§4. Определители
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде:
.
Найдем x1 следующим образом: чтобы исключить x2, умножим первое уравнение на a22 и из полученного уравнения вычтем второе, умноженное на a12:
. (1)
Обозначим D = a11a22 – a12a21, D1 = b1a22 – b2a12.
Для определения x2 поступим так: умножим второе уравнение на a11 и из полученного уравнения вычтем первое, умноженное на a21:
(a11a22 – a12a21)x2 = a11b2 – a21b1. (2)
Обозначим D2 = a11b2 – a21b1.
Из (1) и (2) видно, что если D ? 0, то система имеет единственное решение[1], определяемое формулой
. (3)
Величина D называется определителем матрицы второго порядка
.
Вообще определителем произвольной матрицы второго порядка называется число, которое обозначается
и равно произ
ведению двух чисел, стоящих на главной диагонали минус произведение двух чисел, стоящих на другой диагонали: a11a22 – a12a21.
Например,
.
Из сказанного следует, что величины D1 и D2 в (3) тоже являются определителями:
.
Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
. (4)
Введем определение. Определителем произвольной квадратной матрицы третьего порядка называется сумма шести слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трех элементов матрицы, выбираемых по следующему правилу: три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников:
, берутся со знаком "+", а три произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах двух других треугольников:
, берутся со знаком "-". Определитель третьего порядка обозначается так:
.
Например,
Решая систему (4), например методом Гаусса, можно получить равенства
D?x1 = D1; D?x2 = D2; D?x3 = D3, (5)
где
.
Из формул (5) видно, что если D ? 0, то единственным образом определяется решение системы:
.
Решая квадратные системы линейных уравнений 4-го, 5-го или любого более высокого порядка, можно получить формулы, аналогичные формулам (1), (2) или (5).
Дадим определение определителя
квадратной матрицы n-го порядка или просто определителя n-го порядка. (В дальнейшем, принимая во внимание введённое обозначение, под элементами, строками и столбцами определителя матрицы будем подразумевать элементы, строки и столбцы этой матрицы.)
Сформулируем понятие n! (читается эн факториал): если n – натуральное (целое положительное) число, то n! – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
n! = 1?2?3?¼?(n – 1) n.
Например,
5! = 1?2?3?4?5 = 120.
Замечание: в некоторых книгах вместо термина "определитель" используется термин "детерминант" и определитель матрицы A обозначается detA.
Определителем n-го порядка называется сумма n! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца определителя[2] . (Произведения отличаются одно от другого набором элементов.) Перед каждым произведением ставится
знак "+" или "-". Покажем, как определить, какой нужно ставить знак перед
произведением.
Так как в каждом произведении присутствует один элемент из 1-й строки, один элемент из 2-ой и т.д., то произведение в общем виде можно записать так:
a1i?a2j?a3k?¼?ans.
Здесь i, j, k, ¼, s – номера столбцов, в которых стоят элементы, выбранные из 1-й, 2-й, 3-й, ... n-й строк, соответственно. Ясно из сказанного выше, что каждое из чисел i, j, k, ¼, s равно какому-либо из чисел 1, 2, ..., n, и что все числа i, j, k, ¼, s – различные.
Расположенные в данном порядке
i, j, k, ¼, s,
эти числа образуют "перестановку" из чисел 1, 2, ..., n (перестановкой называется заданный порядок в конечном множестве).
Взаимное расположение двух чисел в перестановке, когда большее стоит впереди меньшего называется инверсией. Например, в перестановке три инверсии; в перестановке
– шесть инверсий.
Перестановка называется четной, если в ней четное число инверсий и нечетной, если число инверсий нечетное.
Теперь можно сформулировать правило: произведение a1i?a2j?a3k?¼?ans берется со знаком "+", если вторые индексы образуют четную перестановку, и со знаком "-", если нечетную.
Из определения определителя можно вывести следующие его свойства.
1. Если поменять местами две строки определителя (два столбца), то получим новый определитель, равный исходному, умноженному на .
2. Определитель, имеющий две равных строки (два равных столбца), равен нулю.
3. Если одну из строк определителя умножить на какое-либо число, то получится определитель, равный исходному, умноженному на это число.
4. Определитель транспонированной[3] матрицы равен определителю исходной матрицы.
5. Если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и любой другой строки, умноженной на некоторое число, то полученный новый определитель будет равен исходному.
