Логічні сполучники та логічні операції

Основними питаннями дослідження логіки висловлювань є:

1) як з атомарних висловлювань утворюються молекулярні;

2) як залежить значення істинності молекули від значень істинно­сті атомів, які її складають.

Складні висловлювання утворюються з елементарних за допомо­гою логічних сполучників (пропозиційних зв’язок), яким відповіда­ють логічні операції, що позначаються відповідними символами ло­гічних операцій або логічними операторами. Цей зв’язок можна зо­бразити в таблиці:

Утворення нових висловлювань із вихідних за допомогою логічних сполучників називають логічними операціями. Кожна логічна операція визначається так, що значення істинності молекулярного висловлюван­ня залежить лише від значень істинності складаючих його атомів, а не від їх змісту чи смислової характеристики отриманого висловлювання.

Логічну операцію та її результат позначають одним і тим же сло­вом. Наприклад, кон’юнкція, диз’юнкція тощо. Визначення операцій дають у вигляді таблиць (матриць) істинності, в яких подаються зна­чення істинності молекули при всіх можливих комбінаціях значень істинності складаючих її атомів.

Якщо в молекулу входять п утворюючих її атомів, то для них можли­ві 2" різних комбінацій значень істинності атомів і таблиця істинності молекули буде складатися із 2" рядків.

Для того, наприклад, щоб правильно побудувати таблицю істинно­сті для молекули з трьох (A,B,C) атомів, необхідно дотримуватися та­кого алгоритму:

1) обрахувати кількість рядків у таблиці: 2’ = 8;

2) у першому лівому стовпчику значення істинності розподіляєть­ся так: 8:2 = 4, тобто перші чотири - “істина (1)”, а чотири наступні - “хиба (0)”;

3) другий стовпчик - 4: 2 = 2 і т. д.

Побудована нами матриця відповідає двом необхідним умовам: 1) вона включає всі можливі комбінації значень істинності атомів, тобто є вичерпною; 2) жодна з цих комбінацій не повторює іншу.

Враховуючи ці вимоги, дамо визначення логічним операціям.

1) ^Кон’юнкція. Кон’юнкцією висловлювань Л та В називають висловлювання AhB (читається “А і В”), яке є істинним тоді і тіль­ки тоді, коли істинними є всі атоми. Цьому визначенню відповідає таблиця:

Наприклад, “Я склав залік з логіки (А) та історії України (В)”. Якщо обидва ці висловлювання є істинними, то й атомарне висловлювання - істинне (1-ий рядок матриці). В усіх інших випадках - коли істинне лише одне висловлювання, або обидва є хибними - висловлювання в цілому є хибним (2, 3, 4 рядки).

Формулі AaB відповідають також вислови: “А разом з В”, “як А, так і В”, “і А, і В”, “А в той же час, як і В” тощо.

2) *Диз’юнкція. Диз’юнкцією висловлювань А та В називають висловлювання AjB (читають “А або В”), яке є істинним тоді і тільки тоді, коли принаймні один з атомів є істинним. Визначенню відповідає таблиця:

Наприклад, “Буду читати підручник (А) або складати з нього конс­пект (В)”. Ці дії можуть виключати одна одну і висловлювання буде істинним (2, 3 рядок). Але ці дії можуть відбуватися й одночасно, тоді висловлювання буде теж істинним (4 рядок). Але, якщо жодне з твер­джень не відповідає дійсності (с хибним, 4 рядок), то і висловлювання в цілому буде хибним.

У наведеному прикладі сполучник “або” використовується в з’єдну­вально-роз’єднувальному смислі, тобто “А або В, або обидва”. Цьо­му смислу відповідають також: “А і/або В”, “і А, і В чи А або В”, “А, якщо не В” тощо.

В українській мові (як і в багатьох інших) сполучник “або” може використовуватись і в суто роз’єднувальному сенсі, тобто “або..., або...”. Цей смисл відповідає логічній операції сильної (строгої) ди­з’юнкції.

3) * Сильна диз’юнкція. Сильною диз’юнкцією висловлювань А та В називають висловлювання A∖NB (читають “або А, або В”), яке с істинним тоді і тільки тоді, коли тільки один з атомів є істин­ним.

