3.1 Баланс финансовой операции при использовании сложной и простой ставок наращения
Баланс финансовой операции предусматривает эквивалентность вложений и поступлений.
Рассмотрим баланс финансовой операции на примере погашения задолженности. Для анализа баланса может быть использован контур финансовой операции. На рис. 3.) показанО Тії Пі Пі n
контур финансовой операции для сложной процентной ставки. На этом рисунке представлены следующие величины: PQ ~ начальная сумма
Sі
3,11 Баланс финдисуаай операции при использовании сложной 97
долга, Я], ft4 ~ выплаты, S4 — наращенные но
сложной процентной сгаике t суммы долга, Рд, 0 — оставшиеся
суммы долга после выплат в моменты гн, n%t н», пл соответственно. Не погашенный остаток долга служит базой для начисления про цент ОБ ла следующий период. Сбалансирован пая операция имеет замкнутый контур, то есть последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности.
Как еле дусі из рис. 3.1, последняя ныплата определяется соотно-шением:
R, = 34 = 1 + і)14 "* - {St - n3) (1 + =
= [(Р1(1 + і)па'Пі - ЯЛ) (1 -і)**-11* - Ra] =
= [((fl,(l + t)rtI + - Ля) (1 + - x
x (1 +i)n*~n\
Раскрыл скобки в полученном выражении, перепишем его В ВИД©!
Яр(1 + -
- [/їі(1 + і)П4_ї1г + ЩІ + + л3(1 + І)ПІ~ПЗ + Н4] « о, (3.1)
Из этой формулы следует, что наращённая к концу срока первоначаль- пая сумма долга равна сумме частичных платежей, также наращённых к концу срока.
Разделив правую и левую части выражения (3.1) на (1 + О*4. Получим;fii , Яз , Яз . Я<
Р0-
+
(1-і-і)"1 ' + (і-нр ' (1+іГ ^
Из последней формулы следует, что сумма всех современных стоимо-стей выплат равна первоначальной величине долга.
Пример 3.1, В соответствии с обязательством долг а сумме 100 тыс. руб. должен быть погашен в течение трёх лет. Проценты начисляются по сложной процентной ставке 14% годовых. Погашение долга производится: частичными платежами: в конце первого года выплачивается сумма 20 тыс, руб., в конце второго -- 50 тыс. руб., остаток — в конце третьего года. Определить сумму, выплачиваемую в конце срока-
Ре щеп и е. Используя формулу (3.2), напишем исходное у равно-
100000 = »+ *
I -L J І 1 л И Л "I .4 Ч *
1 + 0,14 (14-0,14)' (1 + 0,14}
Решая это уравнение относительно Яз, получим сумму, выплачиваемую и конце срока; Яд = 65162,4 руб. И
Рассмотрим случай простой процентной ставки. При этом расчет может проводиться двумя методами. Первый метод, называемый ак- турным, используется в операциях со сроком более года. Контур фи-нансовой операции для этого случая показан їга рис. 3.2. Обычно при расчётах используются обыкновенные проценты с приближённым чис-
лом дней ссуды. Обозначения рис. 3,2 остались те же, что и для случая сложных процентов рис. 3.1. Непогашенный остаток долга, служит базой для начисления процентов за следующий период- Если частичный платёж меньше начисленных процентов, то его не учитывают в момент поступления а приплюсовывают к следующему платежу. Сбалансированная операция имеет замкнутый контур, то есть последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности. Для определения остатка задолженности: R4 (рис, 3.2), выплачиваемого в момент могут
быть использованы следующие формулы:
Pi - Ро(1 + піі)-Лі, (3.3)
+ R2, (3.4)
^з = Л(1 + (па-"а)0 -Я-ь (3,5)
О - Р3(1Ч- (п4 - n3)i) -Rt. (3.6)
Второй метод расчёта остатка долга называется правилом торговца, Этот метод поясняется на рис.
3.3. Сумма долга с начисленными процентами остаётся неизменной до полного погашения и в соответствии с рис. 3,3 равной PQ(l + 7iki). Параллельно идёт накопление частичных платежей, сумма которых после наращения к концу срока должна быть равна наращённой сумме дол і а, то есть;к
+ ? R3[l + (nh ~nj)il (3.7)
сумма частичного платежа под номером j, к — общее коли-
где Rj — ч ест во
Ро
Si Si
О
nj nj п
Рис. 3.3
частичных платежей- Если, например, известны uce сроки частич-ных платежей и псе выплаты, кроме последней, то эту последнюю выплату определяют ио формуле (37).
Пример 3.2, Ссуда у размере 10 тыс, руб. выдана L февраля до 1 августа включительно под простые проценты 18% годовых, В счёт погашения долга 16 апреля поступило С тыс. руб., а 16 июня — 100 руб. Определить остаток долга на конец срока актурным методом и правилом торговца.
Решение, Контур финансовой операции при расчёте остатка долга на конец срока актурным методом показан на рис. 3,4.
При расчёте потребуются следующие промежутки времени: с 01 февраля по 16 апреля — 75 дней, с 16 апреля по 16 июня — 60 дней, с 16 июня по 01 августа — 45 дней.
