§ 17. Доказательства посредством reductio ad impossibile

Модусы Вагосо и Bocardo не могут быть посредством обращения сведены к первой фигуре. Обращение посылки А дает посылку /, которая совместно с посылкой О не дает никакого заключения.

Аристотель пробует доказать эти два модуса посредством reductio ad impossibile, апаушут]sis то dSovarov. Доказательство Вагосо выглядит следующим образом: «Если Мприсуще всякому Nyа некоторому X не присуще, то Nнеобходимо не присуще некоторому X; действительно, если бы оно было присуще всякому (X), то, поскольку Мвысказывается обо всяком NyМнеобходимо было бы присуще всякому X Предположено же было, что оно некоторому (X)не присуще» . Это весьма сжатое доказательство нуждается в объяснении. Обычно оно объясняется следующим образом : мы должны доказать силлогизм:

Если М присуще всякому N и М не присуще некоторому Ху то Nне присуще некоторому X.

Допустим, что посылки «Мприсуще всякому N»и «Л4 не присуще некоторому X» истинны; тогда и заключение «Nее присуще некоторому X» также должно быть истинно. В самом деле, если бы оно было ложным, то было бы истинным противоречащее ему положение «Л/ присуще всякому X». Это последнее предложение и является отправным пунктом нашего сведения (редукции). Так как было принято, что посылка «М присуще всякому N»истинна, мы из этой посылки и предложения «Nприсуще всякому X» по модусу Barbara получаем заключение «Мприсуще всякому X». Но это заключение ложно, ибо было принято, что истинно противоречащее ему предложение «Мне присуще некоторому X». Следовательно, должен быть ложен отправной пункт нашего сведения «Nприсуще всякому X», который ведет нас к этому ложному заключению, а ему противоречащее положение «М не присуще некоторому X» должно быть истинным.

Этот аргумент только по видимости убедителен; в действительности же он не доказывает вышеприведенного силлогизма. Он может быть применен только к традиционному модусу Вагосо (я привожу этот модус в его обычной форме с глаголом «быть», а не в аристотелевской форме с глаголом «быть присущим»):

Всякое Nесть М,

Некоторое X не есть М.

Следовательно,

Некоторое X не есть N.

Это есть правило вывода, оно позволяет нам утверждать, что заключение доказано, если посылки истинны.

Но оно ничего не говорит о том случае, когда посылки не истинны. Такой случай не имеет отношения к правилу вывода, так как очевидно, что вывод, основанный на ложных посылках, не может быть законным. Между тем аристотелевские силлогизмы являются не правилами вывода, а предложениями. Силлогизм (1) —это импликация, которая истинна для всех значений переменных М, N и X, а не только для тех значений, при которых посылки оказываются истинными. Если мы применим этот модус Вагосо к таким терминам: М = «птица», N == «живое существо», а X = «сова», то мы получим истинный силлогизм (я употребляю формы с глаголом «быть», как это делает в примерах и Аристотель):

Если все живые существа суть птицы и некоторые совы не суть птицы, то некоторые совы не суть живые существа.

Это пример модуса Вагосо, поскольку он получается в результате подстановки в него. Однако вышеприведенный аргумент не может быть применен к этому силлогизму. Мы не можем допустить, что посылки истинны, потому что предложения «Все живые существа суть птицы» и «Некоторые совы не суть птицы» определенно ложны. Нам нет нужды предполагать, что заключение ложно; оно ложно независимо от того, предполагаем ли мы его ложность или нет. Но главное СО'СТОИТ в том, что противоречащее заключению предложение «Все совы суть живые существа» вместе с первой посылкой «Все живые существа суть птицы» дает не ложное, а истинное заключение: «Все совы суть птицы». Reductio ad itopossi- bile в этом случае невозможно.

Данное Аристотелем доказательство не является ни достаточным, ни доказательством посредством reductio ad impossibile. Аристотель описывает косвенное доказательство или демонстрацию per impossibile в отличие от прямого или явного доказательства, как такое доказательство, которое постулирует то, что хочет опровергнуть, и опровергает посредством сведения к утверждению, принятому в качестве ложного, в то время как явное доказательство отправляется от предложений, принятых в качестве истинных К Согласно этому, если мы должны доказать предложение посредством reductio ad impossibile, мы должны начать с его отрицания и извлечь отсюда очевидно ложное утверждение.

