О ДВИЖЕНИИ, ИЛИ О ПРИНЦИПЕ И ПРИРОДЕ ДВИЖЕНИЯ И О ПРИЧИНЕ СООБЩЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ

Рассмотрение движения весьма волновало умы древних философов, порождая различные чрезвычайно трудно понимаемые (чтобы не сказать абсурдные) мнения, которые уже почти вышли из моды и, не заслуживая подробного обсуждения, не могут нас долго задерживать. В работах о движении, выполненных более современными и трезвыми мыслителями нашей эпохи, употребляется немало абстрактных и неясных по смыслу терминов, таких, как «сила тяжести» (solicitatio gravitatis), «влечение» (conatus), «мертвые силы» (vires mortuae) и т. д.,— терминов, которые затемняют смысл произведений, в других отношениях весьма поучительных, и порождают мнения, находящиеся в противоречии с истиной и здравым смыслом. Эти термины должны быть рассмотрены с большой тщательностью, не ради доказательства того, что иные люди заблуждаются, но в интересах самой истины.

Стремление (solicitatio) и порыв (nisus) или влечение (conatus) присущи только одушевленным предметам. Когда их приписывают другим предметам, их следует брать только в метафорическом смысле, но философу следовало бы воздерживаться от метафор. Более того, любой, кто всерьез обдумал это, согласится, что эти термины не имеют ясного смысла вне какой-либо деятельности разума и движения тела.

Когда мы поддерживаем тяжелые тела, мы ощущаем в себе напряжение, усталость и неудобство.

Таким же образом и сила (vis) приписывается телам; и слово это применяется так, как если бы оно означало известное качество, отличное от движения, фигуры и любой другой чувственно воспринимаемой вещи, а также от любого действия живого существа. Но если вы тщательнее рассмотрите, в чем тут дело, то согласитесь, что такая сила есть не что иное, как скрытое качество. Душевное усилие и телесное движение обычно рассматриваются как при-знаки и измерения этого скрытого качества.

Поэтому очевидно, что бессмысленно считать тяжесть или силу принципом движения, ибо как же этот принцип может быть познан более ясно, если его провозгласили скрытым качеством? То, что само по себе скрыто, ничего не объясняет. Я думаю, что нет основания утверждать, что непознанная действующая причина могла бы быть с большим правом отнесена к субстанции, чем к качеству. В то же время «сила», «тяжесть» и термины этого рода чаще используются конкретно (и это правильно), чтобы обозначить движущееся тело, силу сопротивления и т. д. Но когда они используются философами, чтобы обозначить определенные природы, вырванные и абстрагированные от всех этих вещей, природы, которые не являются объектами чувств, не могут быть постигнуты силами разума или же обрисованы воображением, тогда, конечно, они порождают ошибки и неясности.

Многие люди ошибаются насчет общих и абстрактных терминов.

Вообще мы полагаем, что телесную силу постичь нетрудно. Однако те, кто исследовали этот предмет более внимательно, имеют иное мнение, которое обнаруживается из странной неясности языка, когда они пытаются разъяс-нить его. Торричелли говорит, что сила и импульс (impetus) суть абстрактные и неуловимые вещи и квинтэссенции, которые включены в телесную субстанцию, как в волшебную вазу Цирцеи . В соответствии с этим Лейбниц, объясняя природу силы, говорил: «Активная простая сила, которая есть ?VTeAi%eiaYj ярйтті ^ соответствует душе или субстан-циальной форме» (см. «Acta Erudit.», Lips.3). Таким об-разом, даже величайшие люди, когда они дают волю аб-стракциям, вынуждены пользоваться терминами, которые не имеют определенного значения и являются просто тенями схоластических выдумок. Можно привести множество других отрывков из работ более молодых авторов, которые достаточно доказывают, что метафизические абстракции не оставляют места механической науке и эксперименту, но зато доставляют суетные хлопоты философам.

Из этого первоисточника проистекают различные нелепости, такие, как следующее изречение: «Сила толчка, как бы мала она ни была, бесконечно велика», которые на самом деле предполагают, что тяжесть есть определенное реальное качество, отличное от всех других, и что тяготение есть действие этого качества, реально отличающееся от движения. Но весьма малый толчок производит больший эффект, чем сильнейшее тяготение без движения. Первый сообщает некоторое движение, тогда как последнее — нет. Из этого выводят, что сила толчка превосходит силу тяготения в бесконечной пропорции, т.

10. Мы должны, кроме того, заметить, что силы не воспринимаются непосредственно сами по себе, не познаются и не измеряются иначе как по их действиям, но что касается мертвых сил, или простого тяготения в теле, находящемся в покое, то тут изменения не имеют места, здесь нет действия; в толчке же есть некоторое действие. Далее, поскольку силы пропорциональны действиям, мы вправе заключить, что мертвых сил нет; но мы не должны отсюда выводить, что сила толчка бесконечна, ибо мы не можем считать бесконечным положительное количество на основании того, что оно превосходит в бесконечной пропорции нулевое количество, или ничто.

И. Нельзя отделять силу тяготения от импульса, но нет импульса без скорости, ибо это есть масса, помноженная на скорость; в свою очередь скорость немыслима без движения, и то же самое относится, таким образом, к силе тяготения. Далее, ни одна сила не познается иначе как через действие, и через действие она и измеряется; но мы не в состоянии отделить действие тела от его движения; поэтому, пока тяжелое тело изменяет форму куска свинца, положенного под него, или же форму веревки, до тех пор оно движется; но, когда оно в покое, оно ничего не изменяет или (что то же самое) оно лишено действия. Короче говоря, с помощью метафизической абстракции предполагают, что термины «мертвая сила» и «тяготение» означают нечто отличное от движущегося, движимого, движения и покоя, но фактически это предполагаемое различие не имеет смысла.

12. Если кто-нибудь захочет сказать, что груз, подвешенный или присоединенный к веревке, действует на нее, ибо мешает ей вернуться в прежнее состояние из-за ее эластичности, я отвечу ему, что по аналогичному рассуждению находящиеся внизу тела действуют на тела верхние, покоящиеся на них, так как они мешают им опус- титься вниз. Но если одно тело препятствует другому находиться в том пространстве, которое оно само занимает, то это еще не может быть названо действием.

Иногда мы чувствуем давление тяготеющего тела.

Чтобы доказать, что какое-либо количество бесконечно, нужно показать, что некоторая конечная, однородная часть содержится в нем бесконечное количество раз. Но мертвая сила относится к силе толчка не как часть к целому, а как точка к линии, согласно тем авторам, которые считают силу толчка бесконечной. К этому можно добавить еще многое, но я боюсь оказаться многословным.

С помощью упомянутых принципов могут быть раз-решены знаменитые, весьма занимавшие умы ученых споры, например о пропорциональности сил. Одна из сторон, допуская, что сила, движение и импульс, сообщенные массе, рассматриваются просто как скорости, утверждает, что силы равны квадратам скоростей. Очевидно, такое мнение предполагает, что сила тела отлична от импульса, движения и побуждения, и без такого предположения это мнение не имеет смысла.

Чтобы еще более прояснить то, что столь странная путаница была введена в теорию движения метафизическими абстракциями, понаблюдаем разногласия во мнениях о силе и импульсе у известных лиц. Лейбниц путает импульс с силой. Согласно Ньютону, импульс фактически то же самое, что и сила инерции. Борелли утверждает, что импульс — это только степень скорости. Некоторые различают импульс и усилие, другие считают их тождественными. Большинство считает, что движущая сила пропор-циональна движению; но некоторые допускают существование иных сил кроме движущих и измеряемых другим способом, например квадратом скорости, помноженным на массу. Таким путем можно идти до бесконечности. 47. «Сила», «тяжесть», «притяжение» и термины этого рода полезны для доказательств и вычислений, относящихся к движениям и движущимся телам, но не для простого постижения природы самого движения и не для обозца- чения столь многих особых качеств.

Подобная же оценка должна быть дана сложению и разложению сил способом диагонали и сторон параллелограмма. Они служат целям механической науки и вычислений, но одно дело быть полезным в вычислениях и математических доказательствах, а другое — соответствовать природе вещей.

Из современников многие придерживаются того мнения, что движение и не уничтожается, и не производится заново, но количество движения остается всегда постоянным. Уже Аристотель сомневался, возникает, исчезает ли движение или же оно вечно («Физика», кн. 8). То, что ощущаемое движение исчезает, ясно для чувств, но могут, очевидно, сказать, что остаются тот же самый импульс и усилие или прежняя сумма сил. Борелли утверждает, что сила толчка не уменьшается, а распыляется и что даже противоположные импульсы могут возникать и удерживаться в том же самом теле. Подобным образом Лейбниц заявляет, что сила существует в материи всюду и всегда и она постигается умом там, где она не очевидна для чувств. Однако все это слишком абстрактно и почти так же невразу-мительно, как субстанциальные формы и энтелехии.

Всех тех, кто для объяснения причины и источника движения употребляет гилархический принцип, или при-родное хотение, либо стремление, или же, наконец, при-родный инстинкт, нужно рассматривать сворее как говорящих нечто, нежели как нечто мыслящих. И, исходя из этого, они4 недалеко ушли от тех, которые, описывая причину ускорения падения тяжелых тел, полагали, что части Земли являются самодвижущимися или даже что духи помещены в них, подобно формам. Так же обстоит дело и с тем, кто сказал5, что в теле кроме геометрической протяженности надлежит предполагать нечто такое, что служит исходным при рассмотрении сил. Или все они на самом деле не говорят ничего определенного, или же, если и есть нечто в том, что они говорят, то это нечто настолько же трудно объяснимо, как и те самые вещи, для объяснения которых оно предназначено.

Для того чтобы пролить свет на природу, бесполезно обращаться к вещам, которые и не очевидны для чувств, и непонятны для разума. Посмотрим теперь, что говорят нам чувство и опыт и что сообщает нам разум, который ос-новывается на них. Есть два главных рода вещей — тело и душа. С помощью чувства мы познаем вещи протяженные, твердые, подвижные, имеющие форму и наделенные другими качествами, которые воспринимаются чувствами; ощущающий, воспринимающий, мыслящий предмет познаем посредством определенного внутреннего сознания. Далее мы видим, что эти предметы явно отличаются один от другого и совершенно разнородны: я говорю о вещах известных, так как о неизвестных говорить бесполезно.

Все то, что мы знаем как тело, не содержит в себе ничего, что могло бы быть принципом движения или его действенной причиной, ибо непроницаемость, протяженность и форма не включают в себя и не означают какой- либо силы, производящей движение. Более того, наоборот, если рассмотрим в отдельности эти качества тела и любые другие качества, которые могут быть отнесены к нему, мы увидим, что все они на самом деле пассивны и что в них нет ничего такого активного, что могло бы рассматриваться как источник и принцип движения. Что касается тяжести, то мы уже показали выше, что этот термин не означает ни-чего из известного нам, кроме чувственного эффекта, причину которого мы ищем. И в самом деле, когда мы называем тело тяжелым, мы не подразумеваем ничего иного, кроме того, что оно стремится вниз, и мы вовсе не думаем о причине этого чувственного эффекта.

Итак, о теле мы можем на основании фактов смело утверждать, что оно не является принципом движения. Но если кто-либо считает, что этот термин означает кроме геометрической протяженности и ее модусов качество, силу, форму и сущность, то мы вынуждены оставить его со своими рассуждениями, не имеющими за собой идей, и названиями, которые ничего отчетливо не выражают. Более здравый философский метод, кажется, воздерживается, насколько возможно, от абстрактных и общих понятий (если понятие — правомерный термин для вещей, которые не могут быть поняты).

Нам известно содержание идеи тела, но то, что известно нам в теле, не может быть принципом движения. Те же, кто допускают в теле нечто непознаваемое, идеи чего они не имеют, называя принципом движения, факти- чески просто заявляют, что принцип движения непознаваем, и было бы недостойно задерживаться долго на тонкостях подобного рода.

Кроме телесных вещей имеется другой класс — мыслящих вещей; и из личного опыта мы знаем, что в них заключена сила движения, ибо наш разум по желанию может возбуждать и останавливать движения наших членов, что исчерпывающе объясняет указанный факт. Ясно, что тела движутся по велению разума, и поэтому разум совершенно справедливо может быть назван принципом движения, правда принципом частичным и подчиненным, который сам зависит от первого и всеобщего принципа.

Тяжелые тела стремятся вниз, хотя они не подвержены действию какого-либо импульса; но мы не должны поэтому думать, что принцип движения заключен в них. Аристотель привёл такой аргумент: «Тяжелые и легкие тела не движутся сами собой, ибо это было бы характерным признаком жизни и они были бы способны останавливать сами себя». Все тяжелые тела, согласно одному и тому же определенному и постоянному закону, стремятся к центру Земли, и мы не наблюдаем в них какой-либо способности остановить движение, уменьшить его или увеличить, кроме как в фиксированных пропорциях, или, наконец, изменить его каким-либо способом. Они ведут себя совершенно пассивно. В точном и правильном рассуждении то же самое нужно высказать и о сталкивающихся телах. Эти тела, пока они движутся и даже в самый момент толчка, ведут себя пассивно, так же как и в покое. Вообще говоря, инертное тело действует так же, как и движущееся. Ньютон признает этот факт, когда говорит, что сила инерции есть то же самое, что и импульс. Но тело инертное и покоящееся не действует; следовательно, не действует и движущееся тело.

Фактически тело сохраняет в равной степени любое состояние: и движения, и покоя. Его существование нельзя рассматривать как его действие; постоянство также не может быть названо его действием. Постоянство — это только продолжение существования прежним способом, который, собственно, не может быть назван действием. Сопротивленце, которое наблюдается при остановке тела, мы ошибочно воображаем как его действие, будучи введены в заблуждение пустой видимостью. Ведь то сопротивление, которое мы ощущаем, есть фактически пассивное состояние в нас самих, и оно доказывает не то, что тело действует, а то, что мы подвержены действию; разумеется, мы испытывали бы воздействие подобным образом и в том случае, если тело двигалось бы само по себе и если оно приводилось бы в движение другой причиной.

Говорят, что действие и противодействие присущи телам, и такой способ выражения удобен в целях механических демонстраций. Мы не должны на этом основании полагать, будто в них заключена какая-то действительная сила, которая является причиной или принципом движения. Эти термины нужно понимать так же, как и термин «притяжение»; подобно тому как притяжение есть только математическая гипотеза, а не физическое качество; в отношении действия и противодействия можно утверждать то же самое и на том же основании. В механической философии истинность и применимость теорем о взаимном притяжении тел неизменно основывается исключительно на движении тел — предполагается ли, что движение обусловлено действием тел, взаимно притягивающих друг друга, или же действием некоторого фактора, отличного от тел, побуждающего и контролирующего их. Подобным об-разом традиционные формулировки правил и законов движения вместе с теоремами, выводимыми из них, остаются непоколебимыми при условии, что считаются очевидными чувственные эффекты и следствия, вытекающие из них,— предполагаем ли мы действие само по себе или же силу, вызывающую эти эффекты, заключенными в теле или же в нематериальном деятеле.