На 16 апреля до частичной выплаты величина долга составит:
Si = 10ООО (l 4- 0,18) = 10375 руб., V 360 /
а после частичной выплаты:
Pi = S\ - Rx = 10 375 -6000 =4 375 руб.
100 Логдулепие задолженности ц доходность кредитных операций [ Гл. 3
На 16 июня до частичной выплаты величина долга составит:
S2 = 4375 (l + ^ 0,18) = 4506,25 руб.
Так как проценты в данном случае = ?г — Pi — 4506,25 — 4375 = — 131,25 руб. больше взноса, равного 100 руб-, то взнос ire зачитывается и переносится на следующий платеж.
На I августа наращённая величина долга составит:
- 4 375 (l + 0,18) - 4004,69 руб.,
ОкоичателЬНЫЙ іглатеж І аізгугта будет равен:
Яз ~ - = 4004,69 - 100 = 4 504,69 руб.
Контур финансовой операции ари расчёте остатка долга на конец срока при помощи правила торговца показан на рис, 3.5.
Р0 = IOQOO
ный фонд для погашения долга или долг может погашаться в рас-срочку.
При использовании накопительного фонда могут быть использованы постоянные взносы или взносы, изменяющиеся по времени по заданным законам- Проценты при этом могут выплачиваться в конце каждого периода (рента постнумерандо) или присоединяться к сумме основного долі а
Рассмотрим случай выплат процентов по долі у п конце каждого гада постоянными суммами по сложной годовой процентной ставке а и при начислении на вносимые в фонд взносы по сложной годовой процентной стайке г.
Расходы, Состоящие из процентов по долгу А а и ежегодных выплат в фонд Я, называются срочными уплатами У, где А — величина долга на начальный момент. Долг должен быть выплачен через п лег. Таким образом, срочная уплата определяется выражением:К = Аа+Я^Ли-!- — 1~ ) . (3,8)
W V (I + г} - і J v '
Если проценты присоединяются к основному долгу и выплачиваются в конце срока, то срочная уплата вычисляется по формуле;
Пример 3,3. Долг в сумме 1 млн, руб., выданный иод 12% годовых, выплачивается равными частями и течение чегьфёх лет в конце каждоі-о ісда. Дли cm погашения создается фонд, в котором на инвестируемые средства начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить размеры срочных уплат ири ежегодной выплате процентов и прн выплате процентов в конце срока.
Решение. При ежегодной выплате процентов срочные уплаты вычисляются по формуле (3.8):
К = Л
+ (ЇТТГ^) - 1000000 (0Д2 + Ijph) =
^ 320 265,30 руб.
При выплате процентов в конце срока срочные уплаты определяются выражением (3.9):
у и А = 1 ООООООЬ^-З^И = 315121,41 руб. т
(1+г)" -1 1,15 — і
Для займа с выплатами процентов по долгу в конце каждого года, предусматривающего льготный период, равный t годам, н имеющего общий срок п лет, формула (3.8) приобретает вид;
Y — Аа+ —. (3.10)
V*1"
102 /Тазашетше ЗШЭРЛЭЦ^ИЛЮС-ТЦЦ її доходііостх> тфсдитпїіх операций [ Гл. 3
Второе слагаемое и этой формуле принимается рааЕіьім нулю по время лгьготнот периода.
Пример 3,4- Долг в сумме 1 млн, руб. выдан под 12% годовых на четыре года. Долг выплачивается равными частями в течение последних ДЕЗ ух лег в конце года. Для погашения долга создаётся фоігд, в котором па инвестируемые средства начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить размере,! срочных уплат при ежегодной иыплате процентов.
Решение. Б течений четырёх лет в конце года пыплачиваются яроц^нтьт, on рад ел я ем ьіе выражением:
/ = Аа - 1000000-0,12 = 120000 руб.
В конце последних двух лет ь накопительный фонд вносятся суммы, вычисляемые [[О формуле:
я = Л - = I ~ - - 465110,20 руб.
.Sn-t.r S2i IS 1Д5 -1
При погашении долга в рассрочку (амортизация долга) также могут быть использованы постоянные взносы или взносы, изменяющиеся но времени. Рассмотрим два варианта: погашение основного долга равным» суммами и погашение долга равными срочными уплатами. Проценты на сумму долга начисляются в конце каждого года по слиж- |зой годовой процентной ставке а.
При погашении основного долга равными суммами в конце каждого пода ? течение п лет величина долга каждый гид будет убывать на Ао/п, где AQ — величина первоначального долга. После очередной выплаты величина долга Aj в конце года под номером j будет равна;
Aj = А0 (1 - j/n). (3.11)
Срочная уплата, состоящая из ежегодной выплаты основного долга А0/ТІ И процентов В году под номером j будет равна:
Yj^Aj-i (3.12)
Пример 3.5. Сумму долга в 1 млн. руб, необходимо погасить в течение четырёх лет равными суммами. Выплаты основного ДОЛГА производятся н проценты на долг по ставке 12% годовых начисляются в конце каждого года. Составить план погашения долі а.