Косвенное доказательство модуса Вагосо должно начинаться с отрицания этого модуса, а не с отрицания его заключения, и это отрицание должно вести к безусловно ложному положению, а не к предложению, ложность которого допускается лишь при определенных условиях. Я здесь дам набросок такого доказательства. Пусть а обозначает предложение «М присуще всякому А», р обозначает «А присуще всякому X» и 7 — «М присуще всякому X». Так как отрицание посылки А есть посылка О, то «не-р» будет иметь значение «А не присуще некоторому Х»>а «не-7»— «М не присуще некоторому X». Согласно модусу Вагосо, импликация «Если а и не-7, то не-p» истинна, или, иными словами, а и не-7 совместно с р не истинны. Следовательно, отрицание этой импликации. будет означать, что «а и р и не-7» вместе истинны. Но из «а и Р» по модусу Barbara следует «7»; мы получаем, следовательно, «7 и не-7», то есть предложение очевидно ложное, противоречивое в своей форме. Нетрудно видеть, что настоящее доказательство модуса Вагосо посред-ством reductio ad impossibile совершенно отлично от того, которое было дано Аристотелем.

Модус Вагосо может быть доказан из модуса Barbara посредством очень простого явного доказательства, которое нуждается в одном только положении пропозициональной логики. Это положение — сложный закон транспозиции:

Если (если р и q,то г), то если р, и не верно, что г, то не верно, что q .

Подставим на место р «М присуще всякому N»,на место q— «Nприсуще всякому X» и на место г— «М присуще всякому X». С помощью этой подстановки мы получаем в антецеденте (4) модус Barbara и, следовательно, мы можем отделить консеквент, который гласит:

Если М присуще всякому Nи не верно, что М присуще всякому Ху то не верно, что Nприсуще всякому X.

Так как посылка О является отрицанием посылки А, мы можем в (5) заменить формы «не верно, что присуще всякому» формой «не присуще некоторому», получив таким образом модус Вагосо.

Не может быть сомнения в том, что Аристотель знал вышеупомянутый закон транспозиции.

Этот закон тесно связан с так называемым «обращением» силлогизма, которое Аристотель тщательно исследовал . Обратить силлогизм означает принять положение противоположное или противоречащее его заключению (в доказательствах per impossibile только противоречащее) вместе с одной из его посылок, посредством чего устраняется другая посылка. «Ибо если заключение подвергнуть превращению и (при этом) сохранить одну из посылок, то другую необходимо устранить, — говорит Аристотель, — в самом деле, если бы она осталась, то осталось бы также прежнее заключение» . Таково описание сложного закона транспозиции. Аристотель, следовательно, знает этот за-кон; более того, он применяет его к получению из модуса Barbara модусов Вагосо и Bocardo. В той же главе, исследуя обращение модусов первой фигуры, он пишет: «...пусть силлогизм будет утвердительным [то есть Barbara] и пусть подвергнется такому же [то есть посредством противоречащего отрицания] превращению; следовательно, если А присуще не всякому С и присуще всякому Ву то В будет присуще не всякому С. И если А присуще не всякому С, а В — всякому С, то А будет присуще не всякому В» К Доказательства модусов Вагосо и Bocardo здесь даны в их простейшем виде.

В систематическом изложении силлогистики эти правильные доказательства подменены недостаточными демонстрациями per impossibile. Я полагаю, причина этого состоит в том, что Аристотель не признает аргументов є? uTtoQsaea)s (из предположения) в качестве инструментов подлинного доказательства. Для него всякое доказательство — это доказательство посредством категориче-ских силлогизмов; он хочет показать, что доказательство per impossibile является настоящим доказательством, поскольку оно, по крайней мере частично, состоит из категорического силлогизма. Анализируя доказательство теоремы, что сторона квадрата несоизмерима с его диагональю, Аристотель прямо утверждает: посредством силлогизма мы знаем, что положение, противоречащее этой теореме, приведет нас к абсурдному следствию, а именно, что нечетные числа равны четным, однако сама теорема доказывается, исходя из предположения, так как когда она отрицается, следует ложный результат2.