Отбросьте идею протяженности, твердости, фигуры тел, и не останется ничего. Но эти качества безразличны движению; не они составляют то, что может быть названо принципом движения. Это ясно уже из наших идей. Если, следовательно, термином «тело» называть именно то, что мы под этим подразумеваем, то, разумеется, принцип движения не может быть найден здесь; т. е. ни часть, ни атрибут его не являются истинной, действенной причиной, производящей движение. Но применять термин и ничего не подразумевать под ним — совсем недостойно философа.

Нам дано мышление — активность, которую мы испытываем как принцип движения в нас самих. Это мы называем душой, мыслью и духом. Нам дана также вещь протяженная, инертная, непроницаемая, перемещаемая, полностью отличная от мышления и составляющая друюй род. Анаксагор, мудрейший из людей, был первым, кто уловил огромную разницу между мыслящими и протяжен- ными вещами, и он утверждал, что разум не имеет ничего общего с телами, как это установлено в первой книге [сочинения] Аристотеля «О душе». Из современников Декарт выразил ту же точку зрения наиболее сильно. То, что было ясным у него, другие своими неясными терминами превратили в [нечто] запутанное и трудное.

Отсюда можно заключить, что те, которые утверждают, что активная сила, действие и причина движения действительно заключены в телах, принимают мнение, не основанное на опыте, поддерживают его посредством неясных и общих терминов и не понимают достаточно хорошо их собственного значения. Напротив, те, которые считают принципом движения разум, выдвигают мнение, подтвержденное личным опытом, и оно одобрено наиболее образованными людьми всех веков.

Анаксагор был первым, кто ввел voog6, вносящий движение в инертную материю. Аристотель также одоб-ряет это мнение и поддерживает его многими способами, прямо говоря, что первый двигательнеподвижен, неделим и не имеет размеров. И он верно замечает, что утверждение, будто каждый двигатель должен быть подвижным, равносильно утверждению, что каждый строитель должен обладать способностью быть построенным («Физика», кн. 8). Платон сверх того в «Тимее» пишет, что эта телесная машина, или видимый мир, движется и одушевляется разумом, который ускользает от всех чувств.

Наконец, в наше время картезианские философы при-знают бога как принцип движения природы. И Ньютон всюду открыто объявляет, что не только движение происходит от бога, но и сама мировая система движется им. Это согласуется и со Священным писанием. Это же мнение поддерживалось схоластами, ибо хотя перипатетики говорят нам, что сама природа есть принцип движения и покоя, однако они понимают natura naturans как бога. Они, конечно, сознают, что все тела мировой системы движутся всемогущим разумом согласно определенному и постоянному принципу.

Но те, которые приписывают жизненный принцип телам, воображают себе понятие неясное да и плохо согласующееся с фактами. Ибо что означает обладать жизненным принципом, кроме как «жить»? А жить — что это, как не двигаться, останавливаться и изменять собственное состояние? Но наиболее ученые философы нашего века склоняются к незыблемому принципу, что каждое тело сохра- няет свое данное состояние, будь то состояние ПОКОЯ ИЛИ равномерного движения по прямой, и, до тех пор пока оно не подвержено внешним воздействиям, не изменяет этого состояния. Противоположным является случай с разумом. Мы чувствуем его как способность изменять и наше соб-ственное состояние, и состояние других вещей, и это собственно называется живым, и это полагает глубокое различие между душой и телом.

Современные мыслители рассматривают движение и покой в телах как два состояния существования, в каждом из которых любое тело, при отсутствии действия внешних сил, естественным образом остается пассивным; отсюда можно сделать вывод, что причина существования тел является также причиной их движения и покоя. Ибо, ка-жется, нельзя найти другой причины последовательного существования тела в различных частях пространства, кроме той, из которой проистекает последовательное существование этого же тела в различных частях времени. Но рассуждения о всеблагом и величайшем боге-творце и сохранителе всех вещей и уяснение того, как все вещи зависят от верховного и истинного бытия, хотя это и является наиболее замечательной частью человеческого познания, относятся, скорее, к сфере первой философии, или метафизики, и теологии, чем к натуральной философии, которая сегодня почти полностью довольствуется опытом и механикой. Поэтому естественная философия или предполагает знание о боге, или заимствует это знание у какой- нибудь из высших наук. Тем не менее совершенно истинно то, что исследование природы всюду снабжает высшие науки известными аргументами, которые иллюстрируют и доказывают мудрость, всеблагость и могущество бога.

Недостаточное понимание этого привело к тому, что некоторые ошибочно отвергают математические принципы физики под тем предлогом, что они не определяют производящей причины вещей. Однако фактически дело физики или механики устанавливать не производящие причины, а только правила соударений и притяжений, одним словом, устанавливать законы движения; из установленных уже положений должно выводить частные явления, а не определять производящую причину.

Очень важно будет рассмотреть, что может считаться принципом и в каком смысле этот термин понимается философами. Истинная производящая и сохраняющая причина всех вещей по высочайшему праву называется их ис- точником и принципом. Но принципы экспериментальной философии собственно должны быть названы основаниями и источниками не существования телесных вещей, но нашего знания о них — как знания чувственного, так и знания опытного,— основаниями, на которых это знание покоится, и источниками, из которых оно проистекает. Подобным же образом в механической философии принципами можно назвать то, на чем основывается и держится вся наука — те важнейшие законы движения, которые проверены на опыте, тщательно выработаны разумом и выступают как всеобщие. Эти законы движения удобно называть принципами, поскольку из них вытекают как основные теоремы. так и отдельные объяснения явлений.

Можно сказать, что предмет объясняется механически тогда, когда он сводится к таким простейшим и всеобщим принципам и посредством тщательного рассуждения устанавливается, что он согласуется и увязывается с ними. Ибо, если однажды были открыты законы движения, задача философов состоит в том, чтобы показать, что каждое явление находится в постоянном соответствии с этими законами, т. е. необходимо из этих принципов следует. В этом состоит объяснение и раскрытие явлений, а также определение их причин, т. е. того, почему они возни-кают.

Человеческий ум обладает способностью расширять и распространять свое познание. Для этой цели и образуются общие понятия и суждения, в которых некоторым образом содержатся частные суждения и усмотрения; последние считаются понятными только в этом случае. Геометры хорошо знают это. Даже в механике предпосылаются понятия, т. е. определения и утверждения о движении, из которых затем с помощью математического метода дедукции выводятся производные, менее общие. И так же как с помощью применения геометрических теорем изме-ряются величины отдельных тел, так и с помощью применения универсальных теорем механики определяются и познаются движения некоторых частей мировой системы и зависящие от них явления: это и есть та область, с которой имеет дело физик.

И как геометры для своего искусства используют многое такое, чего они сами не могут ни описать, ни обна-ружить в природе вещей, так же и механики применяют определенные абстракции и общие термины, предполагая в телах силу, действие, притяжение, стремление и т. д., которые в первую очередь полезны для теорий и формулировок, так же как и для расчетов движения, даже если бы для самой истины вещей и для самих действительно существующих тел они оказались бы напрасными, подобно геометрическим фикциям, образованным посредством математических абстракций.

В действительности мы не воспринимаем с помощью чувств ничего, кроме действий или чувственных качеств и телесных вещей — всецело пассивных, будь они в движении или покое; разум и опыт подсказывают нам, что нет ничего активного, кроме ума, или души. Все, что воображают сверх этого, следует отнести к гипотезам и матема-тическим абстракциям, это должно быть основательно усвоено. Без этого мы рискуем возвратиться назад к сомнительной изощренности схоластиков, которые в течение стольких веков, подобно ужасной чуме, разлагали философию.

Механические принципы и универсальные законы движения или природы, счастливые открытия последнего века, полученные и использованные с помощью геометрии, пролили яркий свет на философию. Метафизические же принципы и действительные и производящие причины движения и существования тел или причины телесных свойств никоим образом не относятся к механике или к опыту и не способны пролить свет на них, разве только в той мере, что будучи познанными заранее, они могут служить для определения пределов физики и таким путем устранять привнесенные трудности и проблемы.

Те, которые выводят начало движения от духов (spiritus), подразумевают под духом или телесную вещь, или бестелесную. Если телесную, то, как бы тонка она ни была, трудность все же остается; если бестелесную, то, хотя в этом случае и подразумевают истину, все же тогда эта вещь не имеет прямого отношения к физике. Если же кто-либо собирается вывести естественную философию за пределы опыта и механики так, чтобы охватить познание и бестелесных и непротяженных вещей, то такая, более широкая, интерпретация термина допускает дискуссию о душе, разуме или жизненном принципе. Но было бы удобнее следовать весьма широко применяемому способу употребления и так разделить между собою науки, чтобы каждую ограничить в своих пределах; тогда натурфилософ будет иметь дело всецело с экспериментами, законами движения, механическими принципами и вытекающими из них рассуждениями. Если же он упоминает о других вещах, пусть обращается к какой-либо высшей науке, ибо из познанных законов прпроды следует много первоклассных теорий и механических изобретений, полезных практически; из познания самого творца природы возникают наиболее изумительные рассуждения, но они суть метафизические, теологические и нравственные.

Итак, было сказано о принципах. Теперь мы должны поговорить о природе движения, о том, что оно, хотя и ясно постигается чувствами, становится непонятным не столько из-за своей природы, сколько из-за ученых выдумок философов. Движение никогда не является нашим чув-ствам без вещественной массы, пространства и времени. Однако есть такие [люди], которые желают представить движение как некую простую и абстрактную идею, отде-ленную от других вещей. Но эта тончайшая эфемерная идея ускользает от проницательного интеллекта, что каждый может обнаружить для себя путем размышления. Здесь возникают большие трудности, связанные с самой природой движения и ее определениями, гораздо более непонятными, нежели вещь, которую они должны пояснять. Такими являются дефиниции Аристотеля и схоластиков, которые говорят, что движение есть действие подвижного, пока оно подвижно, или действие наделенного силой, пока оно имеет силу. Того же рода мнения [придерживается! и знаменитый наш современник, который утверждает, что «в движении нет ничего реального, кроме того преходящего, что возникает, когда сила стремится к изменению»7. Следует признать, что авторы этих и подобных определений имеют целью объяснить абстрактную природу движения без всякого рассмотрения времени и пространства; но как эта, так сказать, абстрактная квинтэссенция движения может быть понята, я не вижу.

Не довольствуясь этим, они идут дальше и выделяют и отличают одну от другой части самого движения, о которых они пытаются образовать отдельные идеи, как бы идеи о фактически отдельных сущностях. Поэтому есть такие [люди], которые различают передвижение (motio) и движение (motus), рассматривая передвижение как элемент настоящего момента в движении. Более того, они хо-тели бы рассматривать скорость, влечение, силу и импульс как множество вещей, различающихся по сущности, каждая из которых представляется разуму через свою собственную абстрактную идею, отличную от всех остальных.

Но из того, что мы выше выяснили, следует, что на этой дискуссии задерживаться более нет надобности.

45. Многие определяют движение как перемещение, забывая, что само перемещение на самом деле не может быть понято без движения и должно быть определено через движение. Совершенно очевидно, что определения проливают свет на одни вещи и вновь затемняют другие. И безусловно трудно с помощью определений сделать более ясными или лучше познанными вещи, которые мы постигаем чувствами. Увлеченные тщетной надеждой этого рода, философы сделали легкие вещи очень трудными, во-влекли свой разум в трудности, которые по большей части сами же и создали. Из-за этого стремления к дефинициям и абстракциям возникает много тончайших проблем как о движении, так и о других вещах,— проблем, которые, не имея никакой ценности, вызывают пустую растрату талантов; так, Аристотель часто признавался, что движение есть «определенный акт, трудный для познания», а некоторые из древних зашли столь далеко в бесцельных упражнениях, что отрицали существование движения вообще.

40. Но стыдно задерживаться на мелочах подобного рода. Достаточно было бы указать на источники решений, но я должен добавить еще кое-что. Традиционные математические доктрины бесконечной делимости времени и про-странства в силу самой своей природы порождают парадоксы и противоречивые теории (как все то, что касается бесконечности) в рассуждениях о движении. Все такие трудности движение разделяет с пространством и временем или даже заимствует от них.

И так же как, с одной стороны, чрезмерная абстракция или разделение вещей, на самом деле неразделимых, так, с другой стороны, соединение или скорее спутывание самих различных вещей сделали природу движения сложной. Ведь стало обычным делом путать движение с производящей причиной движения. Отсюда мнение о том, что движение будто бы выступает в двух формах: в одной форме оно является чувствам, в другой же своей форме оно покрыто мраком. Возникают неясность, путаница и различные парадоксы движения, поскольку то, что поистине относится только к причине, ошибочно приписывается следствию.

Это порождает мнение, что всегда сохраняется одно и то же количество движения; каждый легко убедится в его ложности, если под этим не понимать силу или могу- щество причины — будет ли называться эта причина природой, или voo?, или, наконец, любой другой действующей причиной. Ведь Аристотель («Физика», кн. 8), когда он спрашивает, может ли движение возникать или уничтожаться или же оно поистине присутствует во всех вещах вечно, подобно бессмертной жизни, кажется, подразумевает скорее деятельный принцип, нежели внешний результат, или перемену места.

Таким образом, многие склоняются к мысли, что движение не есть простая пассивность в телах. Но если мы подразумеваем только то, что в движении дано нашим чувствам, никто не может сомневаться в том, что оно совершенно пассивно. В самом деле, есть ли в последовательном су-ществовании тела в различных местах что-либо такое, что можно было бы отнести к деятельности, есть ли там что- нибудь, кроме голого безжизненного результата?

Перипатетики, которые говорят, что движение есть действие сразу и двигателя и движимого, недостаточно отделяют причину от результата. Подобно им, те, которые предполагают усилие или стремление в движении или думают, что одно и то же тело одновременно устремлено в противоположных направлениях, забавляются, видимо, той же неясностью идей и той же двусмысленностью терминов.

Тщательность при усвоении концепций других [лю-дей] и при формулировании своих собственных имеет большое значение в науке о движении, как и во всех других делах; и если бы не было недостатка в этом отношении, не возник бы спор по вопросу, безразлично ли тело к движению и покою или же нет. Поскольку опыт показывает, что то, что тело сохраняет точно «состояние движения и покоя все время, пока ничто извне не изменяет этого состояния», является огногным законом природы, отсюда следует, что сила инерции в разных случаях может выступать то как импульс, то как сопротивление; и в этом смысле, несомненно, тело можно считать безразличным по своей природе к движению или покою. Конечно, настолько же трудно вызвать покой в движущемся теле, насколько и движение в покоящемся; но, коль скоро тело сохраняет в равной степени и то, и другое состояние, почему бы не сказать, что оно безразлично к обоим?

Перипатетики часто различали виды движения в соответствии с разными изменениями, которые испытывает вещь. Теперь же те, которые рассуждают о движении, по- нимают под этим термином только перемену места. Но перемещение не может быть постигнуто без понимания того, что такое место. Современники определяют место как «часть пространства, которую занимает тело»; отсюда оно, как и пространство, делится на относительное и абсолют-ное. Ведь различают пространство абсолютное, или истинное, и относительное, или кажущееся. То, что постулируют как пространство безграничное, неподвижное, не воспринимаемое чувством, проникающее и содержащее все тела, называют абсолютным пространством. А пространство, постигаемое и определяемое через тела и поэтому являющееся объектом чувства, называется относительным, кажущимся, обыденным пространством.

