<<
>>

§4. Определители

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде:

.

Найдем x1 следующим образом: чтобы исключить x2, умножим первое уравнение на a22 и из полученного уравнения вычтем второе, умноженное на a12:

. (1)

Обозначим D = a11a22 – a12a21, D1 = b1a22 – b2a12.

Для определения x2 поступим так: умножим второе уравнение на a11 и из полученного уравнения вычтем первое, умноженное на a21:

(a11a22 – a12a21)x2 = a11b2 – a21b1. (2)

Обозначим D2 = a11b2 – a21b1.

Из (1) и (2) видно, что если D ? 0, то система имеет единственное решение[1], определяемое формулой

. (3)

Величина D называется определителем матрицы второго порядка

.

Вообще определителем произвольной матрицы второго порядка называется число, которое обозначается и равно произ­

ведению двух чисел, стоящих на главной диагонали минус произведение двух чисел, стоящих на другой диагонали: a11a22 – a12a21.

Например,

.

Из сказанного следует, что величины D1 и D2 в (3) тоже являются определителями:

.

Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

. (4)

Введем определение. Определителем произвольной квадратной матрицы третьего порядка называется сумма шести слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трех элементов матрицы, выбираемых по следующему правилу: три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников: , берутся со знаком "+", а три произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах двух других треугольников: , берутся со знаком "-". Определитель третьего порядка обозначается так:

.

Например,

Решая систему (4), например методом Гаусса, можно получить равенства

D?x1 = D1; D?x2 = D2; D?x3 = D3, (5)

где

.

Из формул (5) видно, что если D ? 0, то единственным образом определяется решение системы:

.

Решая квадратные системы линейных уравнений 4-го, 5-го или любого более высокого порядка, можно получить формулы, аналогичные формулам (1), (2) или (5).

Дадим определение определителя

квадратной матрицы n-го порядка или просто определителя n-го порядка. (В дальнейшем, принимая во внимание введённое обозначение, под элементами, строками и столбцами определителя матрицы будем подразумевать элементы, строки и столбцы этой матрицы.)

Сформулируем понятие n! (читается эн факториал): если n – натуральное (целое положительное) число, то n! – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

n! = 1?2?3?¼?(n – 1) n.

Например,

5! = 1?2?3?4?5 = 120.

Замечание: в некоторых книгах вместо термина "определитель" используется термин "детерминант" и определитель матрицы A обозначается detA.

Определителем n-го порядка называется сумма n! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца определителя[2] . (Произведения отличаются одно от другого набором элементов.) Перед каждым произведением ставится

знак "+" или "-". Покажем, как определить, какой нужно ставить знак перед

произведением.

Так как в каждом произведении присутствует один элемент из 1-й строки, один элемент из 2-ой и т.д., то произведение в общем виде можно записать так:

a1i?a2j?a3k?¼?ans.

Здесь i, j, k, ¼, s – номера столбцов, в которых стоят элементы, выбранные из 1-й, 2-й, 3-й, ... n-й строк, соответственно. Ясно из сказанного выше, что каждое из чисел i, j, k, ¼, s равно какому-либо из чисел 1, 2, ..., n, и что все числа i, j, k, ¼, s – различные.

Расположенные в данном порядке

i, j, k, ¼, s,

эти числа образуют "перестановку" из чисел 1, 2, ..., n (перестановкой называется заданный порядок в конечном множестве).

Взаимное расположение двух чисел в перестановке, когда большее стоит впереди меньшего называется инверсией. Например, в перестановке три инверсии; в перестановке – шесть инверсий.

Перестановка называется четной, если в ней четное число инверсий и нечетной, если число инверсий нечетное.

Теперь можно сформулировать правило: произведение a1i?a2j?a3k?¼?ans берется со знаком "+", если вторые индексы образуют четную перестановку, и со знаком "-", если нечетную.

Из определения определителя можно вывести следующие его свойства.

1. Если поменять местами две строки определителя (два столбца), то получим новый определитель, равный исходному, умноженному на .

2. Определитель, имеющий две равных строки (два равных столбца), равен нулю.

3. Если одну из строк определителя умножить на какое-либо число, то получится определитель, равный исходному, умноженному на это число.

4. Определитель транспонированной[3] матрицы равен определителю исходной матрицы.

5. Если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и любой другой строки, умноженной на некоторое число, то полученный новый определитель будет равен исходному.

До сих пор было показано, как вычислять определитель второго и третьего порядков. Чтобы вычислить определитель более высоких порядков, пользуются формулой Лапласа разложения определителя по строке или столбцу:

detA = ai1(–1)i+1M i1 + ai2(–1)i+2M i2 +¼+ ain(–1)i+nM in =

= a1j (–1) 1+jM 1j + a2j(–1)2+jM 2j +¼+ anj(–1) n+jM nj

Здесь i и j — любые числа от 1 до n. Последняя формула представляет собой разложение определителя по i-й строке или j-му столбцу. Mij называется минором и равняется определителю порядка n – 1, который получается из определителя detA, если вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец. Произведение (–1)i+jMij обозначается Aij и называется алгебраическим дополнением элемента aij.

