[ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГИКИ]

История логики начинается с грека Аристотеля, 384-322 г.

При разработке своего учения Аристотель исходил из опыта, данные которого он рассматривал и анализировал, опираясь на рассудок; его труд стал, говоря словами Гегеля, естественной ис&торией мышления, навсегда сохраняющим свою ценность. Одна&ко Аристотель не выводил формы умозаключений с помощью формул.

После Аристотеля [логикой занимались] его ученики; в древ&ности это были его комментаторы: в Афинах Александр Афро- дисийский (ок. 200 г. после Р.Х.), в Риме Боэций (470-524); араб&ские мыслители - в Персии Авиценна (980-1037 г. после Р.Х.) и в Кордове Аверроэс (1126-1198); далее следуют схоластические мыслители - в Швабии Альберт Великий (1205-1280), в Британии Дуне Скот (ок. 1270-1308), в Южной Италии Фома Аквинский (1224-1274); в эпоху Реформации: во Франции Петр Рамус (1515-1572) и в Пфальце Филипп Меланхтон (1497-1560). Хотя в результате их трудов не произошло существенного продвижения вперед, все же они способствовали тому, что логика постепенно стала утрачивать бесполезные дистинкции.

Первым философом, сделавшим в логике большой шаг впе&ред, был уроженец Лейпцига великий Лейбниц (1646-1716); он впервые выдвинул идею чистой логики, развертывающейся с по&мощью однозначных формул.

Правда, ученик Лейбница Хр. Вольф в своем труде «Логика» (1728) пытался ввести в логику метод доказательств, но его так называемые доказательства не содержат ничего, кроме формул и фраз, которые обходят вопрос вместо того, чтобы его разъяс&нять, которые не проясняют, а затемняют суть дела. Они заслу&жили ту негативную оценку, которую Гегель дал им в своей «Ис&тории философии» (т. 3, с. 480).

Более значительным было то, что в своей «Логике» 1800 го&да предложил Иммануил Кант. Он тоже следовал путем, проло&женным Аристотелем, и различал понятия, суждения и умозак&лючения, не обосновывая, однако, этого различения; в этом он стоит ниже Аристотеля, так как его определения не всегда обла&дают требуемой точностью и ясностью; кроме того, он нередко смешивает языковые и понятийные формы и навязывает логике свои предвзятые взгляды; а это сбивает ее с верного пути. В каче&стве примера кантовской манеры определения я приведу данное им определение суждения: суждение есть представление единства сознания различных представлений или представление об их [представлений] взаимоотношении, поскольку они образуют по&нятие3". Примером же смешения языковых и понятийных особен&ностей может служить различение Кантом общих, особенных и единичных, категорических, гипотетических (условных) и разде&лительных (дизъюнктивных) суждений. Подобные работы не способствуют развитию строго научной логики.

Вскоре, в девятнадцатом веке, со своими эпохальными тремя томами «Логики» (1812-1816) выступил Гегель. Он был в высшей степени одухотворенным мыслителем4*, и с его работами мы еще познакомимся, когда будем заниматься высшей ветвью логиче&ских наук - учением о дополнениях.

Строго научная логика может и должна, как правильно по&няли еще Аристотель и Лейбниц, строиться только с помощью формул5*. Любая попытка разрабатывать ее с помощью слов и проводить словесные умозаключения и доказательства с необ&ходимостью должна была окончиться неудачей.

Каждое слово имеет несколько смыслов, что неизбежно вле&чет неясности, путаницу и заблуждения. Рассматривая отдельные положения логики, мы будем указывать повторяющиеся в сочи&нениях [по логике] заблуждения, которые возникают из-за много&значности слов.

Изложение в этих трудах ведется с помощью суждений - за&долго до того, как наступает пора обратиться к учению о них; по&лучается, что предложения о суждениях используются прежде, чем доказана справедливость этих предложений (и это не говоря уже о том, что каждое суждение, в них встречающееся, много&значно); все это опять-таки совершенно ненаучно.

Во всех подобных трудах доказательства ведутся на словах. Но всякое словесное доказательство содержит одно или более умозаключений. Применение же умозаключений в начале логики предполагает уже все учение об умозаключениях. А это учение появляется в логике почти в самом ее конце; лишь в этом учении, одном из завершающих разделов логики, показывается, позволи&тельно ли - и если да, то при каких условиях, - с научной точки зрения строить последовательности умозаключений. Только пос&ле этого поздно появляющегося раздела логики с научных пози&ций допустимо применение последовательностей умозаключений. Применять же умозаключения в первых разделах логики - еще до того, как они были обоснованы, - это в любом случае есть оши&бочное умозаключение наихудшего рода.