Итак, предположим, что все тела уничтожены. То, что остается, называют абсолютным пространством; при этом все отношения, следующие из расположения тел и расстояний между телами, исчезли вместе с телами. Кроме того, такое пространство является бесконечным, неподвижным, неделимым, не воспринимаемым чувствами, лишенным связей п различий. Другими словами, все его атрибуты отрицательны, или негативны. Таким образом, оказывается, что это есть просто ничто. Единственное несущественное затруднение состоит в том, что оно протяженно, а протяженность — положительное качество. Но что это за протяженность, я спрашиваю, которая не может быть ни разделена, ни измерена, любая часть которой недоступна ни чувственному восприятию, ни воображению? Ведь ничто не появится в воображении, если оно по самой природе предмета не может быть воспринято чувствами, так как воображение в действительности есть не что иное, как способность представлять чувственные вещи, или вещи актуально существующие, или по крайней мере возможные. Чистый интеллект также ничего не знает об абсолютном пространстве. Эта способность находится в соотношении только с духовными и непротяженными вещами, такими, как наши мысли, их модусы, страсти, добродетели и т. п. Уберите из абсолютного пространства само название, и от него ничего не останется ни в чувстве, ни в воображении, ни в интеллекте. Ведь такие слова не означают ничего иного, кроме чистого отсутствия, или отрицания, т. е. простого ничто.

Нужно согласиться, что в этом вопросе мы находимся в тисках серьезных предрассудков, и чтобы освободиться от них, мы должны напрячь все силы своего разума. Ибо многие из тех, кто весьма далек от того, чтобы рассматривать абсолютное пространство как ничто, представляют его как единственную вещь (помимо бога), которая не может быть уничтожена; и они утверждают, что оно необходимо существует в силу своей собственной природы, что оно вечно и не сотворено и даже является божественным атрибутом. Но так как совершенно ясно, что все вещи, которым мы даем названия, известны по крайней мере отчасти благодаря качествам или отношениям (ведь было бы глупо употреблять слова, которым не соответствует ничего известного: ни понятия, ни идеи, ни мысли), то давайте, истины ради, старательно исследуем, возможно ли образовать какую-либо идею такого чистого, реального и абсолютного пространства, которое оставалось бы после уничтожения всех тел. Прежде всего такая идея при внимательном исследовании оказывается чистейшей идеей о ничто, если, конечно, такое можно назвать идеей. Сам я обнаружил это, подвергнув предмет основательному изучению, и это же, я думаю, обнаружат и другие, сделав то же самое 8.

Иногда нас вводит в заблуждение тот факт, что, когда мы представляем исчезновение всех других тел, мы предполагаем, что наше собственное тело сохраняется. На этом основании мы воображаем, что движение наших членов в любую сторону полностью беспрепятственно. Но нельзя попять движения без пространства. В данном же случае мы будем иметь, во-первых, относительное пространство, определенное частями нашего тела; во-вторых, полную свободу движения нашими членами, не ограниченную никакими препятствиями,— и ничего, кроме этих двух вещей. Неверно было бы думать, что реально существует некоторая третья вещь, а именно безмерное пространство, которое дает нам возможность свободно перемещать наше тело,— ведь для этого достаточно отсутствия других тел. И мы должны согласиться, что это неналичие, или отсутствие, тел не является чем-то положительным .

Но пока человек не исследует эти вопросы свободным и острым умом, слова и термины помогают мало. Однако, если не ошибаюсь, для того, кто размышляет и рассуждает, должно быть ясно, что все утверждения о чистом и абсолютном пространстве могут быть высказаны только о ничто. Таким путем человеческий разум легко выходит из больших затруднений и в то же время освобождается от абсурдности приписывания необходимого существования иному бытию, кроме одного всеблагого и величайшего бога.

Было бы легко подтвердить наше мнение с помощью аргументов, приведенных, так сказать, апостериори, предлагая вопросы об абсолютном пространстве — например, является ли оно субстанцией или акциденцией, сотворено оно или несотворено,— демонстрируя при этом нелепости, которые последуют в каждом таком случае. Следует быть кратким. Однако я не могу не упомянуть, что уже Демокрит своими расчетами подтвердил это мнение, как об этом свидетельствует Аристотель в «Физике» (кн. 1), где он пишет: «Демокрит установил как принципы плотность и пустоту, из которых одно, говорит он, это то, что есть; другое же — то, чего нет». Может возникнуть недоумение, почему же тогда это различие между абсолютным и относительным пространством использовалось прославленными философами и почему на нем, как на основании, надстраивается множество знаменитых теорем; но мы дальше увидим, что всякие недоумения по этому поводу лишены оснований.

Из предыдущего ясно, что мы не должны определять истинное место тела как часть абсолютного пространства, которую оно занимает, а истинное, или абсолютное, движение — как перемену истинного, или абсолютного, места. Ибо всякое место относительно, так же как и всякое движение. Однако, чтобы сделать это более очевидным, необходимо отметить, что никакое движение нельзя постигнуть без некоторой определенности или направленности, что в свою очередь не может быть понятно без того, чтобы представить одновременно существующими движущееся тело и или наше тело, или же какое-нибудь еще другое. Ибо верх, низ, левое, правое и все стороны и направления основываются на некотором отношении и необходимо означают и предполагают существование тел, отличных от движущегося тела. Так что если мы допустим, что другие тела уничтожены и, например, существует один лишь земной шар, тогда никакого движения нельзя будет себе представить; и поэтому необходимо должно быть дано другое тело, положение которого дает возможность установить определенность движения. Истинность этого мнения будет совсем очевидной, если доведем до конца предполагаемое уничтожение всех тел — и нашего собственного, и всех других, кроме одного земного шара.

Далее, представим существование двух шаров и ничего телесного еще, кроме них. Затем представим силы, приложенные каким-либо способом; и, что бы мы ни по-нимали под приложением сил, круговое движение двух шаров вокруг общего центра не может быть постигнуто воображением. Теперь предположим, что сотворено небо с неподвижными звездами; и сразу же, через представление приближения шаров к разным частям этого неба, движение станет постижимым. Можно сказать, что, поскольку движение относительно по своей природе, его нельзя понять, пока не даны соотнесенные вещи. Точно так же и любое другое отношение нельзя мыслить без коррелятов.

Что касается кругового движения, то многие думают, что при нарастании истинно кругового движения тело с необходимостью все сильнее стремится прочь от своей оси. Это убеждение проистекает из того факта, что круговое движение можно рассматривать как бы возникающим всякий раз в двух направлениях: одном вдоль радиуса и другом — вдоль касательной; и если импульс возрастает только в последнем направлении, то движущееся тело удаляется от центра, а его орбита перестает быть окружностью. Но если бы силы возрастали в равной степени в обоих направлениях, движение осталось бы круговым, хотя и было бы ускоренным за счет силы, что не больше доказывало бы наличие сил, отдаляющих от оси, чем наличие сил, приближающих к оси. Поэтому следует сказать, что вода, вращаемая в ведре, поднимается к краям сосуда по той причине, что когда новые силы приложены ио касательной к какой-либо частице воды, то новые равные им центробежные силы в то же самое мгновение не прилагаются. Из этого опыта никоим образом не следует, что абсолютное круговое движение познается только через силы, удаляющие от оси вращения. Итак, как нужно понимать термины «телесные силы» и «влечение», достаточно ясно из предыдущего.

Кривую можно рассматривать как состоящую из бесконечного числа прямых линий, даже если в действительности она и не состоит из них,— и эта гипотеза оказывается полезной геометрам; точно так же и круговое движение можно рассматривать как производное от бесконечного числа прямолинейных направлений [движения], и такое предположение будет полезным в механической философии. Однако на этом основании нельзя утверждать, что невозможно, чтобы центр тяжести любого тела сущест- вовал последовательно в каждой точке окружности, причем не принимали бы в расчет каких бы то ни было прямо-линейных направлений касательной или же радиуса.

Нелишне заметить, что движение камня в праще или воды во вращаемом ведре не может быть названо истинно круговым движением, как этот термин понимается теми, кто определяет реальные места, занимаемые телами, как части абсолютного пространства; оно не может быть так названо потому, что это движение, как ни удивительно, состоит не только из движений ведра или пращи, но также из вращения Земли вокруг своей оси, ее месячного дви-жения вокруг общего центра тяготения Земли и Луны и ее годового движения вокруг Солнца. И по этой причине каждая частица камня или воды описывает траекторию далеко не круговую. На этом же основании фактически не существует предполагаемого центробежного влечения, поскольку оно не связывается с какой-либо одной осью в отношении к абсолютному пространству, если предполагать, что такое существует; поэтому я не нахожу подходящего названия для этого уникального влечения, которому истинно круговое движение соответствует как его ближайшее и адекватное следствие.

Никакое движение не может быть познано или измерено иначе как через чувственные вещи. Следовательно, поскольку абсолютное пространство никоим образом не воздействует на чувства, оно необходимо должно быть совершенно бесполезным при различении движений. Кроме того, для движения существенны определенность или на-правленность, но они состоят в отношении. Следовательно, постигнуть абсолютное пространство невозможно.

Далее, поскольку сообразно различным определениям места движение того же самого тела будет выглядеть иначе, более того, поскольку о вещи можно сказать, что она в одном отношении находится в движении, а в другом отношении — в покое, постольку, чтобы определить ис-тинное движение и истинный покой, для устранения дву-смысленности и в интересах механики тех философов, которые придерживаются более широкого взгляда на систему вещей,— для этого было бы достаточно ввести вместо абсолютного пространства относительное, ограниченное небесами фиксированных звезд, принятыми за неподвижные. Движение же и покой, определенные таким относительным пространством, могут быть удобно подставлены вместо абсолютных [движения и покоя], которые невоз- можно будет отличить от первых ни по какому признаку. Ибо какие бы силы ни прикладывались, каковы бы ни были влечения, согласимся, что движение различается по его результатам, реализованным в телах; однако отсюда от-нюдь не следует, что указанное пространство, т. е. абсолютное место и его изменение, налично существует как истинное место.

Законы движений и действий и теоремы о их соотношениях и исчислениях таковых в соответствии с различными траекториями, а также в соответствии с различными ускорениями и направлениями, большим или меньшим сопротивлением среды — все это устанавливается без учета абсолютного движения. Так как сообразно принципам тех, кто вводит абсолютное движение, мы не смогли бы узнать ни по какому признаку, находится ли некоторая совокупность вещей в покое или же она равномерно движется в некотором направлении, то уже из этого ясно, что и для любого тела нельзя постигнуть абсолютного дви-жения.

Из сказанного явствует, что для постижения истинной природы движения следует стараться: 1) различать математические гипотезы и природу вещей; 2) остерегаться абстракций; 3) рассматривать движение как нечто чувственное или хотя бы вообразимое и довольствоваться относительными мерами. Если мы поступим так, все знаменитые теоремы механической философии, благодаря которым раскрываются тайны природы и благодаря которым мировая система поддается человеческим расчетам, останутся нетронутыми, а изучение движения будет освобождено от тысячи мелочей, тонкостей и абстрактных идей. Теперь сказанного о природе движения достаточно. 48. Остается обсудить причину сообщения движений. Большинство людей полагает, что сила, приложенная к подвижному телу, есть причина движения в нем. Однако нами ранее установлено, что они не указывают известной причины, отличной от самого тела и самого движения. Более того, очевидно, что сила не есть вещь несомненная и определенная хотя бы потому, что великие умы выдвигают о ней самые различные мнения, даже противоречащие друг другу, и, несмотря на это, в своих результатах достигают истины. Так, Ныотон говорит, что действующая сила состоит только в действии и является воздействием на тело, изменяющим его состояние, и эта сила после воздействия не сохраняется. Торричелли утверждает, что определенное

множество или совокупность сил, действующих при толчке, воспринимается движущимся телом и, оставаясь в нем, составляет его стремление. Борелли во многом говорит почти то же самое. Хотя кажется, что Ньютон и Торричелли не согласны друг с другом, каждый из них выдвигает последовательный взгляд, и предмет достаточно хорошо объясняется в обоих случаях. Как бы то ни было, все силы, приписываемые телам, суть математические гипотезы, так же как и силы притяжения на планетах и на Солнце. Впрочем, математические объекты по самой своей природе не имеют неизменной сущности: они зависят от понятий того, кто их определяет. Вот почему одна и та же вещь может быть объяснена различными способами.

Допустим, что новое движение сохраняется в соуда- ряющих телах либо благодаря природной силе, вследствие которой любое тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, либо благодаря воздействующей силе, воспринятой (во время соударения) ударяемым телом и остающейся в нем,— фактически это одно и то же; разница только в названии. Подобно этому, когда ударяющее движущееся тело теряет движение, а тело, подвергающееся удару, приобретает его, обсуждение того, является ли приобретенное движение нумерически тем же, что и утраченное, будет бесполезно: такое обсуждение заведет в метафизические или даже словесные тонкости относительно тождества.

Таким образом, приходят к одним и тем же результатам — говорят ли, что движение передается от ударяющего к ударяемому [телу] или что движение возникает заново в ударяемом и исчезает в ударяющем. В любом случае под-разумевается, что одно тело теряет движение, а другое приобретает его, и ничего больше.

385

13 д. Беркли

Но я не стал бы отрицать, что дух, который движет и сохраняет эту мировую телесную массу и является истинной производящей причиной движения, есть в то же время, говоря прямо и точно, причина сообщения движений. В физической философии, однако, мы должны исследовать причину и состав явлений, исходя из принципов механики. Поэтому физически вещь объясняется не путем выявления ее истинной и невещественной причины, но демонстрацией ее связи с такими механическими принципами, как «действие и противодействие всегда противоположны и равны по величине». Из таких законов, как из источника и первоосновы, выводятся правила сообщения движений,

которые открыты и доказаны уже современниками с великой пользой для наук.

Но нам было бы достаточно, если бы указанный принцип был установлен и иным способом. Ведь если рас-сматривать истинную природу вещей, а не абстрактную математику, более правильным окажется утверждение, что в притяжении или в соударении одинакова с обеих сторон скорее пассивность тел, чем их активность. Например, камень, подтягиваемый канатом к лошади, продвигается по направлению к ней настолько же, насколько лошадь — по направлению к камню; далее, движущееся тело, падая на неподвижное, испытывает те же изменения, что и неподвижное. И что касается реального действия, ударяющее есть то же, что ударяемое, а ударяемое — то же, что ударяющее. А это обоюдное изменение — как в теле лошади, так и в камне, как в движущемся, так и в покоящемся — является просто пассивностью. Не установлено, существует ли сила, способность или телесное действие, истинно и правильно вызывающее такие результаты. Движущееся тело сталкивается с покоящимся; однако мы рассуждаем в терминах действия и говорим, что первое приводит в движение второе; и это верно в механике, где рассматриваются скорее математические идеи, нежели истинная природа вещей.