Пусть D – определитель четвертого порядка: . Представим его разложение по второй строке:

,

и по второму столбцу:

.

Аналогичным образом можно вычислить D, разлагая его по первой, третьей, четвертой строке или по первому, второму или четвертому столбцу.

Вычисление определителя четвертого порядка сводится в худшем случае (если среди элементов нет нулей) к вычислению четырех определителей третьего порядка.

Аналогичным образом вычисление определителя 5-го порядка сводится к вычислению 5-ти определителей 4-го порядка и т.д.

Для того, чтобы получить представление о том, что такое определитель n-го порядка, не прибегая к определению на предыдущей странице, можно поступить так: выучить, как вычисляются определители 2-го и 3-го порядков и как по методу Лапласа сводить вычисление определителя n-го порядка к вычислению определителя n – 1-го порядка. Тогда становится понятным, как вычислять определитель 4-го порядка, затем 5-го порядка и т. д.

Из сказанного следует, что вычисление определителя 5-го порядка можно в общем случае свести к вычислению 20-ти(!) определителей 3-го порядка, что очень затрудняет задачу.

Вычисление определителя упрощается, если воспользоваться свойством 5. Пусть D – определитель четвертого порядка:

.

Этот определитель разложим по третьей строке, так как там есть нуль и, что особенно важно, –1. Задача заключается в таком преобразовании определителя D, чтобы получить нули на месте a31 и a33. К первому столбцу прибавим второй столбец, умноженный на –2, а к третьему столбцу прибавим второй столбец, умноженный на –3. Второй столбец, с помощью которого проводились преобразования, остается без изменений.

Таким образом вычисление определителя 4-го порядка сведено к вычислению только одного определителя 3-го порядка:

.

Пусть теперь D — определитель 5-го порядка:

.

Предположим, что мы решили разложить его по первому столбцу. Можно поступить следующим образом. Оставим первую строку без изменений. Вторую строку умножим на 3 и прибавим к ней первую, умноженную на –2. При этом обязательно за знак определителя выносится множитель (см. свойство 3). Вместо третьей строки пишем сумму третьей и умноженной на первой. Четвертую строку умножаем на 3 и прибавляем первую, умноженную на –4, опять вынося множитель за знак определителя. Пятую строку умножаем на 3, прибавляем к ней первую, умноженную на –5 и опять выносим за знак определителя. Теперь получим

.

Теперь вычисление определителя 5-го порядка сведено к вычислению только одного определителя 4-го порядка.

Таким образом, пользуясь свойствами определителя и методом Лапласа, можно вычисление определителя n-го порядка свести к вычислению лишь одного определителя порядка n – 1.

<< | >>
Источник: Конспект лекций Линейная алгебра. 2016

Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House

Воспользуйтесь формой поиска

§4. Определители

релевантные научные источники:
  • Ответы к экзамену по дисциплине «Экономическая теория»
    | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 0.56 Мб
    1. Предмет микроэкономики 2. Фундаментальные параметры рыночного механизма: спрос, предложение, цена 3. Понятие спроса. Потребности и спрос 4. Функция спроса 5. Кривая спроса. Прямая функция спроса
  • Шпаргалка по предмету Линейная Алгебра
    | Шпаргалка | 2016 | docx | 0.34 Мб
    1. Определитель третьего порядка. Схема вычисления «по правилу треугольников» и по «правилу добавления столбцов». 2. Перестановка. Определение. Инверсия. Чётность перестановки. 3. Теорема: Если
  • Ответы на экзамен по высшей математике
    | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | docx | 2.37 Мб
    Врпросы 1. Декартова и полярная система координат. 2.Расстояние между двумя точками на плоскости. 3.Деление отрезка в данном отношении. 4.Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и в данном
  • Методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
    | Лекция | 2016 | Украина | docx | 1.76 Мб
    Розглянемо чисельні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь МЕТОД ГАУССА УМОВИ ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ГАУССА. МЕТОД ГАУССА С ВЫБОРОМ ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МЕТОДОМ
  • Диалектика, ее категории и законы
    | Лекция | | docx | 0.01 Мб
    Детерменизм и индетерминизм. Динамические и статистические закономерности. Диалектические принципы Единство логического и исторического, абстрактного и конкретного Практика как критерий истины и
  • Диалектика
    | Ответы к зачету/экзамену | | Россия | docx | 0.12 Мб
    1. Общее понятие диалектики и развития. 2. Общее понятие законов диалектики. 3. Закон единства и борьбы противоположностей. 4. Закон перехода количественных изменений в качественные. 5. Закон