До сих пор было показано, как вычислять определитель второго и третьего порядков. Чтобы вычислить определитель более высоких порядков, пользуются формулой Лапласа разложения определителя по строке или столбцу:
detA = ai1(–1)i+1M i1 + ai2(–1)i+2M i2 +¼+ ain(–1)i+nM in =
= a1j (–1) 1+jM 1j + a2j(–1)2+jM 2j +¼+ anj(–1) n+jM nj
Здесь i и j — любые числа от 1 до n. Последняя формула представляет собой разложение определителя по i-й строке или j-му столбцу. Mij называется минором и равняется определителю порядка n – 1, который получается из определителя detA, если вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец. Произведение (–1)i+jMij обозначается Aij и называется алгебраическим дополнением элемента aij.
Пусть D – определитель четвертого порядка: . Представим его разложение по второй строке:
,
и по второму столбцу:
.
Аналогичным образом можно вычислить D, разлагая его по первой, третьей, четвертой строке или по первому, второму или четвертому столбцу.
Вычисление определителя четвертого порядка сводится в худшем случае (если среди элементов нет нулей) к вычислению четырех определителей третьего порядка.
Аналогичным образом вычисление определителя 5-го порядка сводится к вычислению 5-ти определителей 4-го порядка и т.д.
Для того, чтобы получить представление о том, что такое определитель n-го порядка, не прибегая к определению на предыдущей странице, можно поступить так: выучить, как вычисляются определители 2-го и 3-го порядков и как по методу Лапласа сводить вычисление определителя n-го порядка к вычислению определителя n – 1-го порядка. Тогда становится понятным, как вычислять определитель 4-го порядка, затем 5-го порядка и т. д.
Из сказанного следует, что вычисление определителя 5-го порядка можно в общем случае свести к вычислению 20-ти(!) определителей 3-го порядка, что очень затрудняет задачу.
Вычисление определителя упрощается, если воспользоваться свойством 5. Пусть D – определитель четвертого порядка:
.
Этот определитель разложим по третьей строке, так как там есть нуль и, что особенно важно, –1. Задача заключается в таком преобразовании определителя D, чтобы получить нули на месте a31 и a33. К первому столбцу прибавим второй столбец, умноженный на –2, а к третьему столбцу прибавим второй столбец, умноженный на –3. Второй столбец, с помощью которого проводились преобразования, остается без изменений.
Таким образом вычисление определителя 4-го порядка сведено к вычислению только одного определителя 3-го порядка:
.
Пусть теперь D — определитель 5-го порядка:
.
Предположим, что мы решили разложить его по первому столбцу. Можно поступить следующим образом. Оставим первую строку без изменений. Вторую строку умножим на 3 и прибавим к ней первую, умноженную на –2. При этом обязательно за знак определителя выносится множитель (см. свойство 3). Вместо третьей строки пишем сумму третьей и умноженной на
первой. Четвертую строку умножаем на 3 и прибавляем первую, умноженную на –4, опять вынося множитель
за знак определителя. Пятую строку умножаем на 3, прибавляем к ней первую, умноженную на –5 и опять выносим
за знак определителя. Теперь получим
.
Теперь вычисление определителя 5-го порядка сведено к вычислению только одного определителя 4-го порядка.
Таким образом, пользуясь свойствами определителя и методом Лапласа, можно вычисление определителя n-го порядка свести к вычислению лишь одного определителя порядка n – 1.
Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House
§4. Определители
- Ответы к экзамену по дисциплине «Экономическая теория» | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 0.56 Мб1. Предмет микроэкономики 2. Фундаментальные параметры рыночного механизма: спрос, предложение, цена 3. Понятие спроса. Потребности и спрос 4. Функция спроса 5. Кривая спроса. Прямая функция спроса
- Шпаргалка по предмету Линейная Алгебра | Шпаргалка | 2016 | docx | 0.34 Мб1. Определитель третьего порядка. Схема вычисления «по правилу треугольников» и по «правилу добавления столбцов». 2. Перестановка. Определение. Инверсия. Чётность перестановки. 3. Теорема: Если
- Ответы на экзамен по высшей математике | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | docx | 2.37 МбВрпросы 1. Декартова и полярная система координат. 2.Расстояние между двумя точками на плоскости. 3.Деление отрезка в данном отношении. 4.Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и в данном
- Методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь | Лекция | 2016 | Украина | docx | 1.76 МбРозглянемо чисельні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь МЕТОД ГАУССА УМОВИ ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ГАУССА. МЕТОД ГАУССА С ВЫБОРОМ ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МЕТОДОМ
- Диалектика, ее категории и законы | Лекция | | docx | 0.01 МбДетерменизм и индетерминизм. Динамические и статистические закономерности. Диалектические принципы Единство логического и исторического, абстрактного и конкретного Практика как критерий истины и
- Диалектика | Ответы к зачету/экзамену | | Россия | docx | 0.12 Мб1. Общее понятие диалектики и развития. 2. Общее понятие законов диалектики. 3. Закон единства и борьбы противоположностей. 4. Закон перехода количественных изменений в качественные. 5. Закон