В физике9 имеют место чувства и опыт, которые распространяются только на очевидные факты; в механике допускаются абстрактные понятия математиков; впервой же философии, или метафизике, мы имеем дело с нематериальными объектами — с причинами, истиной и существованием вещей. Физики изучают ряды или последовательности чувственных вещей, замечая, какими законами они связаны и в каком порядке, что предшествует как причина и что следует как результат. И на этом основании мы говорим, что движущееся тело есть причина движения в другом теле или сообщает ему движение, тянет или толкает его. В этом смысле вторичные телесные причины нужно пони-мать не как действительно имеющие место силы, или активные потенции, или же реальные причины, в которых они заключаются. В свою очередь кроме тела, фигуры и движения даже главные аксиомы механической науки могут быть названы причинами или механическими принципами, если их рассматривать как причины следствий.

Только путем размышления и рассуждения настоящие производящие причины могут быть вызволены из ок- ружающего их мрака и в некоторой степени поняты. Оперировать с ними — это дело первой философии, или метафизики. Представьте каждой науке ее собственную область; укажите ее границы, проведите четкое различие между принципами и объектами, принадлежащими каждой из них. И тогда станет возможным рассуждать о них с большей легкостью и ясностью. О БЕСКОНЕЧНЫХ [ВЕЛИЧИНАХ] Хотя некоторые математики прошлого века достигли изумительных успехов и открыли всевозможные замечательные методы исследования, которые прежде были не известны древним, тем не менее есть в их принципах нечто такое, что к великому позору столь знаменитой очевидности положений геометрии вызывает много споров и дискуссий. Я смею думать, что эти споры и сомнения, возникающие в результате использования бесконечно малых количеств в указанных методах, легко могут быть исчерпаны в результате простого рассмотрения одного отрывка из несравненного трактата г-на Локка «О человеческом разуме» (кн. II, гл. 17, § 7), где этот автор, касаясь воп-роса о бесконечности, с рассудительностью и ясностью, которая так свойственна ему, говорит замечательные слова:

«Хотя наша идея бесконечности вытекает из созерцания величины и бесконечного нарастания величины, которое ум может произвести через повторные прибавления каких угодно частей, однако, я полагаю, мы вызываем большую путаницу в наших мыслях, когда соединяем бесконечность с какой-нибудь предполагаемой идеей количества, которую ум, как считают, может иметь, и, таким образом, начнем говорить или рассуждать о бесконечной величине, например о бесконечном пространстве или бесконечной продолжительности. В самом деле, наша идея бесконечности есть, на мой взгляд, бесконечно возрастающая идея. Но идея любой величины, которая имеется в уме, сама себя ограничивает во время своего нахождения в душе (как бы ни была она велика, она не может быть больше того, что она есть), и присоединять к ней бесконечность — значит прилагать постоянную меру к возрастающей величине. Поэтому я не считаю незначитель- ной тонкостью свое утверждение, что мы должны старательно различать между идеей бесконечности пространства и идеей бесконечного пространства»

Я не сомневаюсь, что если то, что говорит г-н Локк, будет mutatis mutandis2 применено к бесконечно малым количествам, то это избавит нас от неясности и путаницы, которая в противном случае сделает непонятными самые крупные достижения современного анализа. Ибо тот, кто вместе с г-ном Локком должным образом оценит различие, которое существует между бесконечностью пространства и пространством бесконечно большим или малым, и учтет, что мы обладаем идеей первого, по не обладаем идеей последнего, едва ли будет стремиться выйти за пределы известного и говорить о бесконечно малых частях, или partes infinitesimae 3 конечных количеств и еще меньше — об infinitesimae infinitesimarum 4 и т. д. И тем не менее последнее очень характерно для тех, кто пишет о флюксиях или дифференциальном исчислении. На бумаге они изображают бесконечные различных порядков, как будто бы в их уме есть идеи, соответствующие этим словам и знакам, или будто не заключено противоречия в том, что могут одновременно существовать бесконечно малая линия и другая линия, в бесконечное число раз меньшая, чем первая. Для меня совершенно ясно, что мы не можем пользоваться знаком, если нет идеи, соответствующей ему5. В равной степени ясно и то, что у нас пет идеи бесконечно малой линии; более того, очевидно, что вообще невозможно существование такой вещи, ибо любая линия, какой бы малой она ни была, всегда будет делима на части еще меньшие, чем она. Следовательно, не может существовать линия quavis data minor6, или бесконечно малая.

Далее, отсюда совершенно очевидно следует, что бесконечно малая величина даже первого порядка есть просто ничто, о чем известный математик д-р Уоллес пишет в 95-й теореме своей «Арифметики бесконечных», где он делает асимптотическое пространство, заключенное между двумя асимптотами и кривой гиперболы, своего рода последовательностью reciproca primanorum 7 так, что первый член последовательности, а именно асимптота, возникает в результате деления 1 на 0. Поэтому поскольку единица, т. е. любая конечная линия, деленная на 0, дает асимптоту гиперболы, или бесконечную линию, то отсюда с необходимостью следует, что конечная линия, деленная на бесконечную, в частном дает 0, т. е. что pars infinitesimae конечной линии есть именно ничто. Ибо в силу самой природы деления делимое, разделенное на частное, дает делитель. Сейчас человека, говорящего о бесконечно малых линиях, едва ли заподозрят в том, что он ничего под ними не подразумевает, но если он понимает их как реальные конечные количества, то попадает в безвыходные затруднения.

Рассмотрим вкратце спор между г-ном Ньювентейтом 9 и г-ном Лейбницем. Г-н Ныовентейт допускает, что бесконечно малые первого порядка являются подлинными количествами, но differentiae differentiarum 10, или бесконечно малые следующих порядков, он отбрасывает, приравнивая их к ничто. Это то же самое, как если бы сказать, что квадрат, куб или другая степень реального количества равны ничто, но это явно нелепо.

И снова г-н Ныовентейт выдвигает это в качестве самоочевидной аксиомы, т. е. что между двумя равными количествами не может быть вообще никакого различия, или, что то же самое, их различие равно нулю. Эту истину, какой бы очевидной она ни была, г-н Лейбниц старается подкрепить, утверждая, что равны не только те количества, между которыми нет никакого различия, но также и те, различие между которыми бесконечно (incomparably) мало. Quemadmodum, говорит он, si lineae puncUim al- terius lineae addas quantilalem no 11 auges u. Но если отрезки делимы до бесконечности, то мне интересно знать, как вообще может существовать такая вещь, как точка? Или, если допустить, что существуют точки, то как можно считать за одно и то же прибавление к чему-либо неделимой точки или приращение (differentia), например, ординаты у параболы, которое далеко от того, чтобы быть точкой, так как само делимо на бесконечное число реальных количеств, из которых каждое в свою очередь может быть разделено in infinitum и т. д., согласно г-ну Лейбницу. Все это те трудности, в которых запутались знаменитые люди, применяя идею бесконечности к чрезвычайно малым, но реальным и способным к делению частям протяжения. Подробнее об этом можно узнать в «Acta Eruditorum» за июль 1695 г., где, если верить французскому автору «Analyse des infiniment petits», г-н Лейбниц достаточно обосновал и доказал свои взгляды. Хотя и ясно, что он старается не для того, чтобы поставить их под сомнение, и, кажется, боится, что nimia scrupulositate arti inveniendi obex ponatur 12, как будто человек способен быть слишком точным в математике или будто бы принципы геометрии не должны быть столь же бесспорными, как те выводы, которые из них вытекают.

У д-ра Шайена в главе 4 его «Философских принципов естественной религии» 13 есть один аргумент, который касается бесконечно малых количеств. Вот его слова:

«Вся абстрактная геометрия зависит от возможности существования бесконечно больших и бесконечно малых количеств, и истины, которые открываются с помощью методов, зависящих от этих предпосылок, подтверждаются другими методами, которые имеют иные основания».

На это я отвечу, что допущение бесконечно малых количеств отнюдь не необходимо для развития современного анализа. Ибо г-н Лейбниц признает, что его Calculus differentialis 14 может быть доказан reductione ad absur- dum 16 в духе древних; да и сэр Исаак Ньютон в своем последнем трактате сообщает нам, что его метод флюксий может быть выведен a priori без допущения бесконечно малых количеств.

Я не могу обойти вниманием одно место в трактате г-на Рэфсона «De Spatio Reali seu Ente Infinito» 16 (гл. 3, с. 50), где он бесконечно малую частицу называет quasi extensa 17. Но что г-н Рэфсон подразумевает под pars continui quasi extensa18, я не могу понять. Я также прошу разрешения отложить рассмотрение того, что некоторые современные знаменитые авторы без всяких оговорок утверждают о сфере с бесконечным радиусом, о равностороннем треугольнике с бесконечной стороной, т. е. о таких понятиях, которые, если их тщательно исследовать, будут найдены не совсем свободными от непоследовательностей.

Мое мнение таково, что все споры о бесконечных [величинах] прекратятся и исследование бесконечно малых количеств больше не будет приводить математиков в тупик только в том случае, если они к своей математике присоединят метафизику и снизойдут до того, чтобы узнать от г-на Локка о том различии, которое существует между бес-конечностью и бесконечным. 1. АНАЛИТИК, ИЛИ РАССУЖДЕНИЕ, АДРЕСОВАННОЕ НЕВЕРУЮЩЕМУ МАТЕМАТИКУ, ГДЕ ИССЛЕДУЕТСЯ, ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ПРЕДМЕТ, ПРИНЦИПЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЯ СОВРЕМЕННОГО АНАЛИЗА БОЛЕЕ ОТЧЕТЛИВО ПОЗНАВАЕМЫМИ И С ОЧЕВИДНОСТЬЮ ВЫВОДИМЫМИ, ЧЕМ РЕЛИГИОЗНЫЕ ТАИНСТВА И ПОЛОЖЕНИЯ ВЕРЫ

Сэр, хотя вам я не известен, мне известна та репутация, которую вы приобрели в отрасли знания, избранной вами в качестве предмета для изучения, тот авторитет, который вы в силу упомянутого присваиваете себе в делах, далеких от вашей профессии, и то, как вы и еще слишком много лиц, подобных вам, злоупотребляете этим незаконным авторитетом, вводя в заблуждение неосторожных людей в вопросах величайшей важности, в отношении которых ваши познания в математике ни в коей мере не дают оснований вам быть компетентным судьей. Хотя справедливость и здравый смысл склоняют нас к тому, чтобы не принимать во внимание мнение других людей в вопросах, которых эти другие не рассматривали и не изучали, тем не менее находятся люди, громогласно претендующие на упомянутые выше качества, которые делают как раз то, что они, казалось бы, должны презирать, драпируются в мнения других людей и проявляют почтительное отношение по преимуществу к вашим суждениям; господа, которые воображают себя величайшими умами человечества, людьми, более всех сведущими в отвлеченных идеях и никогда ничего не принимающими на веру, но всегда ясно видящими свой путь, так как ваше постоянное занятие состоит в том, чтобы извлекать истину при помощи самых правильных выводов из самых оче-видных принципов. Будучи уже таким образом в душе предубежденными, они подчиняются вашим решениям в таких вопросах, которые вы не имеете права решать. И мне достоверно известно, что это самый краткий путь сделать людей неверующими.

И вот, коль скоро считают, что вы понимаете более отчетливо, рассматриваете более внимательно, судите более правильно и делаете выводы более точно, чем дру- гие люди, и что в силу этого вы менее религиозны, так как более рассудительны, я требую, чтобы меня сочли свободомыслящим, и я осмелюсь исследовать предмет, принципы и способ доказательства, признанные математиками нашего времени, с такой же свободой, с какой вы беретесь рассуждать о началах и таинствах религии, с тем чтобы все могли видеть, какое у вас есть право вести за собой других и что может заставить людей следовать за вами. Давно уже было сказано, что геометрия — отличная логика. И необходимо признать, что, когда определения ясны; когда нельзя ни отвергнуть постулата, ни опровергнуть аксиомы; когда при четком рассмотрении и сравнении фигур их свойства выводятся путем непрерывной хорошо связанной цепи следствий, причем предметы по-прежнему держатся в поле зрения, а внимание постоянно фиксируется на них, тогда приобретается привычка рассуждать — тщательно, точно и методически последовательно; эта привычка укрепляет и заостряет ум и, будучи перенесенной на другие предметы, вообще используется в поисках истины. Но, пожалуй, стоит рассмотреть, насколько это все справедливо в случае с нашими геометрами-анали- тиками.

3. Метод флюксий является тем общим ключом, с помощью которого новейшие математики открывают секреты геометрии и, следовательно, природы. И поскольку именно он позволил им столь замечательно превзойти древних в открытии теорем и решении задач, его развитие и применение стало главным, если не единственным занятием всех тех, кто в наше время считается глубоким, основательным геометром. Но является ли этот метод ясным или же туманным, последовательным или противоречивым, убедительным или необоснованным? Я исследую это с величайшей беспристрастностью и представляю мое исследование на ваш суд и на суд каждого непредубежденного читателя. Полагают, что линии образуются движением точек, плоскости — движением линий, а геометрические тела — движением плоскостей. А поскольку значение величин (quantities), образуемых за равные отрезки времени, зависит от большей или меньшей скорости, с которой они увеличиваются и образуются, был найден способ определять величины по скорости движений, их об- разующих. И такие скорости называются флюксиями, а получаемые таким образом величины — флюентами (flowing quantities). Утверждается, что эти флюксии приближенно равны бесконечно малым приращениям флюент, образованным за наименьшие равные промежутки времени; и они являются точными значениями в первой части зарождающегося приращения или в последней части приращения исчезающего (evanescent). Иногда вместо скоростей рассматриваются мгновенные (momentaneous) приращения или уменьшения неопределенных флюент, их называют «моментами» («moments»).

4. Под понятием «моменты» мы не должны понимать конечные частицы [линий]. Утверждают, что таковые являются не «моментами», а величинами, образованными моментами, каковые [моменты] являются лишь зарождающимися началами (principles) конечных величии. Говорят, что в математике нельзя пренебрегать даже самыми малыми ошибками, что флюксии представляют собой скорости (celerities), пропорциональные не конечным, хотя и очень малым, приращениям, а только лишь моментам или за-рождающимся приращениям, у которых рассматривается не величина (magnitude), а только одно отношение. И у вышеупомянутых флюксий имеются другие флюксии, каковые флюксии флюксий называются вторыми флюксиями; а флюксии этих вторых флюксий называются третьими флюксиями; и т. д.— четвертыми, пятыми, шестыми ad infinitum. Однако, подобно тому как наши чувства (senses) напрягаются и ставятся в затруднительное положение при восприятии крайне малых объектов, воображение (способность, производная от чувства) напрягается в еще большей степени и попадает в еще более затруднительное положение, пытаясь выработать четкое представление о мельчайших частицах времени или мельчайших приращениях, образованных за эти мельчайшие промежутки времени; и в гораздо большей степени ему приходится трудно, когда оно пытается постичь «моменты», или упомянутые приращения флюент, находящиеся в statu nascendi2, в самом начале их образования или начале существования, прежде чем те становятся конечными частицами. Вероятно, еще более трудно представить себе абстрагированные скорости подобных зарождающихся несовершенных величин (entities). Однако, если я не ошибаюсь, скорости скоростей, вторые, третьи, четвертые, пятые и т. д. скорости вообще находятся за пределами всего человеческого понимания. Чем больше ум (mind) анализирует и развивает эти неуловимые идеи, тем больше он теряется и заходит в тупик; предметы, вначале мелькающие и крошечные, вскоре вообще исчезают из поля зрения. В каком бы смысле ни употреблять слова, вторая или третья флюксия безусловно представляются тайной, покрытой мраком. Начальная скорость начальной скорости, зарождающееся приращение зарождающегося при-ращения, т. е. вещи, не обладающей никаким значени-ем,— рассмотрите это в каком угодно свете и, если я не ошибаюсь, вы обнаружите, что составить об этом ясное понятие невозможно; так ли это или не так, я оставляю на суд каждого мыслящего читателя. А если вторая флюксия непостижима, то что же нам следует подумать насчет третьей, четвертой, пятой флюксий и т. д., до бесконечности?