Наприклад, “Піду в кіно (А) або в бібліотеку (В)”. Зрозуміло, що ці твердження не можуть бути одночасно істинними (1 рядок), бо люди­на не може бути одночасно в двох різних місцях. Висловлювання в цілому буде хибним і тоді, коли ці твердження є одночасно хибними (4 рядок). Молекула буде істинною тільки тоді, коли лише один атом є істинним.

Формулі AV√B відповідають вислови: “А або В, але не обоє”, “чи А, чи В”, “А, крім випадку, коли В” тощо.

Оскільки твердження А та В є взаємовиключними, то їх називають альтернативами (від латинського alterno - чергую, змінюю).

4) ^Імплікація. Імплікацією висловлювань А піа В називають висловлювання А—>В (читають “якщо А, то В”), яке схибним тоді і тільки тоді, коли А істинне, а В хибне. Визначенню відповідає таблиця:

Імплікація відображає різні відношення між простими судження­ми. Зокрема, відношення підпорядкування (А, E-I, О), коли, наприк­лад, з істинного загального судження випливає істинне часткове і це відношення в цілому є істинним (1 рядок). “Якщо всі юристи знають логіку, то і деякі юристи знають логіку”. Але, якщо загальне судження є істинним, то часткове не може бути хибним (2 рядок). Таке вислов­лювання в цілому буде хибним.

В імплікації A→B ліва частина А називається антецедентом (від латинського antccedens - попередній), а права - консеквентом (від латинського Conscqucns - наступний). Формулі імплікації відповіда­ють вислови: “А тоді, коли В”, “оскільки А, то В”, “у випадку А і В”, “А імплікує В” тощо.

Слід розрізняти матеріальну імплікацію та умовне висловлю­вання.

В умовному висловлюванні ліва частина зумовлює праву, тобто вони знаходяться в певній смисловій та змістовій залежності. На­приклад, “Якщо воду охолодити до O °С, то вона перетвориться на лід”.

5) * Подвійна імплікація. Подвійною імплікацією (еквіваленцісю) висловлювань Л та В називають висловлювання(читають “якщо і тільки якщо А, то В’’), яке с істинним тоді і тільки тоді, коли значення істинності атомів збігаються. Визначенню відпові­дає таблиця:

Подвійна імплікація є таким відношенням між атомарними вислов­люваннями, коли з А випливає В, а з В випливає А. Тобто, при правиль­но визначеному відношенні між А а В ці судження будуть рівнознач­ними. Це відоме вже нам виділяюче судження. Наприклад, “Якщо і тільки якщо геометрична фігура є квадратом, то вона є рівнобічним прямокутником’’. Якщо поміняти ліву та праву частини висловлюван­ня, то його смисл не зміниться.

Оскільки логіка висловлювань відволікається від предметного зміс­ту атомів, то важливим для нас є значення істинності подвійної імплі­кації. 1) Якщо вона є істинною, то це означає, що обидва атоми є одно­часно або істинними, або хибними. 2) Якщо вона є хибною, то це озна­чає, що значення істинності атомів є протилежним.

6) Заперечення. Запереченням висловлювання А називають ви­словлювання ~А (читають “неправильно, що А” або просто “не А”), яке є істинним, коли А - хибне, і навпаки. Цьому визначенню від­повідає таблиця:

З таблиці видно, що два суперечливих твердження завжди мають протилежні значення істинності.

Використовуючи пропозиційні змінні та символи логічних опера­цій, будь-яке висловлювання можна ^формалізувати, тобто замінити формулою логіки висловлювань, яка буде відображати його структуру.

Наприклад, “Неправильно, що коли зберуться Петро та Микола, то вонь будуть грати в шахи”.

У структурі цього висловлювання є три атоми:

А - буде Петро;

В - буде Микола;

C - вони будуть грати в шахи,

та такі логічні операції: заперечення (~); коли (якщо)..то... (—>);.. та (і)... (Л).

Отже, структура цього висловлювання:

Читаємо: “Неправильно, що, якщо А і В, то С”. Зрозуміло, що ц; формула відображає множину висловлювань такого типу, бо А, В, C можуть символізувати різні за змістом твердження.

4.