Понимая это, преподаватели логики не сразу приступают к доказательствам. В своих логических курсах они приводят множе&ство предложений и, не доказывая их, утверждают, что они истин&ны. Таким образом читатель должен принимать эти предложения на веру, полагаясь на авторитет автора и не думая ни о каком до&казывании. Но это опять-таки выглядит совершенно ненаучно. Папа Римский может заявлять о своей непогрешимости, ссылаясь на снисхождение на него Святого Духа, который вселил в него слепую веру, не нуждающуюся в научной проверке. Но когда лю&ди науки, особенно же занимающиеся логикой, наукой строгой, требуют веры в их утверждения и в их теоремы, которые по боль&шей части неверны, - то есть веры в то, что может и должно быть доказано в виде соответствующих предложений, - невольно вспо&минаются слова, которые Гёте вложил в уста Мефистофеля, ко&гда он высмеивал ученых этого сорта и слепую веру ученика в слова учителя6*. За такого рода работами нельзя признать ника&кой научной ценности. Если в логике мы хотим вступить на стро&го научный путь, мы, по примеру Аристотеля и Лейбница, долж&ны перейти к развертыванию ее с помощью формул. Но подоб&ное построение логики - в формулах - предполагает совершенно новый путь - путь, который еще должен быть проложен. Пока же таковой отсутствует, преподаватели логики в своей практике вы&нуждены придерживаться прежнего пути, сколь бы остро сами они ни чувствовали его ошибочность, соглашаясь в этом с Геге&лем. Поэтому в их работах так ясно проявляется половинчатость занимаемой ими позиции, [хотя] им принадлежат довольно толко&вые изложения давно известных форм умозаключений; но дела&ется это без всякой критической оценки и научной проверки. Су&ществуют также сочинения, проникнутые возвышенным духом, в которых, следуя подходу Гегеля, говорится об очень многом, - но только не о логике.

Лучшими такого рода трудами можно считать следующие:

И.Г.Ламберт.

Улърици. Система логики. Лейпциг, 1852. Представляет собой со&брание сочинений с критическим обзором различных точек зрения.

Твестен. Логика. Шлезвиг, 1825. Изложение логики в духе формальной схоластической школы.

М.В. Дробиш. Новое изложение логики. Лейпциг, 1863; и Ф. Ибервег. Система логики и история логических учений. Бонн, 1874. Два весьма практичных компендиума словесной, описатель&ной логики.

Г. Лотце. Логика. Лейпциг, 1874; 2-е изд., 1880; и В. Вундт. Логика. В двух томах. Штуттгарт, 1880 и 1883. В обоих сочинени&ях логика трактуется с естественно-научной точки зрения. Преи&мущественное внимание уделяется вопросам учения о познании - о том, как мы достигаем знания о природе и как от этого знания можно легко перейти к логическим вопросам; последние рассма&триваются поверхностно и без всяких доказательств7*.

Все эти труды способны пробудить мысль, но научной ценно&сти для строго научной логики они не представляют.

Для логики существует только один строго научный путь - это выведение законов мышления без всяких слов с помо&щью равенств (уравнений), в которых фигурируют однознач&ные величины и однозначные связи.

Вводится в рассмотрение некоторая формула; отыскивается формула, которая ей равна; для этой последней находится рав&ная ей формула, и она вводится в рассмотрение - и так до тех пор, пока не будет найдена формула, относительно которой мы хотели доказать, что она равна исходной формуле. Процесс, та&ким образом, состоит только в полагании величин, в их связыва&нии и в преобразовании полученных результатов в формулы, которые имеют иной вид, но оказываются равными ранее рас&смотренным.

Каждое подобное приравнивание двух формул, то есть равен&ство, которое в конце концов получается, - это результат рассу&ждения, и он может быть выражен некоторым предложением, теоремой или облечен в слова. Однако словесно выраженное предложение есть просто перевод равенства, представленного в формулах, и перевод этот не может выражать ничего сверх того, что было в данном равенстве и получило обозначение с помо&щью формул.