5. Некоторые 3, включая даже наших математиков, полагают, что зарубежные математики применяют иной метод, может быть, менее точный и не строго геометрический, но зато более понятный. Вместо флюент и их флюксий они рассматривают переменные (variable) конечные величины, которые увеличиваются или уменьшаются путем постоянного прибавления или вычитания бесконечно малых величин. Вместо скоростей, с помощью которых образуются приращения, они рассматривают сами приращения или уменьшения, которые они называют дифференциалами и которые считаются бесконечно малыми. Дифференциалом линии является бесконечно малая линия, дифференциалом плоскости — бесконечно малая плоскость. Они полагают, что конечные величины состоят из бесконечно малых частей и что кривые представляют собой многоугольники с бесконечно малыми сторонами, а углы, которые они составляют по отношению друг к другу, определяют кривизну линии. Признаюсь, мои способности не позволяют мне представить себе величину бесконечно малую, т. е. бесконечно меньшую, чем любая реальная или воображаемая величина или чем любое наименьшее конечное значение. Но я подозреваю, что для абсолютно всякого человека было бы бесконечно трудно представить себе часть такой бесконечно малой величины, которая будет все же бесконечно меньше ее и, следовательно, даже если ее увеличить в бесконечное число раз, не будет равна мельчайшей конечной величине; это признают все те, кто откровенно скажет, что думает, при усло- вии, что они действительно думают и размышляют, а не принимают сказанное им на веру.

И тем не менее, применяя calculus different]alis 4 — метод, который служит для достижения тех же самых целей, что и метод флюксий, наши современные аналитики не довольствуются лишь рассмотрением дифференциалов конечных величин: они также рассматривают диффе-ренциалы упомянутых дифференциалов и дифференциалы дифференциалов первых дифференциалов и т. д. ad infinitum. Иными словами, они рассматривают величины бесконечно меньшие, чем наименьшая различимая величина; и другие, бесконечно меньшие, чем упомянутые бесконечно малые; третьи, бесконечно меньшие, чем предыдущие бесконечно малые, и так далее без конца или предела. Так что мы обязаны признать бесконечную последовательность бесконечно малых величин, каждая из которых бесконечно меньше, чем предыдущая, й бесконечно больше, чем последующая. Так же как имеются первые, вторые, третьи, четвертые, пятые и т. п. флюксии, су-ществуют и дифференциалы первого, второго, третьего, четвертого, пятого и т. д. порядка, в бесконечной прог-рессии, стремящейся к ничто, к чему вы приближаетесь, по чего так и не достигаете. И (что самое странное) даже если вы возьмете миллион миллионов этих бесконечно малых, каждая из которых считается бесконечно больше некоей другой реальной величины, и прибавите их к наименьшей данной величине, она ни на сколько не увеличится. И это есть один из скромных postulata наших современных математиков, краеугольный камень и основа основ их рассуждений.

Как я говорил, все эти положения выдвигаются определенными людьми, требующими строгих доказательств в религии и утверждающими, что они верят только тому, что сами могут увидеть, и ничему больше, хотя они верят и упомянутым положениям. То, что люди, сведущие только в относительно ясных вопросах, с трудом понимают вопросы туманные, могло бы не представляться чем-то совершенно необъяснимым. Но я полагал бы, что тому, кто в состоянии переварить вторую или третью флюксию, второй или третий дифференциал, не следовало бы привередничать в отношении какого-либо положения в вопросах религиозных. Естественно предположить, что способности людей от природы устроены одинаково. Именно на основании этого предположения люди пытаются спорить друг с другом и убеждать друг друга. Следовательно, то, что покажется очевидно невозможным и неприемлемым одному, могло бы показаться таковым и для другого. Но о каком хотя бы малейшем подобии логики может идти речь, если кто-то осмеливается заявлять, что таинства не могут быть объектами веры, но одновременно принимает, что такие непонятные таинства являются объектом науки?

Правда, необходимо признать, что современные математики не считают эти положения загадочными, а полагают, что их всеобъемлющие умы эти положения усвоили и хорошо их понимают. Они не стесняются утверждать, будто с помощью этих новых аналитических методов могут проникать в саму бесконечность и могут даже направить свой взгляд за ее пределы, что благодаря своему искусству они постигают не только бесконечное, но бесконечное бес-конечного (как они выражаются) или бесконечность бес-конечностей. Однако, несмотря на все эти утверждения и претензии, можно вполне законно поставить вопрос, а не обманываются ли они удивительным образом и не введены ли в заблуждение своими собственными особыми знаками, символами или тому подобным аналогично тому, как другие люди при проведении других исследований часто вводятся в заблуждение словами или терминами. Нет ничего легче, чем изобрести выражения или обозначения для флюксий и бесконечно малых величин первого, второго, третьего, четвертого и последующих порядков, следуя одной и той же регулярной форме без конца или

предела — Xj х, х, х и т. д. или dx, ddx, dddx, ddddx и т. д. Действительно, эти выражения ясны и четки, и ум без труда может представить себе, что их можно продолжить за пределами любых обозначенных границ. Но если мы приподнимем завесу и посмотрим на то, что за ней скрывается, и если, оставив в стороне словесные обороты, мы поставим себе задачу внимательно рассмотреть сами явления, которые, как полагают, должны определяться или обозначаться упомянутыми оборотами, то мы обнаружим огромную пустоту, тьму и путаницу и даже, если я не ошибаюсь,— прямые противоречия и нечто невозможное. Прошу каждого мыслящего читателя самого подумать и вынести суждение относительно того, так ли обстоит дело в данном случае или нет.

Рассмотрев сам предмет, я далее приступаю к рас- смотрению принципов этого нового анализа при помощи моментов, флюксий или бесконечно малых величин; если в результате окажется, что ваши главные положения, от которых, как полагается, зависит все остальное, содержат ошибки и ложные заключения, то отсюда будет следовать, что вы, не знающий, куда направить самого себя, не можете, хотя бы из чувства простой скромности, быть руководителем для других людей. Главное в методе флюксий заключается в том, чтобы получить флюксию, или скорость движения (momentum), для прямоугольника, т. е. произведение двух неопределенных величин. Ибо именно из этого выводятся правила получения флюксий всех других произведений и степеней, независимо от характера коэффициентов или индексов, будь они целыми числами или дробными, действительными или иррациональными. Можно было бы подумать, что это главное положение должно быть очень четко доказано, принимая во внимание, что на нем основано очень многое и что его влияние распространяется на весь анализ. Но пусть чи-татель судит сам. Покажем использование упомянутого принципа на примере . Положим, что произведение, или прямоугольник АВ, увеличивается благодаря постоянному движению и что мгновенные приращения сторон А и В соответственно равны а и Ь. Когда стороны А и В были меньше, положим, на V2 их моментов, прямоугольник равнялся (А — і a)x(B-^b), т.е. AB— laB~bA+^ab.

Но как только стороны А и В увеличились на оставшиеся две половины их моментов, прямоугольник становится равным (А + а)х{В+ у Ь), или АВ+^ аВ + ab. Вычтем из последнего прямоугольника

предыдущий, и останется разность аВ-\-ЬА. Следовательно, приращение прямоугольника, образованного целыми приращениями а и Ьу есть аВ+ЬА, что и требовалось доказать. 'Однако очевидно, что для получения момента или приращения прямоугольника АВ прямым и истинным методом необходимо взять стороны такими, какими они получились в результате увеличения их на полные приращения, и затем перемножить их (.А-\-а)х(В-\-Ь), а полученное произведение (АВ-\-аВ-\-ЪА-\-аЪ) и есть увеличенный прямоугольник; отсюда, если мы вычтем АВ, остаток (aB+bA-\-ab) и будет истинным прира-щением прямоугольника, превышающим тот, который был получен предыдущим незаконным и непрямым ме-тодом, на величину аЪ. И это справедливо в любом случае, какими бы ни были величины большими

или малыми, конечными или бесконечно малыми, приращениями, моментами или скоростями. Не поможет и утверждение о том, что аЬ — величина чрезвычайно малая, поскольку нам говорят, что in rebus mathematicis errores quam minimi non sunt contemnendi .

10. Ничто, кроме неясности предмета, не могло бы побудить или заставить великого автора теории флюксий навязать своим последователям такой ход рассуждений, который только что был продемонстрирован нами на примере, и ничто, кроме молчаливого уважения к авторитету, не могло бы заставить их принять его. Вопрос действительно трудный. Ничего нельзя сделать до тех пор, пока не избавимся от величины аЪ. Чтобы добиться этого, поня-тие о флюксиях смещается; его освещают с разных сто-рон; положения, которые должны быть ясны как осново-полагающие принципы, затуманиваются, а термины, употребление которых должно быть неизменным (steadily), делаются двусмысленными. Но, несмотря на всю эту изощренность и искусство, задача избавления от величины аЪ не может быть решена при помощи законного логического хода рассуждения. Если кто-либо при помощи негеометрических или демонстративных методов убедит себя в полезности определенных правил, которые он впоследствии сообщит своим ученикам в качестве неоспоримых истин и докажет их весьма тонко, с помощью точных и сложных понятий, то нетрудно представить себе, что такие его ученики, чтобы не утруждать себя размышлениями, могут склониться к спутыванию полезности правила с опреде-ленностью истины и принять одно за другое, особенно если они привыкли скорее считать, чем думать, и стремятся идти быстрее вперед, а не заботятся о том, чтобы ступать осторожно и ясно видеть свой путь.

И. Точки, или просто пределы зарождающихся линий, несомненно равны между собой, так как величина одной из них не превышает другой, а предел, как таковой, не есть величина. Если под [механическим] моментом (то- mentum) вы подразумеваете больше, чем самый началь-ный предел, то он должен быть либо конечной величиной, либо бесконечно малой. И действительно, хотя прибегали ко множеству хитростей, чтобы уклониться от признания величин бесконечно малых или как-либо избежать их, все это, кажется, ни к чему не привело. Насколько я понимаю, без признания существования бесконечно малых величин нельзя признать существование величины, занимающей промежуточное положение между конечной величиной и нулем. Приращение, образованное за конечную частицу времени, само по себе является конечной частицей и вследствие этого не может быть [механичес-ким] моментом. Следовательно, для образования [механического] момента вам нужно брать бесконечно малую частицу времени. Говорят, что величина моментов не принимается во внимание, и тем не менее считается, что эти же самые моменты делятся на части. Это не легко понять, не легче, чем представить себе, почему для получения приращения АВ мы должпы брать величины меньшие, чем А и В, хотя необходимо признать, что конечная причина или побудительный мотив такого хода рассуждений совершенно очевидны; но не так легко и просто привести справедливую и законную причину в объяснение этого или показать, что она является строго геометрической.

12. Из доказанного таким образом вышеупомянутого принципа выводится общее правило нахождения у флюента флюксии любой степени . Но так как автор, кажется, испытывал скрытые угрызения совести или сознавал ущербность вышеприведенного доказательства и так как это нахождение флюксии данной степени есть вопрос первостепенной важности, было сочтено уместным вследствие этого доказать то же самое, но иным способом, отличным от приведенного выше доказательства. Однако теперь я перехожу к рассмотрению того, является ли этот другой метод более законным и убедительным, чем прежний; своему рассмотрению я предпосылаю следующую лемму: «Если для доказательства какого-либо предположения выдвигается определенное положение, благодаря которому доказываются некоторые другие положения, и если такое выдвинутое положение впоследствии само будет опровергнуто или отвергнуто противоположным предположением, то в этом случае все другие йоложейия, доказанные при его помощи и вытекающие из него, должны быть также опровергнуты и отвергнуты, с тем чтобы в дальнейшем они не выдвигались и в доказательстве не применялись». Это настолько очевидно, что не нуждается в доказательстве.

Второй способ получения правила нахождения флюксии любой степени заключается в следующем. Пусть величина х возрастает равномерно (uniformly) и пусть предлагается найти флюксию хп. За тот же отрезок времени, что х путем возрастания становится (х+о), степень хп становится (я+о)"; т. е. в соответствии с методом бесконечных рядов а;"+/гож" ^-l- пп~п оохп'2-1- и т. д., а при-

„ - . ПП—П „_ о ,

ращения о и пох"'1^ ^—оох і и т- Д- относятся

друг к другу, как 1 : пхи~х-{-пп~п охп~2+ и т.д. Теперь

допустим, что приращения исчезают, и их последнее отношение будет составлять 1 пхп~х. Но, представляется нам, такой ход рассуждений не будет справедливым или убедительным. Ибо когда говорят: пусть приращения исчезают, т. е. пусть приращения равны нулю или пусть не будет никаких приращений, тем самым прежнее допущение, что приращения представляют собой какую-то величину или что приращения имели место, отвергается, однако следствие того допущения, т. е. выражение, полученное благодаря ему, сохраняется. А это, в соответствии с вышеуказанной леммой, представляет собой ложный ход рассуждения. Безусловно, если мы предполагаем, что приращения исчезают, то мы должны предпо-ложить, что вместе с ними исчезают их соотношения, их выражения и все остальное, выведенное из предположе-ния об их существовании.

Чтобы сделать этот вопрос более понятным, я разверну ход рассуждения и изложу его перед вами более полно. Он сводится, следовательно, к следующему, или, другими словами, может быть выражен следующим образом. Я полагаю, что величина х — переменная, что она возрастает в результате изменения, ее приращение я обозначу о, так что в результате возрастания она становится (х+о). Так как х увеличился, из этого следует, что каждая степень х также увеличивается в соответствующей пропорции. Следовательно, раз х становится (Z+G), хп становится (ar+o)", т. е. в соответствии с методом бесконечных рядов

Xті + похп~1-\-пп~п оохп~2-\- и т.д.

А если из двух возросших величин мы вычтем соответственно основание и степень, то получим в остатке два при-

« — 1 1 ИМ- К „ _ о .

