1.7 Парадокс лжеца: логический формализм через понятие обратной связи

Предположим, что значение высказывания “Я лгу” зависит от итерации i. Назовем это высказывание переменным высказыванием.

Назовем начальным условием  значение переменного высказывания при i=0.

Если высказывание имеет только одно значение, то такое высказывание мы будем называть постоянным.

Рассмотрим феноменологию парадокса лжеца – то есть, не будем интерпретировать то, как обратная связь преобразует высказывание, а лишь зафиксируем, что на выходе из обратной связи появляется высказывание с противоположным логическим значением. Это может зафиксировать операция отрицания.

Введем следующие обозначения:

ai – обозначение высказывания “Я лгу” на i-той итерации. Его значение может быть И или Л. Ясно, что переменное высказывание может быть представлено как ряд постоянных высказываний классической логики высказываний.

= – обозначение операции ввода начальных данных – присвоения значения высказыванию при i=0. Запись a0=И означает, то, что мы задаем на  нулевой итерации значение И.  Это интерпретация нашего предположения о том, что высказывание “Я лгу” истинно.

: - обозначение обратной связи, переводящей значение высказывания с i итерации на i+1 итерацию бесконечное число раз. Слева будем записывать обозначение значение на i+1итерации, справа –  на i итерации, в результате которой формируется значение на i+1 итерации.

? - обозначение операции отрицания, преобразующей значение обратной связи на противоположное – Л преобразуется в И, И преобразуется в Л.

Тогда обратную связь парадокса лжеца можно формализовать следующим образом:

a0=И, ai+1: ? ai

В результате действия обратной связи образуется переменное высказывание или ряд постоянных  высказываний:

а0 a1 a2 a3 a4…                                                                                                  (1.7.1)

Далее, пользуясь рядом (1.7.1) последовательно запишем  значения переменного высказывания, рассчитанные по этому формализму. Таблица истинности из прошлого раздела будет представима в виде ряда значений переменного высказывания или ряда значений атомарных высказываний:

ИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛ…                                                                                    (1.7.2)

Таким образом, в этой интерпретации логическое значение парадокса лжеца – бесконечное чередование значений, генерируемых обратной связью.

Заметим, что указанное представление можно распространить и на теоретико-множественные парадоксы. Суждение “Множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента, принадлежит самому себе” может быть представлено как бесконечная последовательность значений такого рода высказываний.

Структура парадокса в нашей интерпретации – бесконечная последовательность чередующихся логических значений.