Из сказанного может сложиться впечатление, будто словес&ная формулировка предложений и словесное выражение процес&са доказательства не нужны. Однако это не так. Каждый обмен мыслями [между людьми], так же как каждый мыслительный процесс совершается с помощью языка; значит, чтобы сообщить о некоторой формуле или преобразовать ее, чтобы обсудить ее значение или только подумать о ней, мы должны воспользовать&ся языком; с другой стороны, если требуется применить формулу к предметам мышления и языка, то должна существовать воз&можность перевода формул на [обычный] язык. Поэтому перевод формул на обычный язык - это важное упражнение, особенно для начинающих, и к нему следует прибегать при каждом доказа&тельстве. Когда учащийся выписывает формулы и производит с ними соответствующие операции, он должен формулировать и произносить те предложения, согласно которым производится преобразование каждой из них; он должен научиться передавать словами любую формулу и, наоборот, любое предложение пред&ставлять соответствующей формулой. Только выработав такого рода навык, он вполне овладеет соответствующими предложени&ями, будет их понимать и сможет, когда нужно, использовать их в своем мышлении.

Итак, чтобы научно обосновать логику, надо вступить на но&вый путь - путь использования одних лишь формул, и все доказа&тельства приводить к равенствам, преобразуемым согласно стро&гим законам учения о мышлении. Ибо только эта форма доказа&тельств не предполагает никакой логики, никакой грамматики, только она одна может придать мышлению строгую форму, так как в ней каждая величина обладает единственным значением, только она одна общезначима для любого мышления, так как в ней любая величина может обозначать все, что является или мо&жет стать предметом мышления.

Некоторые ученые в новейшее время пытались открыть для логики этот строго научный путь развития с помощью формул. Первым, кто попытался на него вступить, был англичанин Джордж Буль. Первыми его работами были:

The mathematical analysis of logic, being an essay towards a calcu&lus of deductive reasoning. Cambridge, Macmillan. London, G. Bell, 1847;

The calculus of logic. In: Cambridge and Dublin Mathematical Journal. Vol. Ill, 1848, p. 183-198; эта работа была опубликована в 1847 и 1848 гг. Затем последовал главный труд Буля:

An investigation of the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities. London, 1854.

Однако эти работы совершенно не соответствуют требовани&ям, которые с научной точки зрения следует предъявлять к по&добным сочинениям. А именно в своей логике Буль заранее пред&полагает все науки, в частности учение о числах - он работает с положительными и отрицательными числами, с целыми числами и дробями, например, использует числа 2, -1, 1/3, он даже приме&няет многозначную формулу 1/0, которая недопустима при вы&числениях ни в учении о числах, ни в логике; он использует все учение о числах и алгебру, вплоть до уравнений первой степени со многими неизвестными и предпосылает своей логике все эти уче&ния. Но это лишает его работы всякой ценности, даже если не об&ращать внимания на те ошибки, которые он разделяет со своими последователями и которые мы вскоре обсудим8*.

После Буля труды по логике выпустили:

De Morgan. On the syllogism: III, 18589*;

Mr. Jevons. Formal logic, 1864;

C.S. Pierce. Three papers on logic из трудов американской акаде&мии искусств и наук 1867 г. С. 250-298;

J. Delboeuf. Logique algorithmique. Liege et Bruxelles, 1877;

Stanley Jevons. The principles of science. London and New York, 1877;

Э. Шрёдер, профессор из Карлсруэ; Der Operationskreis des Logikkalkuls. Leipzig, 1877;

C.S. Peirce. On the algebra of logic, 1880.

Во всех этих трудах преследуется одна и та же цель - вывести законы логики с помощью формул.

Благодаря перечисленным работам логика существенно про&двинулась вперед. В частности, выдающийся математик Ч.С. Пирс еще в 1867 г. открыл, что закон отношения умножения к сложению взаимен, то есть что справедливо как отношение

a(b + c) = ab + ac и (Ь + с) а = Ъ • а + с • а, так и отношение

а + ф • с) = (а + Ь) • (а + с) и (Ь • с) + а = (Ь + а) • (с + а).

Выдающийся математик Шрёдер открыл, что единичность оз&начает в логике всеобщность и что между предложениями, отно&сящимися к сложению и умножению, существует полный парал&лелизм, который отсутствует во всех иных ветвях мышления.