ращения, а именно о и похп ^—оох и т-Д->

а если оба приращения разделить на общий делитель «о», то получим частные

1 и пхп"1 +пп~п охп~2+ и т.д.,

которые, следовательно, являются показателями соотношения приращений. До сих пор я предполагал, что х возрастает, что х обладает действительным приращением, что о есть нечто [определенное]. И я все время исходил из этого предположения, без которого я не смог бы сделать ни одного шага вперед. На основании этого предположения я получаю приращение хп, в состоянии сравнить его с приращением х и нахожу соотношение между двумя приращениями. Теперь я прошу разрешить мне сделать новое предположение, прямо противоположное первому, т. е. я предположу, что нет никакого приращения х или что о есть ничто; это второе предположение опровергает мое первое, несовместимо с ним и, следовательно, со всем тем, что им предполагается. Тем не менее я прошу разрешения сохранить пхп~1 — выражение, полученное благодаря моему первому предположению, необходимо обусловленное таким предположением, причем получение его без первого предположения было бы невозможно. Все это представляется весьма непоследовательным способом аргументации, и притом таким, который не допускался бы в отношении вопросов о божественном.

15. Нет ничего более очевидного, как то, что из двух несовместимых предположений нельзя непосредственно вывести правильное заключение. Правда, можно предположить все что угодно. Но ведь нельзя предполагать то, что может уничтожить первое предположение; или же, если вы так поступаете, то должны начать de novo. Следовательно, если вы предполагаете, что увеличения исчезают, т. е. что увеличений нет, то вы должны начать снова и посмотреть, что следует из такого предположения. Но отсюда не следует ничего, что послужило бы вашей цели.

Таким путем вы вообще не сможете прийти к сделанному вами выводу или, проводя анализ конечных величин, успешно осуществить то, что знаменитый автор называет изучением первого или последнего отношения зарождающихся или исчезающих величин. Я вновь повторяю: вы свободны делать любые возможные предположения; и вы можете опровергнуть одно предположение при помощи другого; но тогда вы не можете сохранить следствия или какую-либо часть следствий вашего первого предположения, опровергнутого таким образом. Я признаю, что можно заставить знаки обозначать что-либо или ничто, и, следовательно, в первоначальной записи (я+о) о может означать либо приращение, либо нуль. Но затем, какое бы из этих двух значений вы ему ни придали, вы должны рассуждать последовательно в соответствии с этим значением, а не исходить из двойного значения; делать так было бы явным софизмом. Рассуждаете ли вы при помощи слов или символов, правила здравого смысла остаются теми же. Нельзя также предположить, что вы сможете присвоить себе привилегию — быть свободным от этих правил в математике.

16. Если вы сначала допускаете, что какая-то величина возрастает на нуль и в выражении (х+о) о обозначает нуль, то, в соответствии с этим допущением, раз не будет приращения основания, не будет и приращения степени; и, следовательно, из всех членов ряда, составляющего сте-пень бинома, останется только первый член; поэтому при помощи такого способа вы никогда не получите законным образом необходимое вам выражение флюксии. Отсюда вы вынуждены ступить на ложный путь, действуя до определенного момента на основании допущения приращения, а затем сразу же изменяя свое допущение на прямо противоположное (отсутствие приращения). Может показаться, что при осуществлении этого в определенный момент или период требуется большое искусство, поскольку, если бы это второе допущение было сделано до деления на общий делитель о, все бы мгновенно исчезло, и на ос-новании своего допущения вы ничего бы не получали; в то время как благодаря этой уловке — сначала разде-лить, а потом уже изменить свое допущение, вы сохраняете 1 и пхп~1. Но, несмотря на всю эту ловкость, проявленную для прикрытия ошибки, последняя остается той же самой. Ибо независимо от того, сделаете вы это раньше или цозже, как только сделано второе допущение или предпо-

Ложение, в тот же самый миг уничтожается и полностью исчезает прежнее допущение и все то, что вы получили при его помощи. И это справедливо в отношении всего, каков бы ни был объект изучения, во всех сферах человеческого познания; я полагаю, что в любой другой из этих сфер люди едва ли бы допустили подобный ход рассуждений, принятый для доказательства в математике.

17. Может быть, уместно заметить, что способ нахождения флюксии прямоугольника, состоящего из двух непре-рывных переменных величин [флюент], в том виде, как он изложен в «Трактате о квадратурах», отличается от вышеизложенного, взятого из второй книги «Начал», и в сущности является тем же самым способом, который используется в calculus differentials . Ибо предположить какую-либо величину бесконечно уменьшенной и вследствие этого отбросить ее — означает по сути дела отбросить бесконечно малую величину; и действительно, требуется поистине чудесная острота восприятия, чтобы суметь провести различие между исчезающими приращениями и бесконечно малыми дифференциалами. Конечно, можно возразить, что величина бесконечно уменьшенная становится нулем и поэтому ничто не отбрасывается. Но в соответствии с общепринятыми принципами очевидно, что ни одна геометрическая величина не может быть никакими делениями или делениями делений совершенно исчерпана или сведена к нулю. Если принять во внимание различные хитрости и уловки, примененные великим автором метода флюксий — как разносторонне он трактует свои флюксии и какими различными способами пытается доказать одно и то же положение,— то есть основание считать, что он сам сомневался в справедливости своих доказательств и не был доволен ни одним понятием настолько, чтобы придерживаться его твердо. По крайней мере ясно одно: ему самому пришлось удовлетвориться некоторыми определенными положениями, но тем не менее он не мог взять на себя доказать их другим . Я не берусь определить, возникла ли эта удовлетворенность на основании экспериментальных (tentative) методов или индукции, что часто признается математиками (например, д-ром Уоллесом в его «Арифметике бесконечно малых»). Но как бы ни обстояло дело в отношении автора, пред- ставляется, что его последователи проявили себя более ревностными в применении его метода, чем точными в изучении его принципов.

Любопытно заметить, какую тонкость и изобретательность проявляет этот великий гений в борьбе с непреодолимым затруднением и через какие лабиринты пытается он спастись от учения о бесконечно малых величинах, на которое, хочет он того или нет, он повсюду натыкается и которое признается и принимается другими без малейшего колебания. Лейбниц и его последователи в своем calculus differenlialis ни в коей мере не стесняются, сначала предполагая, а затем отбрасывая бесконечно малые величины, и любой мыслящий человек, не предубеж-денный заранее в пользу этих вещей, может легко себе представить, каковы могут быть ясность восприятия и правильность суждения при такой логике! Мы уже рас-сматривали понятие, или идею, бесконечно малой величины как объекта, непосредственно воспринимаемого умом . Теперь я ограничусь лишь замечанием относительно того, каким способом избавляются от таких величин, а это делается совершенно бесцеремонно. Подобно тому как в методе флюксий главная задача, прокладывающая путь всему остальному, заключается в том, чтобы найти флюксию произведения двух неопределенных величин, в calculus differentialis (методе, который считается заимствованием вышеупомянутого, с некоторыми незначительными изменениями) главное состоит в том, чтобы получить дифференциал такого произведения. Правило для этого получается путем отбрасывания произведения, или прямоугольника, дифференциалов. И вообще считается, что ни одна величина не возрастает и не уменьшается от прибавления своей бесконечно малой и что, следовательно, от такого отбрасывания бесконечно малых не может произойти ошибки.

И тем не менее представляется, что, если в посылках допускаются какие-либо ошибки, следует ожидать соот-ветствующих им ошибок в заключении, имеем ли мы дело с конечными или бесконечно малыми величинами; и в силу этого axpipeia 8 геометрии требует, чтобы ничем не пренебрегали и ничего не отбрасывали. В ответ на это вы, возможно, скажете, что заключения правильны и истинны и что поэтому принципы и методы, на основе которых они получены, тоже должны быть правильны и истинны. Но этот обратный (inverted) способ доказательства правильности принципов на основе выводов настолько же присущ вам, господа, насколько противоречит правилам логики. Истинность вывода ни в коей мере не докажет правильность ни формы, ни сущности силлогизма, ввиду того что заключение могло быть неверным или посылки ложными, а вывод тем не менее будет правильным, хотя и не благодаря такому заключению или таким посылкам. Я утверждаю, что в любой другой науке люди доказывают свои выводы на основе принципов, а не свои принципы на основе выводов. Но если в своей науке вы разрешаете для себя этот неестественный ход рассуждений, то в качестве последствия такого шага вам придется взять на вооружение индукцию и распроститься со [строгими] доказательствами. А если вы пойдете на это, ваш авторитет уже не будет более прокладывать путь вперед в вопросах разума и науки.

20. У меня нет разногласий с вами относительно ваших выводов, они у меня есть только относительно вашей логики и метода. Как вы проводите доказательство? С какими предметами вы хорошо знакомы и ясно ли вы их себе представляете? На основе каких принципов вы действуете, насколько они правильны, и как вы их применяете? Необходимо помнить, что меня интересует не истинность ваших теорем, а только способ их доказательства, законный он или незаконный, ясный или туманный, теоретический (scientific) или экспериментальный. Чтобы избежать всякой возможности вашего неправильного суждения обо мне, я прошу разрешения повторить и я вновь настаиваю, что я рассматриваю геометра-аналитика как логика, т. е. то, каким образом он рассуждает и доказывает, а его математические выводы рассматриваю не сами по себе, а в их посылках, не в отношении того, являются ли они истинными или ложными, полезными или не имеющими значения, а лишь каким образом они выводятся из таких принципов и при помощи таких приемов выведения. А поскольку может показаться необъяснимым парадоксом, что математики выводят правильные положения, исходя из ложных принципов, могут прийти к правильному выводу и тем не менее ошибаться в посылках, я попытаюсь конкретно объяснить, почему это может произойти, и покажу, как ошибка может породить истину, хотя не может породить науку.

21. Следовательно, для того чтобы выяснить это положение, предположим, например, что надо провести касательную к параболе, и рассмотрим решение этой задачи

при наличии бесконечно ма- т лых дифференциалов. Пусть

АВ — кривая, абсцисса АР = — х, ордината РВ=у, приращение абсциссы PM — dx, приращение ординаты RN~dy. Теперь допустим, что кривая представляет собой мно-гоугольник и, следовательно, BN, приращение, то есть разность кривой, является отрезком прямой, сов-падающим с касательной, а дифференциальный треугольник BRN подобен треугольнику ТРВ, тогда подкасатель- ная РТ будет четвертым членом пропорции RN : RB — РВ...,

т. е. dy : dx = y... Отсюда подкасательная будет равна

Но здесь п содержится ошибка, возникшая в результате вышеупомянутого допущения, не соответствующего действительности, вследствие чего величина РТ получается больше, чем она есть на самом деле: ибо в действительности не треугольник RNB подобен РВТ, а треугольник RLB, и поэтому первым членом пропорции должен быть не RN, a RL, т. е. RN+NL, т. е. dy-\-z\ отсюда истинным выражением для подкасательиой должно было бы быть

z . Следовательно, когда dy было сделано делителем,

была допущена ошибка, так как была взята меньшая, чем на самом деле, величина, и эта ошибка равнялась z, т. е. 7VX, отрезку, заключенному между кривой и касательной. Далее, в соответствии с характеристикой кривой, уу=рх, где р — параметр, отсюда в соответствии с правилом диф-ференцирования 2у dy=p dx и dy—1^--. Но если умножить

(y-\-dy) само на себя и сохранить все произведение, не отбрасывая площадь дифференциала, тогда, если подставить возросшие величины в уравнение кривой, окажется, что действительно — d\ylJ • Следовательно, была

допущена ошибка, когда сочли, что dy = , приведшая

к увеличению истинного значения и вытекающая из ошибочного правила дифференцирования. И величина этой второй ошибки z- Следовательно, обе ошибки равны

друг другу и взаимно уничтожаются; первая ошибка, приведшая к уменьшению истинного значения выражения, исправлена второй ошибкой, увеличивающей его значение.

22. Если допустить только одну ошибку, не найдешь правильного решения задачи. Но благодаря двойной ошибке доходишь до истины, хотя и не до науки. Ибо нельзя назвать наукой тот путь, при котором двигаешься вслепую и добираешься до истины, не зная как и при помощи

тт dy d\j

каких средств. Для доказательства равенства z = ^

обозначим BR или dx как т, a RN или dy как п. На основании 33-й теоремы первой книги «Конусов» [грека] Аполлония9 и подобия треугольников следует, что 2х у,

как т: (n-\-z)=^ Аналогично из характеристики параболы следует, что (уу-{-2уп-\-пп)=хр-\-тр, а 2уп-\-пп=

2 упА-пп у у

=тр; вследствие чего ——^— =гга; и поскольку уу=рх,~

будет равно х. Следовательно, подставляя эти значения вместо тих, мы получим

ту __ 2уупр + уппр л 2 уур

2уп \-пп

т. е.

2у

пп dy dy

что после сокращения дает z = = 2у ' чт0 и тРе~

бовалось доказать.

23. Теперь я прежде всего замечу, что итог получается правильным не потому, что отброшенная площадь dy была бесконечно мала, а потому, что эта ошибка была компенсирована другой, противоположной по своему характеру, по равной ошибкой. Во-вторых, замечу: что бы ни было отброшено, как бы мало оно ни было, если бы оно было действительным и, следовательно, составляло реальную ошибку в посылках, оно вызвало бы соответ- ственную ошибку в итоге. В силу этого ваши теоремы не могут быть непогрешимо правильными, а ваши задачи — точно решенными, так как сами посылки не точны; в логике является правилом: conclusio sequitur partem debilio- rem 10. Поэтому замечу, в-третьих: когда заключение очевидно, а посылки неясны или когда заключение точно, а посылки неточны, мы можем совершенно свободно заявит^ что такое заключение очевидно или точно не в силу

упомянутых неясных неточных посылок или принципов* а в силу некоторых иных принципов, о которых сам автор доказательства, возможно, вообще не знал и не думал. Наконец, замечу: если предположить, что дифференциалы являются конечными величинами, значение которых может быть и очень велико, то и в этом случае итог тем не менее будет прежним ввиду того, что отброшенные величины игнорируются на законном основании,— не потому, что малы, а по другой причине, а именно из-за противопо-ложных по характеру ошибок, которые, взаимно уничтожаясь, в целом приводят к тому, что в действительности ничего не отбрасывается, хотя по видимости что-то отвергается. И эта причина в равной степени действительна в отношении величин конечных и бесконечно малых, больших и маленьких, как фута и ярда, так и наименьшего приращения.

