§ 16. Доказательства посредством обращения

Доказательства несовершенных силлогизмов посред-ством обращения посылок — простейший и чаще всего используемый прием Аристотеля. Проанализируем два примера. Доказательство модуса Festino второй фигуры выглядит следующим образом: «Если М не присуще ни одному N, но присуще некоторому X, то Nнеобходимо не присуще некоторому Х\ а так как отрицательное суждение обратимо, то и А не будет присуще ни одному

М.

Это доказательство базируется на двух предпосылках. Одна из них — закон обращения предложений вида Е:

Если М не присуще ни одному N, то Nне присуще ни одному М.

Другая — модус Ferio первой фигуры:

Если Nне присуще ни одному М и М присуще

некоторому X,то N не присуще некоторому X.

Из этих предпосылок мы должны вывести модус Fe- stino.

Если Мне присуще ни одному Nи Мприсуще

некоторому Ху то N не присуще некоторому X.

Аристотель осуществляет это доказательство интуитивно. Анализируя его интуиции, мы находим два положения исчисления высказываний: одно из них — это вышеупомянутый закон гипотетического силлогизма, который может быть представлен в следующем виде:

Если (если р, то q)yто [если (если qyто г), то (если р, то г)] .

Другое положение гласит:

Если (если р, то q),то (если р и г, то qи г).

Это положение вслед за Пеано называется в «Ргіпсіріа Mathematica» принципом множителя. Оно показывает, что мы можем «умножать» обе стороны импликации на общий множитель, то есть можем прибавить при помощи слова «и» к р и qновое предложение г .

Мы исходим из этого положения (5). Так как руqи г — это пропозициональные переменные, мы можем на их место подставить посылки аристотелевской логики. Подставляя «Мне присуще ни одному N»вместо р, «N не присуще ни одному М»вместо qи «М присуще некоторому X» вместо г, мы получаем из антецедента (5) закон обращения (1) и можем отделить консеквент (5) в качестве нового положения.

Если М не присуще ни одному Nи М присуще некоторому X, то Nне присуще ни одному М и М присуще некоторому X.

Консеквент этого положения тождествен с антецедентом положения (2). Следовательно, мы можем применить к (6) и (2) закон гипотетического силлогизма, подставляя вместо р конъюнкцию «М не присуще ни одному Nи М присуще некоторому X», вместо q— конъюнкцию «Nне присуще ни одному М и М присуще некоторому X», а вместо г — предложение «Nне присуще некоторому X». Применяя дважды правило отделения, мы получаем из этого нового положения модус Festino'.

Второй пример, который я хочу проанализировать, несколько иной. Это упоминавшееся выше доказательство модуса Disamis К Мы должны доказать следующий несовершенный силлогизм:

Если Rприсуще всякому S и Р присуще некоторому S, то Р присуще некоторому R.

Доказательство основывается на модусе Darii первой фигуры:

Если Rприсуще всякому S и Sприсуще некото-рому Р, то Rприсуще некоторому Р и

на законе обращения предложений вида /, который применяется дважды, один раз в форме:

Если Р присуще некоторому S,то S присуще не-которому Р,

а второй раз в форме:

Если Я присуще некоторому Р, то Р присуще некоторому R.

В качестве вспомогательных положений пропозициональной логики мы имеем закон гипотетического силлогизма и следующее положение, которое несколько отличается от положения (5), но также может быть названо принципом множителя:

Если (если р, то q), то (если г и р, то г и q). Различие между (5) и (11) состоит в том, что в (11) общий множитель г стоит не на втором месте, как в (5), а на первом. Так как конъюнкция коммутативна и «р й г» эквивалентно «г и р», это различие не сказывается на правильности положения.

Доказательство, которое дает Аристотель, начинается с обращения посылки «Р присуще некоторому S».Следуя этой процедуре, подставим в (11) на место р посылку «Р присуще некоторому S», на место qпосылку «Sприсуще некоторому Р», а на место г посылку «Rприсуще всякому S».С помощью такой подстановки мы получаем из антецедента положения (11) закон обращения (9), и, следовательно, мы можем отделить консеквент (11), который гласит:

Если R присуще всякому S и Р присуще некоторому S, то Rприсуще всякому S и S присуще некоторому Р.

Консеквент (12) тождествен с антецедентом (8).

и (8) получить силлогизм:

Если Rприсуще всякому S и Р присуще некото-рому S, то Rприсуще некоторому Р.

Этот силлогизм, однако, еще не требуемый модус Disarms, а лишь Datisi. Конечно, модус Disamis может быть выведен из Datisi путем обращения его консеквента согласно положению (10), то есть посредством применения гипотетического силлогизма к (13) и (10). Однако, по-видимому, сам Аристотель избрал иной путь: вместо выведения Datisi и обращения его заключения он обращает заключение Darii, получая силлогизм:

Если Rприсуще всякому S и S присуще некоторому Р, то Р присуще некоторому Р,

а затем он интуитивно применяет к (12) и (14) закон гипотетического силлогизма. Силлогизм (14) является модусом четвертой фигуры, называемым Dimaris. Как мы уже знаем, Аристотель упоминает этот модус в начале книги второй «Первой аналитики».

Подобным же образом мы могли бы проанализировать и все другие доказательства посредством обращения. Из этого анализа следует, что если к совершенным силлогизмам первой фигуры и законам обращения мы добавим три закона логики предложений, а именно закон гипотетического силлогизма и два закона множителя, мы получим строго формализованные доказательства всех несовершенных силлогизмов, за исключением Вагосо и Bocardo. Для доказательства этих модусов требуются другие положения пропозициональной логики.