Однако, несмотря на в высшей степени ценные открытия ав&торов упомянутых выше работ, логика еще не приобрела научно&го облика. А именно все эти ученые заблуждались, считая, что в логику, помимо сложения и умножения, можно ввести еще вычи&тание и деление; все они устанавливали для логики, что а - а = 0 и а : а = 1. Но если в логике это допустить, то возникнут наихуд&шие ошибочные умозаключения и все будет свалено в кучу. Действительно, в логике, как для сложения, так и для умножения действует закон объединения:

а + (Ь + с) = а + b + с и афс) = abc,

а также закон а + а = аиаа = а; если допустить вычитание и де&ление, то сразу получится:

а = а + 0 = а + (а- а) = ал- а- а, и поскольку а + а - а, = а-а              и поскольку а - а = 0,

= 0,

то есть каждая величина в логике становится нулем. Равным об&разом получается:

а = а - 1 = а(а : а) = аа : я, и поскольку аа = а, = а : а              и поскольку а : а = 1,

= 1,

то есть каждая величина в логике становится единичностью. Ес&ли допустить и то, и другое, то получится: все величины в логике должны быть и единичностью, и нулем; но поскольку это невоз&можно, получается, что невозможно и логическое исчисление, которое развивается названными авторами.

Но если таким способом - или путем словесных доказа&тельств, или другим путем, применяются четыре алгебраические операции, - цель недостижима, то надо пойти иным путем, путем, который соответствует строгой науке, и на этот путь, насколько мне известно, впервые вступил Р. Грассман в сочинении «Учение о понятиях, или Логика» (Штеттин, 1872).

Первоначально братья Грассманы в ходе совместной работы, проводив&шейся в 1847 г., в строго научной форме последовательных (индуктивных) дока&зательств вывели законы для сложения и вычитания, умножения и деления для учения о формах, или математики, а именно для учения о числах и для учения о протяженностях. Потом, спустя восемь лет, они возобновили совместную рабо&ту, причем в следующей форме: один из братьев производил предварительную разработку [некоторой темы], а другой ее критиковал и проверял; так в ходе совместных обсуждений вырабатывался требуемый строго научный метод. Таким способом в 1855-1856 гг. были проработаны арифметика и учение о про&тяженностях, логика и учение о комбинациях [комбинаторика]. После этого братья разделили свою работу. Герман взял на себя издание «Арифметики» и «Учения о протяженностях», из которых первое сочинение вышло в 1860, а вто&рое - в 1862 г. Роберт Грассман взял на себя выпуск «Логики» и «Учения о ком&бинациях», однако к этой работе он приступил с запозданием.

«Арифметика» 1860 года в своей первой половине лучше всего демонстри&рует ту форму, которую братья тогда разработали. Герман Грассман в своем «Учебнике математики» - часть 1: «Арифметика» (Штеттин, 1860 и Берлин, 1861) говорит об этом так: «Предлагаемая разработка арифметики, которая в своих существенных чертах представляет собой совместный труд - мой и моего брата Роберта, - претендует на то, чтобы быть первой строго научной разработ&кой этой дисциплины, более того - на то, что используемый в ней метод, как бы сильно он ни отличался от общепринятого, тем не менее во всех своих сущест&венных моментах является не просто одним из возможных, но единственно воз&можным для строго последовательной и соответствующей существу дела трак&товки данной науки. - На вопрос о том, оправданы или нет эти притязания - при&тязания, означающие одновременно обвинение предшествующих разработок в отсутствии у них научной строгости и последовательности, - ответ должен дать сам труд, поскольку полемическое или апологетическое обоснование упомяну&тых притязаний противоречит его непосредственной цели. Мы надеемся позже устранить этот изъян путем такой разработки математики, предназначенной для подготовленного читателя, в которой будут подчеркнуты все руководящие идеи и в деталях показана необходимость используемого метода. Однако я убе&жден, что уже теперь всякий, кто основательно и без предубеждений проштуди&рует предлагаемый труд, признает оправданность упомянутых притязаний».

«Учение о протяженностях» Г. Грассмана 1862 г. во многих пунктах демон&стрирует уже иную форму. Но еще более отклонились от первоначальной фор&мы «Логика» и «Учение о комбинациях», вышедшие из печати лишь через де&сять лет. Роберт Грассман на первое место здесь поставил уже новую ветвь - об&щее учение о величинах, за которым последовало краткое изложение логики и учения о комбинациях, учения о числах и учения о протяженностях; целью бы&ло - выставить в ясном свете, во-первых, поразительные связи и противополож&ности, характеризующие эти ветви, а с другой стороны, их параллелизм. Подоб&ное изложение учения о величинах и логики, насколько мне известно, является первым строго научным представлением этих наук, в котором нет никаких оши&бочных умозаключений и кругов в доказательствах, а логические умозаключе&ния используются не ранее, чем их вывели и доказали в логике.