24. Чтобы более полно проиллюстрировать это положение, я рассмотрю его в несколько ином свете и, оперируя вплоть до самого заключения конечными величинами, буду использовать тогда только одну бесконечно малую величину. Положим, что прямая MQ пересекает кривую

AT в точках R и S. Положим, что LR — касательная в точке Ry AN — абсцисса, NR п OS — ординаты. Продолжим AN до пересечения с О и проведем RP параллельно NО. Положим, что AN=x, NR=y, NO=v, PS = z, поднормаль (subsecant) MN=s. Пусть уравнение y=xx выражает характеристику кривой; предположив, что г/ и я возрастают на конечное приращение, мы получаем:

у + z = хх + 2xv -f vv;

отсюда, после вычитания предыдущего уравнения, остается z=2xv+vv. На основании подобия треугольников

PS:PR^NR:NM, т. е. = = подставив сюда вместо у и z их значения, мы получаем:

VXX XX

§ rrr в

Если предположить, что N0 уменьшено до величины бесконечно малой, поднормаль NM будет в этом случае совпадать с подкасательной NL, a v, как величина беско-нечно малая, может быть отброшена, отсюда S=NL = = -^-=-^,что и является истинным значением подкасательной. II поскольку при его получении была допущена только одна ошибка, т. е. однажды отброшена только одна бесконечно малая величина, то может показаться в про-тивоположность тому, что говорилось ранее, будто можно пренебречь бесконечно малой величиной, или дифферен-циалом, отбросить его, и тем не менее итог будет истинным и точным, хотя и не была допущена двойная ошибка, т. е. не было исправления одной ошибки при помощи другой, как это имело место в первом случае. Но если тщательно рассмотреть это положение, мы обнаружим, что даже в данном случае допускается двойная ошибка и одна из них компенсирует или исправляет вторую. Ибо, во-первых, мы предполагали, что, когда N0 уменьшается до беско-нечно малой величины или становится бесконечно малой величиной, тогда поднормаль NM становится равной подкасательной NL. Но это очевидная ошибка, ибо со-вершенно ясно, что, поскольку секущая не может быть касательной, поднормаль не может быть подкасательной. Пусть разность будет очень мала, все же она будет. А если N0 — бесконечно малая величина, даже тогда будет на- лицо бесконечно малая разность между NM и NL. В силу этого NM или S было слишком мало для вашего допущения (когда вы допускали, что оно равно NL) и эта ошибка была компенсирована второй ошибкой, состоявшей в от-брасывании V, и в результате этой последней ошибки S стала больше, чем ее истинное значение, и вместо него дала значение подкасательной. Таково истинное положение вещей в нашем случае, каким бы замаскированным он ни был. И к этому он сводится в действительности и в ос-нове своей остается тем же самым, даже если мы позволим себе найти подкасательную, сначала определив с помощью уравнения кривой и подобных треугольников общее выра-жение для всех поднормалей, а затем подведя подкасатель-ную под это общее правило, считая ее поднормалью, когда v приближается к нулю или становится равным ему.

25. По поводу всего примера в целом я замечу, во-пер-вых, что v вообще не может быть равным нулю, поскольку имеется секущая. Во-вторых, одна и та же прямая не может быть и касательной, и секущей. В-третьих, когда v или N0 приближается к нулю, PS и SR также приближаются к нулю, а с ними и пропорциональность подобных треугольников. Следовательно, все выражение, получен-ное с помощью этой пропорциональности и на ней основан-ное, приближается к нулю, когда приближается к нулю и. В-четвертых, способ нахождения секущих или их выражения, каким бы общим он ни был, не может с точки зрения здравого смысла распространяться за пределы нахожде-ния именно всех секущих; и поскольку он необходимо предполагает наличие подобных треугольников, то в тех случаях, когда подобных треугольников нет, его приме-нение нельзя даже предполагать. В-пятых, поднормаль всегда будет меньше подкасательной и никогда не может с ней совпадать; допускать подобное совпадение было бы абсурдно, ибо это означало бы допускать, что одна и та же прямая в одно и то же время пересекает и не пересекает другую данную линию; это представляет собой очевидное противоречие, подрывающее гипотезу и служащее доказа-тельством ее ложности. В-шестых, если это доказатель-ство не будет признано, я потребую, чтобы мне назвали причину, почему не это, а какое-либо иное апагогическое доказательство, или доказательство acl absurdum, при-знано в геометрии, или же между моим доказательством

и другими подобными доказательствами должно быть най-дено какое-либо реальное различие. В-седьмых, замечу: предположить, что N0 или RP, PS и SR являются конеч-ными реальными прямыми, образующими треугольник RPS, чтобы получить пропорции при помощи подобных треугольников, а затем допустить, что таких прямых (а сле-довательно, и подобных треугольников) не существует, но тем не менее сохранить следствие первого предположе-ния после того, как такое предположение уничтожено прямо противоположным,— это чистая софистика. В-вось- мьтх, хотя в данном случае при помощи несовместимых допуще-ний можнополучитьистину, тем пе менее такая истина не доказана; подобный метод ие соответствует правилам логики и правильного мышления; каким бы полезным он пи был, его необходимо считать только предположением, ловким приемом (knack), хитростью, скорее уловкой, но не научным доказательством.

26. Изложенная выше теория может быть далее проил-люстрирована следующим простым и легким примером, в котором я использую приближающиеся к нулю прира-щения. Положим, АВ=ху ВС—у, BD = o, а хх равен пло-щади АВС\ предполагается найти ординату у или ВС. Когда благодаря возрастанию х становится (я+о), тогда хх становится (хх-\-2хо-\-оо)\ а площадь ABC становится ADH, и приращение хх будет равно BDHC, приращению площади, т. е. (BCFD+CFH). И если мы положим, что криволинейное пространство CIIF равно qoo, тогда

2хо + оо=уо + qoo,

417

1 4 д. Беркли

что при делении на о дает 2x-\-o=y-\-qo. И если допус-тить, что о исчезает, тогда 2х=у, и в этом случае А СИ будет прямой, а фигуры ABC, CFII — треугольниками. Но в отно-шении такого хода рассуждений было уже замечено : допускать, что о приближается к нулю, т. е. равно нулю, неправомерно и нелогично, если только мы одновременно

с самим приращением не отбросим все следствия такого приращения, т. е. все то, чего нельзя получить, коль скоро не допускают такого приращения. Необходимо тем не ме-нее признать, что задача решается правильно и вывод, к которому нас привел этот метод, правилен. Поэтому могут спросить: как же получается, что отбрасывание о не сопровождается никакими ошибками в выводе? Я отвечу: подлинная причина этого очевидна: раз q составляет еди-ницу, qo равно о; и в силу этого

2х + о — qo—y=2x,

поскольку qo и о, как равные величины с противоположными знаками, взаимно уничтожаются.

27. Хотя, с одной стороны, было бы абсурдным избав-ляться от о, заявив: «Разрешите мне противоречить самому себе. Разрешите мне опровергнуть свое собственное пред-положение. Разрешите мне считать доказанным, что нет никакого приращения, хотя я сохраняю величину, ко-торую я вообще не мог бы получить, если бы не предпо-ложил наличие приращения», с другой стороны, было бы в равной мере неправильным вообразить, что в геометри-ческом доказательстве нам может быть позволено допус-кать ошибки, какими бы незначительными они ни были, или что по самой природе вещей возможно сделать пра-вильный вывод на основе неточных принципов. Поэтому о может быть отброшено не как бесконечно малая величина и не на том основании, что бесконечно малыми величинами можно спокойно пренебрегать, а только потому, что оно уничтожается равной величиной с отрицательным знаком, отсюда (о—qo) равно нулю. И поскольку неправомерно сокращать уравнение путем вычитания из одной его части какой-либо величины, если только она не должна быть уничтожена или если из другой части уравнения не вычитается равная ей величина, то наш способ вести рас-суждение необходимо признать в качестве весьма логич-ного и правильного и в заключение заявить, что, если из равных величин вычесть равные величины или нули, их равенство не нарушится. И это — истинная причина того, что в конечном итоге отбрасывание о не приводит к ошибке, что, следовательно, не должно быть отнесено за счет уче-ния о дифференциалах, бесконечно малых величинах, ис-чезающих величинах, [механических] моментах или флюксиях.

28. Допустим, имеется самый общий пример и хп равен площади ABC; отсюда при помощи метода флюксий найдем значение ординаты — пхп~х, которое мы примем за истин-ное, и рассмотрим, как оно было получено. Если мы до-вольствуемся тем, что придем к выводу самым общим пу-тем, предположив, что найдено отношение флюксий X и хп, равное 1 пхп~1, и что ордината упомянутой пло-щади считается ее флюксией, мы не увидим ясно свой путь и не поймем, как обнаруживается истина, поскольку, как мы показали ранее, этот метод неясен и нелогичен. Но если мы четко обозначим площадь и ее приращение, раз-делим последнее на две части BCFD и CFH и будем дей-ствовать последовательно при помощи уравнений, состав-ленных из алгебраических и геометрических величин, тогда совершенно четко выявится внутреннее обоснование всего решения. Ибо если хп равен площади ABC, то при-ращение хп равно приращению площади, т. е. BDHC; другими словами

и т.д. = BDFC + CFH.

И поскольку сохраняются только первые члены из каждой части уравнения, noxtl~l = BDFC. Разделив обе части на о или BD, получим пхп~г =ВС. В силу чего допустим, что

л Т-. гг пп — п

криволинейное пространство СгН равно величине—^—х

14*

419X оохп~2 + и т. д., которую можно отбросить, и, когда одно отброшено из одной части, а другое — из другой, ход рассуждения становится правильным, а вывод верным. И совершенно безразлично, какое значение вы придадите BD — бесконечно малого дифференциала или большого конечного приращения. Отсюда очевидно, что предположение о том, что подлежащая отбрасыванию алгебраическая величина является бесконечно малой или исчезающей и поэтому ею можно пренебречь, должно было бы привести к ошибке, если бы криволинейные не были бы равными ей и не вычитались бы одновременно из другой части уравнения, в соответствии с аксиомой: если от равных величин отнять равные части, остатки тоже будут равны. Ибо те величины, которыми, но утверждению аналитиков, следует пренебречь, или же которые следует считать ис-

чезающими, в действительности вычитаются. Поэтому, чтобы вывод был верен, абсолютно необходимо, чтобы конечное пространство CFH было равно остатку приращения, выраженному через

равно, как я сказал бы, конечному остатку конечного приращения.

Следовательно, о какой бы степени ни шла речь, в одной части возникает алгебраическое выражение, а в другой — геометрическая вели чипа, каждая из которых естественно распадается на три члена: [первый —] алгебраическое или флюксионное выражение, в которое не входит ни выражение приращения абсциссы, ни какой- либо ее степени; второй, в который входит выражение самого приращения; и третий, включающий выражение степеней приращения. Геометрическая величина, или же вся увеличившаяся площадь, тоже состоит из трех частей или членов, первый из которых — заданная площадь, второй — прямоугольник иод ординатой и приращением абсциссы и третий — площадь, ограниченная кривыми линиями. И, сравнивая аналогичные или соответственные члены в каждой части, обнаруживаем, что первый член алгебраического выражения есть выражение заданной площади, в то время как второй член алгебраического выражения дает значение прямоугольника, или второго члена геометрической величины, а третий, содержащий степе-ни приращения, выражает площадь, ограниченную кри-выми, или третий член геометрической величины. Вероятно, те, у кого есть досуг и кто проявляет любопытство в отношении таких вопросов, могут дальше развить эти начатки мыслей и применить их для каких-либо благих целей. Я же использую их для того, чтобы показать, что данный анализ можно признать действительным не только в отношении приращений и дифференциалов, по (как было замечено ранее) также и в отношении конечных величин, если даже они гак велики, как было выше замечено.

Следовательно, в целом, как представляется, мы можем совершенно определенно заявить, что заключение не может быть правильным, если для его получения какая-либо величина объявляется приближающейся к нулю или игнорируется, за исключением тех случаев, когда одна ошибка компенсируется другой; или же, во-вторых, когда в одной и той же части уравнения взаимно уничто-жаются равные величины, имеющие противоположные знаки, так что величина, которую мы имеем в виду отбросить, прежде уже уничтожается; или же, наконец, когда из каждой части уравнения вычитаются равные величины. И в силу этого избавляться от каких-либо величин в соответствии с принятыми пршщгпами флюксий, или дифференциалов,— значит противоречить как истинной геометрии, так и истинной логике. Когда приращения исчезают, скорости тоже приближаются к нулю. Заявляют, что скорости, пли флюксии, суть primo и ultimo 12 как приращения зарождающиеся и исчезающие. Но тогда возьмите соотношение (ratio) исчезающих величин, оно равно соотношению флюксий. В силу этого оно также отвечает всем целям. Зачем же тогда вводятся флюксии? Разве не для того, чтобы избежать применения величин бесконечно малых или, скорее, затушевать (palliate) его? По у нас ист иных понятий для понимания и измерения различных степеней скорости, кроме пространства и времени, а когда отрезки времени даны — только пространства. У нас даже нет понятия о скорости, отделенной от пространства и времени. Поэтому, когда говорится, что какая-либо точка движется в данные отрезки времени, у нас нет понятия о большей или меньшей скорости или о соотношении скоростей, а только о более длинных или коротких отрезках прямой и о соотношении между такими отрезками, образованными за равные промежутки времени.

31. Точка может служить пределом линии. Линия может служить пределом поверхности. Мгновение может завершить отрезок времени. Но как мы можем представить себе скорость при помощи таких пределов? Она необходимо подразумевает как время, так и пространство и не може г быть представлена без них. А если скорости зарождающихся и приближающихся к нулю величин, т. е. абстрагированных от времени и пространства, не могут быть поняты, то как мы можем понять и доказать их соотношения? Или возьмем их rationes primae и ultimae 13. Рассмотрение пропорции или отношения (ratio) вещей подразумевает, что у таких вещей есть определенное значение, что такие их значения могут быть измерены, а их отношения друг к другу — найдены. Но поскольку скорость измеряется только через время и пространственное [протяжение], соотношение скоростей может быть составлено только из прямой пропорции расстояний (spaces) и обрат- ной пропорции времен; не следует ли из этого, что говорить об исследовании, получении и рассмотрении соотно-шений скоростей, в отрыве от времени и пространства,— значит говорить нечто невразумительное?

Но вы можете сказать, что при использовании и применении флюксий люди не перенапрягают свои способности с целью абсолютно точно понять концепцию вышеупомянутых скоростей, приращений, бесконечно малых величин или каких-либо иных подобных идей столь деликатного (nice), тонкого и мимолетного (evanescent) характера. И в силу этого вы, может быть, будете утверждать, что задачи можно решать без упомянутых допущений, которые не доступны пониманию, и что, следовательно, учение о флюксиях, по крайней мере в своей практической части, свободно от всех таких трудностей. Я отвечу, что, если при использовании и применении этого метода упомянутые трудные и неясные моменты не принимаются во внимание явно, они тем не менее предполагаются. Они являются фундаментом, на который опираются современные математики, принципами, на основе которых они действуют, решая задачи и открывая теоремы. С методом флюксий дело обстоит так же, как со всеми другими методами, ко-торые предполагают наличие соответствующих принципов и основаны на них, хотя правила, вытекающие из методов, могут применяться людьми, которые и не обращают внимания на принципы и, может быть, их даже не знают. В силу этого подобным же образом моряк может на практике применять определенные правила, основанные на геометрии и астрономии, принципов которых он не понимает, и так же любой обыкновенный человек может решать различные числовые примеры, используя общедоступ-ные правила и действия арифметики, которые он выполняет и применяет, не зная их обоснования. Более того, нельзя отрицать, что вы можете применять правила метода флюксий; вы можете сравнивать и сводить частные случаи к общим формам; при помощи его вы можете производить действия, высчитывать и решать задачи, не только действительно не обращая внимания на основы этого метода и принципы, от которых он зависит и из которых он выведен, и фактически не зная их, но даже вообще никогда ие рассматривая и не понимая их.

