Решение квадратныхуравнений

Одна из причин введения комплексных чисел состояла в том, чтобы добиться разрешимости любого квадратного уравнения, в частности уравнения

x² = – 1.

Покажем, что расширив поле действительных чисел до поля комплексных чисел, мы получили поле, в котором каждое квадратное уравнение разрешимо, т.е.

Это нетрудно установить проверкой: i•i = i² = – 1, (– i)•(– i) = i² = – 1.

Перейдем теперь к вопросу о решении полного квадратного уравнения. Квадратным уравнением называют уравнение вида:

ax² + bx + c = 0 (a ? 0),

где x – неизвестная, a, b, c – действительные числа, соответственно первый, второй коэффициенты и свободный член, причем a ? 0. Решим это уравнение, выполнив над ним ряд несложных преобразований.

· Разделим все члены уравнения на a ? 0 и перенесем свободный член в правую часть уравнения: К обеим частям уравнения прибавим выражение с тем, чтобы левая его часть представляла полный квадрат суммы двух слагаемых: Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения: Найдем значения неизвестной:

Теперь можно исследовать полученное решение. Оно зависит от значения подкоренного выражения, называемого дискриминантом квадратного уравнения. Если b² – 4ac > 0, то есть действительное число и квадратное уравнение имеет действительные корни.

Результаты исследования представлены ниже в таблице:

Итак, введение комплексных чисел позволяет разработать полную теорию квадратных уравнений. В поле комплексных чисел разрешимо любое квадратное уравнение.

Примеры.

1. Решите уравнение x² – 2x – 8 = 0.

Решение. Найдем дискриминант D = b² – 4ac = (– 2)² – 4•1•(– 8) = 36 > 0.

Уравнение имеет два действительных корня:

2. Решите уравнение x² + 6x + 9 = 0.

Решение. D = 6² – 4•1•9 = 0, уравнение имеет два равных действительных корня:

3. Решите уравнение x² – 4x + 5 = 0.

Решение. D = 16 – 4•1•5 = – 4 < 0, уравнение имеет мнимые корни: