, что Iba.Мы видим, что QTEbaTIbaоправдывается определением случайности, a QTEbaTAbaне оправдывается. Эта последняя формула допускалась Аристотелем по ошибке.

Мы лучше поймем эту ошибку, если рассмотрим аристотелевское опровержение попытки доказать закон обращения для ТЕЬа с помощью reductio ad absurdum. Эта попытка гласит: если мы предполагаем случайным, что ни одно Ъ не будет а, то тогда случайно, что ни одно а не будет Ъ. Ибо если последнее предложение было бы ЛОЖНО', то было бы необходимо, чтобы некоторое а было Ъ, а отсюда было бы необходимо, чтобы некоторое Ъ было а, что противоречит нашему предположе-

Нию КВ символической форме: если предположить, что ТЕЬа истинно, то ТЕаЬ также должно быть истинным. Ибо из NTEabследует ЫаЬ и, следовательно, LIba, что несовместимо с предположением ТЕЬа.

Опровергая этот аргумент, Аристотель правильно указывает, что Llabне следует из NTEab . Действительно, согласно 48, мы имеем эквивалентность:

QTEabKNLEabNLNEabили

QTEabKNLEabNLIab.

Так, для NTEab, применяя QNKNpNqHpq, то есть один из так называемых «законов де Моргана» , мы имеем формулу:

QNTEabHLEabLIab.

Легко видеть, что с помощью 143 и положения CCHpqrCqrмы можем вывести NTEabиз ЫаЬ, но обратная импликация не имеет места, так как из NTEabмы можем вывести только альтернативу HLEabLIab, из которой Llab, конечно, не следует. Попытка доказательства проваливается, но из этого не следует, что заключение, которое доказывалось, ложно.

Один момент этого сведения заслуживает нашего внимания: видимо, вместо 143 Аристотель принимает формулу:

(К) QNTEabHLOabLIab, которая не оправдывается определением 48. Подобным же образом, для случая NT АаЬ он принимает формулу :

(ly) QNTAabHLOabLIab,

которая опять-таки не оправдывается с помощью 48, в то время как правильная формула гласит:

QNTAabHLOabLAab.

Из (Z) и (|х) Аристотель мог бы вывести эквивалентность QNTAabNTEab, а затем (і), которое не оправдывается его определением случайности.