Решение, Ежегодные выплаты по погадцению основного долга составляют A^fri = 1 000 000/4 = 250000 руб. Оставшаяся сумма долга п конце каждого года определяется по формуле (3.L1).
/1^ = 1 ООО 000(1 — 1/4) = 750 ООО; = BOO ООО; А$ = 250000; Ал = 0.
= .4„ і a
Ежегодные вы платы процентов определяются соотношением I j —•
j ¦
і і — A0a = J 000 000 - 0,12 = 120 000; I2 = 750000 ¦ 0,12 = 90000;
/з = 500000 0,12 = 60000; 14 = 250 ООО - 0,12 = 30000, Срочные уплаты находим по формуле (3,12): У, = 120 ООО + 250 000 = 370 ООО; = 90 ООО + 250 000 - 340 ООО; У* = 60 000 + 250 000 ^ 310 000; У4 = 30 ООО + 250 ООО = 2SO 000,
Полученные результаты удобно свести в таблицу (см. табл. 3,1), ¦
Таблица 3.1 Номер года Остаток долга на конец года, тыс. руб. Погашение основного долга, тыс. руб. Проценты, тыс. руб. Срочная уплата., тыс, руб. 1 750 250 120 370 2 500 250 30 340 3 250 250 60 310 4 0 250 30 280
При погашении долга равными срочными уплатами в конце каждого года в течение п лет ежегодные выплаты разбиваются на проценты и выплаты основного долга.
Так как величина долга последовательно сокращается, то такое разбиение приводит к уменьшению процентов и увеличению выплат основного долга. В этом случае формулу для расчёта срочной уплаты можно записать в виде;(3,13)
У — Aj^a -i-Rj — const,
где j = 1,2,„,,, n — номер года, — остаток долга в конце года под номером j — 1 после выплат или в конце года под номером j до выплат, Hj — сумма выплаты основного долга в конце года под номером j.
Величину срочной уплаты в рассматриваемом случае можно олре- делите как годовую выплату ренты с процентной ставкой о, сроком п и современной стоимостью, равной величине долга А о, то есть:
У =
ат
(3.14)
Остаток основного долга в конце года под ЕЮ мером j после выплат вычисляется по формуле:
(3.15)
j A j—j ftj -
Как следует из соотношений (3.13) н (3.15)і сумма, идущая на погашение основного долга в конце года под номером j, может быть рассчитана по формуле:
Rj — Y- Aj-ia = У — - = У - R^a (3.16)
Соотношение (3.13) можно записать в виде:
Y — Aj~2a — Rj-1*
Подставив это в формулу (ЗЛб), получим выражение для расчёта выплаты основного долга а конце года под номером j:
Hj = + а) = Aj-a(l + af = ... = Яі(1 + a)j~\ (3.17)
Используя это выражение, можно определить сумму выплат по основной задолженности к концу года под номером j:
і - 1
= + - дД+^Lzi = (3.18)
Значение выплаты н конце первого года R\ определяется соотношением:
Ег=У-А0а. (3.19)
Пример 3.6. Сумму долга в 1 млн, руб. необходимо погасить в течение четырёх лет равными срочными уплатами. Срочные уплаты производятся в конце каждого года. Проценты и а долг начисляются по ставке 12 % годовых. Составить план погашения долга.
Решение. Ежегодные срочные уплаты по погашению долга вычисляются по формуле (3.14):
У = = 1000000-ода = 329234,44 РУб.
1 - (1 + а)~п 1 -1,12 1 ™
Значение выплаты в конце первого года определяется соотношением (3,19);
Ri = Г - А0а = 329 234,44 - 1000 000 ¦ 0,12 = 209 234,44 руб.
Проценты в конце первого года равны:
h = А0а = 1000 000 -0,12 = 120000 руб.
Выплаты основного долга в конце каждого года определяются по формуле (3-17):
Д2 = Яі(1 + а) = 209 234,44 .1,12 = 234342,57, Я3 = Яі(1 + а)2 = 209234,44 • 1,12й = 262463,67, Я4 = Яі(1 + а)3 = 209234,44 -1,12і = 293959,32. Ежегодные выплаты процентов определяются соотношением:
Ij — Aj-ia = Y - Rj.
Проведя расчёты по этой формулел получим ежегодные выплаты процентов для второго} третьего и четвёртого годов:
h = 329 234,44- 234342,57 = 94891,87,
h = 329234,44 - 262463,67 = 06770,77, U — 329 234,44 - 293 959,32 = 35275Д2.
Остаток основного долга в конце каждого года после выплат вычисляется по формуле (3.15).
Полученные результаты сведены и табл. 3.2. ¦
Таблица 3.2 Номер года Срочная уплата, руб. Погашение долга, руб. Проценты, руГ Остаток долга на конец года, руб. 1 329234,44 209 234,44 12000 790 705,56 1 2 1 329 234.44 234342,57 94 891,87 556422,09 3 329234,44 262463,67 66 770,77 293 959,32 4 329 234,44 203 959,32 35 275,12 0