И Аристотель заключает, что все другие гипотетические аргументы такого же рода; в самом деле, в каждом случае силлогизм приводит к предложению, которое отличается от

«Первая аналитика», II, 8, 59Ь28.

«Первая аналитика», I, 23, 41а23. «...все (силлогизмы), которые строятся посредством приведения к невозможному, выводят ложное; но первоначально принятое они доказывают, исходя из (некоторого) предположения, так как при допущении (положения), противоречащего (первоначально принятому), вытекает нечто невоз* можное, как, например, когда доказывается несоизмеримость диаметра (со стороной), потому что, если допустить их соизмеримость, то нечетное было бы равно четному. Таким образом, то, что нечетное равно четному, выводится здесь силлогистически, а что диаметр (со стороной) несоизмеримы, доказывается исходя из предположения, ибо при допущении (положения), противоречащего первоначально при-нятому), вытекает ложное».

юз

первоначального положения, а первоначальное положение достигается путем допущения или некоторого другого предположения К Все это, конечно, неверно: Аристотель не понимает природы гипотетических аргументов. Доказательство Вагосо и Bocardo посредством закона транспозиции достигается не благодаря допущению или какому-либо предположению, но осуществляется в силу очевидного логического закона; кроме того, это, конечно, доказательство одного категорического силлогизма на основании другого, однако совершающееся не путем категорического силлогизма.

В конце первой книги «Первой аналитики» Аристотель замечает, что имеется много гипотетических аргу-ментов, которые следовало бы рассмотреть и описать, и обещает впоследствии это сделать . Это обещание он нигде не выполняет . Последнее сделали стоики. Они включили теорию гипотетических аргументов в свою систему пропозициональной логики, в которой нашел свое место и сложный закон транспозиции. В связи с аргументом Энезидема (не имеющим отношения к нашей задаче) стоики проанализировали следующее правило вывода, соответствующее сложному закону транспозиции: «Если первое и второе, то третье; однако не третье, и все же первое, следовательно, не второе» .

Это правило сво-дится ко второму и третьему недоказуемым силлогизмам логики стоиков. Мы уже знаем, что первый недоказуемый силлогизм — это modus ponens; второй — modus tol- lens: «Если первое, то второе; но не второе; следова- тельео, не первое». Третий недоказуемый силлогизм начинается с отрицания конъюнкции и гласит: «Не верно, что первое и второе; но первое; следовательно, не второе». Согласно Сексту Эмпирику, анализ стоиков выглядит таким образом: с помощью второго недоказуемого силлогизма мы получаем из импликации «если первое и второе, то третье» и отрицания ее консеквеета «не третье» отрицание антецедента «не верно, что первое и второе». Из этого предложения, которое фактически содержится в неявном виде -в посылках, и посылки «первое» по третьему недоказуемому силлогизму следует заключение «не второе» *. Это одно из самых точных доказа-тельств, которым мы обязаны стоикам. Мы видим, что компетентные логики 2000 лет тому назад рассуждали таким же образом, как мы это делаем сегодня.

<< | >>

↑

Источник: Я. ЛУКАСЕВИЧ. АРИСТОТЕЛЕВСКАЯ СИЛЛОГИСТИКАС ТОЧКИ ЗРЕНИЯ СОВРЕМЕННОЙ ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва, 1959. 1959

Еще по теме § 17. Доказательства посредством reductio ad impossibile:

- Античная философия - Восточная философия - История философии Возрождения - История философских учений - Логика - Немецкая классическая философия - Основы философии - Политическая философия - Русская философия - Современные философские исследования - Социальная философия - Философия культуры - Философия образования - Философия религии - Философская антропология - Философы - Экзистенциализм - Этика -

- Антропология - Астрономия - Безопасность жизнедеятельности - Библиотечное дело - Биология - Военное дело - География - Зоология - История - Культурология - Литература - Математика - Медицина - Педагогика - Политология - Право России - Право України - Психология - Религоведение - СМИ и журналистика - Социология - Технические науки - Транспорт - Физика - Философия - Финансы - Экология - Экономика - Этнография и демография - Юриспруденция - Языкознание -