Наращение и дисконтирование денежных сумм
Наращенной суммой денег называется их первоначальная сумма вместе с присоединенными к ней процентами к концу интервала наращения. Наращение - присоединение процентов к более поздним интервалам времени может осуществляться по простым и сложным процентам.
Наращение по простым процентам описывается арифметической прогрессией и осуществляется по формуле:
 |
где S - наращенная сумма ; P- первоначальная сумма; I- проценты за весь срок; n - число интервалов наращения; i - ставка простых процентов за интервал. Величина (1+ni) называется множителем наращения.
Наращение по сложным процентам (капитализация процентов) описывается геометрической прогрессией и осуществляется по формуле:
 |  | ||
Величина (1+i)n называется множителем наращения.
Процесс приведения стоимостной величины к более ранним моментам времени называется дисконтированием. Задача, обратная задаче наращения, возникает, когда надо определить приведенную к заданному моменту времени величину будущих доходов и расходов. Рассчитанная с помощью дисконтирования денежная сумма называется современной или приведенной величиной будущих доходов или расходов. Такая задача возникает, в частности, когда надо определить величину ссуды, при условии, что через время n она составит величину S.
Если при наращении по известной первоначальной сумме Р определяют будущую денежную сумму S, то при дисконтировании по заданной величине S определяют ее приведенную (дисконтированную) стоимость Р.
Математическое дисконтирование по простым процентам осуществляется по формуле:
 |
Математическое дисконтирование по сложным процентам
осуществляется по формуле:
 |
Рассмотрим приер. Обязательство в размере 40 тыс.р. выплачивается через три года. Определим его современную стоимость при условии, что ставка сложных процентов равна 0,12.
Решение. Р=40(1+0,12)-3=28,47 тыс.р. Другими словами современная стоимость долга в 40 тыс.р. составила 28,47 тыс.р.
В приведенных выражениях второй сомножитель называется дисконтным множителем.
Процесс начисления и удержания процентов вперед называется учетом. Проценты, вычисленные как S-P=D, называются дисконтом.
Учетные операции, когда до наступления срока платежа по платежному обязательству покупатель приобретает его у владельца по цене меньшей, чем сумма, которая должна быть выплачена в конце срока погашения, осуществляется по учетным ставкам (d). Простая годовая учетная ставка рассчитывается как (S-P)/S в отличии от простой годовой ставки процентов (S-P)/Р. Величина дисконта, полученного покупателем в конце срока обязательства, рассчитывается как Snd. Первоначальная сумма платежного обязательства составит:
 |
где n - продолжительность от момента покупки до даты погашения (платежа) по обязательству, исчисленная в годах.
Сопоставимость процентных ставок и условий договоров
В финансовой информации обычно используются годовые процентные ставки. Практические расчеты требуют исчисления ставок за период, так как проценты капитализируются, как правило, несколько раз в течение года.
Для сопоставления доходности различных вариантов использования денежных средств, многообразных финансовых инструментов (векселя, депозитные сертификаты, облигации и другие) и условий контрактов используют эффективные (действительные) ставки процентов. С помощью этой ставки рассчитывается реальный годовой доход, полученный по ставке сложных процентов тождественный m - разовой капитализации процентов за год по ставке j/m. Условие тождества финансовых результатов записывается в виде:
,
где i - эффективная ставка процентов; j - номинальная годовая ставка процентов; n - общее число периодов наращения, лет; m - число периодов начисления процентов в течение года. Из последнего тождества эффективная ставка процентов определяется как:
 |
Рассчитывая и сопоставляя эффективные ставки процентов, можно сравнивать доходность разнообразных финансовых инструментов и условий привлечения и размещения денежных средств, отличающихся числом периодов реинвестирования в течение принятого интервала времени.
Например, два банка А и Б привлекают вклады от граждан. Условия привлечения следующие. Банк А предлагает jА = 30 процентов годовых и возможность снять вклад и снова его открыть, реинвестируя накопления 2 раза в год - m = 1, а банк Б предлагает m = 4, а jБ = 20 процентов годовых.
В какой банк следует вложить деньги?
Эффективные ставки для банков составят:
iА = (1+0,30/2)2 - 1 = 1,152 - 1 = 0,3225;
iБ = (1+0,20/4)4 - 1 = 1,054 - 1 = 0,2155.
Банк А предлагает доходность вклада в расчете на год - 32,25%, банк Б - 21,55% и поэтому вклад выгоднее поместить в банк А. Можно определить величину выигрыша от размещения денег в банке А.
При сопоставлении различных видов ставок используется принцип эквивалентности, согласно которому применение сравниваемых ставок для участников операций, сделок и контрактов приводит к тождественным финансовым результатам.
Например, для простых ставок процента и простых учетных ставок эквивалентность достигается при:
 |  | ||
Анализ условий финансовых обязательств нельзя свести только а анализу процентных ставок.
В общем случае сравнение вариантов финансовых обязательств проводится на основе уравнения тождественности результатов, которое имеет следующий вид:
 |
где St¢, S?t - последовательность платежей по интервалам, соответственно, в первом и втором вариантах финансовых обязательств; Vt¢, Vt? - дисконтные множители, соответственно, в первом и втором варианте финансовых обязательств; Т¢, Т? - продолжительность платежей, соответственно, в первом и втором вариантах финансовых обязательств.
Уравнение характеризует тождество современных стоимостей суммы членов потоков платежей по вариантам обязательств.
Допустим, правая часть уравнения характеризует взаимоотношение сторон на дату установления обязательства. Реальная действительность заставила отступить от первоначальных договоренностей и осуществлять платежи по-иному. Это может быть другое распределение платежей во времени, увеличение или уменьшение продолжительности платежей и др. Чтобы сохранить первоначальную договоренность плательщик должен будет обеспечить кредитору тождественное значение современной стоимости членов потока платежей, что и по первоначальной схеме.
Рассмотрим пример. Пусть существует обязательство уплатить 100 тыс.р. через 5 лет. Стороны договора согласились изменить условия погашения долга следующим образом: через два года выплачивается 30 тыс.р., а оставшийся долг – спустя четыре года после первой выплаты.
Необходимо определить сумму окончательного платежа, если ставка сложных процентов равна 10% годовых.Решение. Составим уравнение тождественности результатов на дату установления обязательств:
100(1+0,1)-5=30(1+0,1)-2+S(1+0,1)-6.
Решим данное уравнение получим S=133,2 тыс.р.
В экономических расчетах следует учитывать отрицательные последствия инфляции. Реальная наращенная сумма денег с учетом их покупательной способности будет составлять S = S/Iи. Если ожидаемый среднегодовой темп инфляции (прирост цен) составит Iи, то годовой индекс цен соответствует (1+Iи). При сохранении предполагаемых темпов инфляции за n интервалов индекс цен составит (1+Iи)n. За n интервалов инфляция обесценит наращенную сумму до величины. При этом, если i = Iи, то роста реальной суммы не происходит. При Iи>i происходит эрозия (исчезновение) капитала. Рост реальной суммы денег обеспечивается при условии i>Iи.
Потери от снижения покупательной способности денег компенсируются тем, что при установлении номинальной (брутто) ставки в нее включают поправку, соответствующую темпу инфляции.
R = r + Iи,
где: R - брутто ставка процента;
r - реальная ставка процента.
Иногда компенсация осуществляется индексированием первоначальной суммы платежа Р на величину предполагаемой инфляции Р/(1+ Iи)n. При этом наращенная сумма S должна соответствовать безинфляционному росту вложенных средств.
S=Р(1+ i/1+Iи)n.