«Логика» Р. Грассмана 1872 года была написана автором, ко&гда он еще не знал о предшествующих математических работах в этой области. Но предпринятое им представление логики имело, однако, перед работами его предшественников то преимущество, что базировалось на основательной проработке материала и из&бегало тех подводных рифов, о которые разбились другие по&строения логики с помощью формул, особенно же когда в логику вводились вычитание и деление. Выполненная тогда работа пред&полагала учение о величинах, и в ней на сорока страницах было представлено 76 предложений логики, в частности были выведе&ны все фигуры умозаключений старой логики, - с целью пока&зать, что с помощью формул можно получить все выводы, кото&рые были доступны для прежней логики. Впрочем, труд 1872 г. был краток. Автору тогда удалось вывести и доказать только не&большую часть теорем логики; однако эти теоремы были выведе&ны и доказаны по-настоящему строго научно.

«Логика» автора издания 1872 г. дважды обсуждалась в литературе - Шрё- дером в его работе «Сфера операций логического исчисления» (Лейпциг, 1877) - в позитивном, и В.Вундтом в его «Логике» (Штуттгарт, ч. 1, с. 221) - в негатив&ном духе. Господин Вундт утверждает, будто Р. Грассман занимает по существу такую же позицию, что и Буль; последний же переносит в область логики все че&тыре основные алгебраические операции, не ставя вопроса, обладают ли они ка- ким-либо логическим смыслом; для Буля [пишет Вундт] логика есть некое ис&числение, в котором все величины могут иметь только значения 0 и 1. Но подоб&ные суждения совершенно не верны и доказывают, что господин В. Вундт вовсе не читал книгу Грассмана. В область логики Грассман вообще не переносит ни одну из четырех основных алгебраических операций. В алгебре, если 0, то и а + а^ 0; ав логике, согласно Грассману, всегда а + а = а. В алгебре имеется вычитание, а в логике, по Грассману, - нет. В алгебре, если д^О и 1, то аа^. а; в логике, по Грассману, всегда аа-а. В алгебре есть вычитание; в логике, по Грассману, нет никакого вычитания. Все суждения господина В. Вундта, таким образом, неверны и показывают, сколь поверхностен он в этой своей работе. К сожалению, это обнаруживается и в других частях его труда.

Господин В, Вундт не подозревает о наличии специфически логических за&конов, он даже не знает, что для логики а + а = а и аа = а, по крайней мере он ни&где об этом не говорит.

Но г-н Вундт в своей «Логике» оспаривает такие законы логики, которые со времени Аристотеля признаются всеми и которые несомненно верны, и дела&ет он это без всякого доказательства: он просто это утверждает. Начиная с Ари&стотеля ученые едины в том, что для признаков, или сомножителей, имеет силу как объединение, так и перестановка, так что a(bc) = abc и ab = ba. Господин Вундт оспаривает как первое, так и второе (см. с. 225 и 228 его труда); он согла&сен признать только закон отношения а(Ь + с) = ab + ас. Для логики «пережива&ющий детство человек» и «человек в детском возрасте», то есть ab и Ьа совер&шенно одно и то же. Иначе в языке: изменяя порядок слов и их форму, мы мо&жем изменить смысл, то есть получить другое логическое понятие. Так, напри&мер, «воинственный германец» и «германский воин» имеют в языке разный смысл. Ибо воинственному германцу не обязательно быть солдатом, а герман&скому солдату - не обязательно быть воинственно настроенным. Здесь слова «воинственный = воинственно настроенный» и «воин = солдат» имеют совер&шенно различное значение и составляют логически два совершенно разных по&нятия. Когда Вундт их смешивает, он совершает логическую ошибку. Для науки подобное изложение логики не имеет никакой ценности, и я должен об этом [прямо] сказать - как бы высоко я ни ценил [вклад] Вундта в других отношени&ях, признавая большие его заслуги в психологической науке.

Предлагаемая работа автора, выпускаемая в 1890 г., по срав&нению с работой 1872 г. есть совершенно новый труд. В нем бо&лее чем в три раза больше предложений, а именно 245, из кото&рых 18 приведены в Примечаниях. Если издание 1872 г. содержа&ло главным образом те предложения, которые были совместно установлены братьями Грассманами, то данное издание является трудом, выполненным только автором этих строк. И хотя в него вошли предложения труда 1872 г., представлены они в изменен&ном виде и с большими подробностями; поэтому ответственность за этот труд несет только его автор.

Таким образом, данное издание представляет собой новый труд. Он ничего заранее не предполагает и содержит всю логику, включая учение о доказательствах.