Но тогда следует не забывать, что в таком случае, хотя вы можете сойти за художника, вычислителя или аналитика, вас по справедливости нельзя было бы считать человеком науки, основывающим свои мнения на строгом доказательстве. Никто не должен так же, только в силу того, что он хорошо разбирается в таком туманном анализе, воображать, что его умственные способности более развиты, чем у тех, кто упражнял их каким-либо иным образом и в отношении других предметов, и тем более не ставить себя на роль судьи и оракула в отношении вопросов, которые никак не связаны с теми образами, символами или знаками, которыми он так ловко и умело распоряжается, являясь специалистом в этом деле, и от которых другие вопросы совершенно не зависят. Вас, например, искусного вычислителя и аналитика, возможно, в силу вышеизложенного, могут не считать искусным в анатомии, или vice versa14: человек, искусно рассекающий трупы, тем не менее может быть не сведущим в вашем искусстве вы-числения; а вы оба вместе, несмотря на то что необыкновенно искусны каждый в своем соответствующем деле, в равной мере не компетентны решать вопросы, относящиеся к логике, метафизике, этике, религии. И так оно и будет, даже если признать, что вы понимаете свои собственные принципы и можете их доказывать.

34. Если скажут, что флюксии можно объяснить или выразить при помощи отрезков прямых, им пропорциональных; что поскольку эти отрезки можно отчетливо воспринять, познать и на них можно основываться, то их можно подставить вместо флюксий, а их отношения, или пропорции, рассматривать как пропорции флюксий; что благодаря такому приему теория флюксий становится ясной и полезной,— на это я отвечу: для того чтобы получить эти конечные прямые, пропорциональные флюксиям, необходимо предпринять определенные неясные шаги, которые представить себе невозможно; и пусть эти конечные прямые сами по себе воспринимаются очень ясно, тем не менее необходимо признать, что ход ваших рассуждений не ясен, а ваш метод не научен. Например, положим, что АВ — абсцисса, ВС — ордината, a VCH — касательная к кривой АС; ВЬ или СЕ — приращение абсциссы, Ее — приращение ординаты, которая, будучи продолжена, пересекает VH в точке Т7, а Сс — приращение кривой. Если прямую Сс продолжить до К, образуется три небольших треугольника — прямолинейный СЕс, треугольник со смешанными прямо- и криволинейными сторонами СЕс и пря-молинейный треугольник СЕТ. Очевидно, что эти три треугольника отличаются друг от друга: прямолинейный треугольник СЕс меньше треугольника СЕс со смешанными прямо- и криволинейными сторонами, которые представляют собой три вышеупомянутых приращения; в свою очередь последний меньше треугольника СЕТ Допустим, что ордината be перемещается на место ВС, так что точка с совпадает с точкой С, а прямая СК и, следовательно, кривая Сс совпадает с касательной CII. В таком случае треугольник СЕс со смешанными криво- и прямолинейными сторонами, приближающийся к исчезновению, в своей последней форме будет подобен треугольнику СЕТ, а его приближающиеся к нулю стороны СЕ, Ее, Сс будут про

порциональны СЕ, ET, СТ — сторонам треугольника СЕТ. И в силу этого делается вывод, что флюксии отрезков АВ, ВС и А С, входящие в последнее отношение их исчезающих приращений, пропорциональны сторонам треугольника СЕТ, или, что одно и то же, сторонам треугольника VBC, ему подобного . Великий автор данного анализа специально замечает и особенно настаивает на том, что точки С и с не должны отстоять друг от друга ни па какой самый малейший интервал, по что для нахождения окончательных пропорций отрезков СЕ, Ее и Сс (т. е. отношения флюксий или скоростей), выраженных конечными сторонами треугольника VBC, точки С и с должны точно совпадать друг с другом, т. е. быть одной и той же точкой. Следовательно, точка рассматривается как треугольник или же допускается, что в точке образуется треугольник. Понять это представляется совершенно невозможным. Однако находятся люди, которые недовольно морщатся, сталкиваясь с какими-либо непостижимыми тайнами у всех других, в то же время не видят ничего трудного в таких же непостижимостях у себя самих, которые подавятся комаром, но проглотят верблюда. 39. 35. Я не знаю, стоит ли особо отметить, что, может быть, некоторые надеются оперировать символами и допущениями, дабы избежать применения флюксий, [механических] моментов и бесконечно малых величин, действуя с помощью следующего метода. Пусть х — абсцисса кривой, a z — еще одна абсцисса той же самой кривой. Положим также, что соответствующие площади равны ххх и zzz, что (z — х) — приращение абсциссы, a (zzz — — ххх) — приращение площади, не обращая внимания па то, насколько велики или малы эти приращения. Разделим теперь (zzz — ххх) на (z — х) и получим частное (;zz-\-zx-\-xx)\ если допустим, что z х, тогда это же самое частное будет равно 3 хх, что в таком случае и будет значением ординаты; таким образом, последнее можно найти независимо от флюксий и бесконечно малых величин. Но здесь прямая подтасовка: ибо, во-первых, мы полагаем, что абсциссы х и z не равны между собой, и без такого предположения нельзя было бы сделать ни одного шага; а во-вторых, мы допускаем, что те же абсциссы равны, а это явная непоследовательность, и это равнозначно то-му, что уже рассматривалось ранее *. И, действительно, есть основания опасаться, что все попытки поставить эту трудную для понимания и точную геометрию на верный фундамент п избежать теории скоростей, механических моментов и т. п. окажутся бесплодными до тех пор, пока предмет и цель геометрии не будут поняты лучше, чем, как представляется, понимали до сих пор. Великий автор метода флюксий чувствовал эту трудность и поэтому пустился во все эти изящные (nice) абстракции и геометрическую метафизику, без которых, как он понимал, ничего нельзя сделать на основе общепринятых принципов, и читатель сам может судить, что у него из всего этого получилось в смысле доказательства. Правда, надо признать, что он использовал флюксии, подобно лесам при строи-тельстве здания, которые нужно было отбросить в сторону пли от которых нужно было избавиться, когда уже было найдено, что конечные линии пропорциональны этим флюксиям. Но ведь эти конечные показатели определяются с помощью флюксий. Поэтому все, что получается с помощью таких показателей и пропорций, необходимо отнести за счет флюксий, которые, следовательно, предварительно надо попять. А что такое эти флюксии? Скорости исчеза- ющих приращений. А что такое эти самые исчезающие приращения? Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули. Разве мы не имеем права назвать их призраками (ghosts) исчезнувших величин?

36. Люди слишком часто внушают самим себе и другим, будто они представили себе и поняли явления, выраженные при помощи знаков, тогда как в действительности они не имеют о них ни малейшего представления, а понимают только сами знаки. И есть основания опасаться, что именно так обстоит дело в данном случае. Скорости исчезающих или же зарождающихся величин могут выражаться

abed е

К LmnoMpqrN О Р

как конечными отрезками определенной величины, так и алгебраическими символами, но я подозреваю, что многие, кто, вероятно, никогда не рассматривал этого положения и считает его само собой разумеющимся, при тщательном его изучении обнаружили бы, что не в состоянии составить какое-либо представление или какое-либо понятие об этих скоростях, вне выражения их такими конечными величинами и знаками.

Положим, прямая КР образуется при движении с постоянным ускорением какой-либо точки и за равные отрезки времени образуются неравные отрезки прямой KL, LM, MN, N0 и т. д.16 Положим также, что а, Ь, с, d, е и т. д. обозначают скорости точки, образующей прямую, в разные периоды частей или приращений, получаемых таким образом. Легко заметить, что каждое из этих приращений пропорционально сумме скоростей, которыми оно образуется; что, следовательно, полученные несколько сумм скоростей, образованных за равные отрезки време-ни, могут быть изображены соответственно отрезками KL, LM, МN ит. д., образованными за те же промежутки времени. В равной мере легко сказать, что последняя скорость, образованная за первую частицу времени, может быть выражена символом а, последняя за вторую — 6, последняя, образованная за третью,— сит. д.; что а — скорость LM в statu nascendi, а Ъ, с, d> е и т. д.— скорости приращений MN, NО, ОР и т. д. в соответствующих со- стояниях их зарождения. Можно пойти дальше и считать сами эти скорости текущими (flowing) или возрастающими величинами, взяв скорости скоростей и скорости скоростей скоростей, т. е. первые, вторые, третьи и т. д. скорости ad infinitum; этот последовательный ряд скоростей может быть выражен следующим образом:

а.Ъ — а.с—2b-\-a.d—Зс + ЗЬ — а и т.д. Можно назвать их первыми, вторыми, третьими, четвертыми флюксиями. А с целью более удобного выражения можно обозначить переменную текущую прямую KL, КМ, KN и т. д. буквой х, а первые флюксии ху вторые —

х, третьи — хит. д. ad infinitum.

37. Нет ничего легче, как указать названия, символы или выражения для этих флюксий, не трудно также высчитывать и производить действия с помощью таких знаков. Но гораздо более трудным оказывается опустить эти знаки и тем не менее сохранить в наших умах то, что, по нашему предположению, они означают. Рассматривать показатели, будь то геометрические, алгебраические или флюксионные, не трудно. Но, например, составить точное представление о скорости третьего порядка, самой по себе и при помощи ее самой,— Hoc opus, hie labor 17. Нелегко также составить ясное и четкое представление вообще о любой скорости вне связи со всякой протяженностью во времени и пространстве и в отрыве от нее, а также от всех обозначений, знаков и символов; если же мне позволят судить о других по себе, это просто невозможно. Мне представляется очевидным, что измерения и знаки абсолютно необ-ходимы для того, чтобы понять скорости и рассуждать о них, и что, следовательно, когда мы хотим представить себе скорости просто и сами по себе, нас вводят в заблуждение пустые абстракции.

38< Может быть, некоторые люди вообразят, что было бы легче понимать флюксии, если предположить, что они являются скоростями, с помощью которых образуются бесконечно малые приращения, так что первые флюксии будут скоростями первых приращений, вторые флюксии будут скоростями вторых приращений, третьи флюксии — скоростями третьих приращений и т. д. ad infinitum. Но, не говоря уже о непреодолимой трудности признания или понимания бесконечно малых величин и бесконечно малых взятых от бесконечно малых величин и т. д., ясно, что такое понятие о флюксиях не будет соответствовать точке зрения великого автора, который полагал, что нельзя пренебрегать ни наималейшей величиной, чго, в силу этого, теория бесконечно малых нриращений не может быть допущена в геометрии, и который совершенно очевидно ввел использование скоростей или флюксий с целью исключить бесконечно малые или же обойтись без них.

Возможно, некоторым другим покажется, что у пас будет более правильное представление о флюксиях, если мы допустим конечные неравные изохронные приращения KL, LM, MN и т. д. и будем считать и их, и их приращения — в statu nascendi, а также и зарождающиеся нрпращепня тех приращений и т. д., полагая, что первые зарождающиеся приращения пропорциональны первым флюксиям или скоростям, зарождающиеся приращения этих приращений пропорциональны вторым флюксиям, третьи зарождающиеся приращения пропорциональны третьим флюксиям и т. д. Л так как первые флюксии являются скоростями первых зарождающихся приращений, то вторые флюксии можно скорее считать скоростями вторых зарождающихся приращений, а не скоростями скоростей. Может показаться, что благодаря такому приему аналогия флюксий может быть лучше сохранена, а само понятие сделано более вразумительным.

И, действительно, должно бы казаться, что для получения второй или третьей флюксии уравнения данные флюксии рассматривались скорее не как скорости, а как приращения. Однако представляется, что рассмотрение их иногда в одном смысле, а иногда в другом, то в их собственном виде, то в виде их показателей, в значительной мере вызвало ту путаницу и неясность, которую мы обнаруживаем в теории флюксий. Поэтому может показаться, что это понятие еще можно как-то улучшить и что вместо флюксий флюксий или флюксий флюксий флюксий и вместо вторых, третьих, четвертых и т. д. флюксий данной величины было бы более последовательно п менее вызывало бы возражения, если говорить: флюксия первого зарождающегося приращения, т. е. вторая флюксия; флюксия второго зарождающегося приращения, т. е. третья флюксия; флюксия третьего зарождающегося приращения, т. е. четвертая флюксия, причем имеется в виду, что каждая из этих флюксий соответственно пропорциональна зарождающемуся началу приращения, следующего за тем, флюксией которого она является.

Для более четкого понимания всего этого можно принять во внимание, что если конечное приращение LM разделить на изохронные части Lm, тп, по, оМ, а приращение MN — на части Мр, pq, qr, rTV, изохронные предыдущим, то, так как приращения LM, MN пропорциональны суммам их образующих скоростей, соответствующие им части Lm, Alp также пропорциональны соответствующим увеличенным скоростям, которые их образуют. А так как скорость, с которой образуется Мр, превышает ту, с которой была образована Lm, то и часть Мр больше части Lm. И вообще, раз изохронные скорости, образующие отрезки MN, превышают изохронные скорости, образующие отрезки LM, то и отрезки первой больше соответствующих им отрезков второй. И это будет спра-ведливо, какими бы малыми ни были упомянутые отрезки. Следовательно, если LM и MN обе взяты в их зарождающемся состоянии, MN будет больше LM, притом па величину, пропорциональную превышению скорости b над скоростью а. Отсюда мы можем видеть, что в конечном итоге это последнее объяснение флюксий приводит к тому же, что и первое . 40. Но независимо от всего сказанного надо все же признать, что конечные части Lm или Мр, даже если их взять совсем малыми, пропорциональны не скоростям а и b, а каждая — ряду скоростей, меняющихся каждое мгновение, или, что одно и то же, всевозрастающей скорости, с помощью которой эта часть образуется в течение определенной мельчайшей частицы времени; что только зарождающиеся начала или исчезающие окончания конечных величин, которые образуются в мгновение или в течение бесконечно малых отрезков времени, пропорциональны данным скоростям; что, следовательно, для того чтобы представить себе первые флюксии, мы должны представить себе время, разделенное на мгновения, приращения, образованные в течение этих мгновений, и скорости, пропорциональные этим приращениям; для того чтобы представить себе вторые и третьи флюксии, мы должны допустить, что зарождающиеся начала или мгновенные приращения сами имеют также другие мгновенные приращения, пропорциональные соответствующим образующим их скоростям; что скорости этих вторых мгновенных приращений являются вторыми флюксиями, а скорости их зарождающихся мгновенных приращений — третьими флюксиями. И т. д. ad infinitum.

Вычтя приращение, образованное за первое мгновение, из приращения, образованного в течение второго мгновения, мы получим приращение приращения. А вычтя скорость, образующую отрезок прямой в первое мгновение, из скорости, образующей отрезок прямой во второе мгновение, получим флюксию флюксии. Подобным же образом, вычтя разность скоростей, образующих отрезок прямой в первые два мгновения, из превышения скорости в третье мгновение над скоростью во второе мгновение, получим третью флюксию. И, действуя аналогичным образом, мы можем перейти к четвертой, пятой, шестой и т. д. флюксиям. А если мы обозначим скорости первого, второго, третьего, четвертого мгновений а, 6, с, d> то ряд флюксий будет такой же, какой приводился выше: а.Ь — а с —

2b+a.d — 3c+3b—a, ad infinitum, т. е. х, х, х, х, ad infinitum.

Таким образом, флюксии можно рассматривать в разном свете и в различных видах, но, представляется, все они в равной мере трудны для понимания. И, действительно, раз невозможно представить себе скорость без пространства и времени, без конечного значения длины и продолжительности *, то понять даже первые флюксии, должно быть, выше человеческих возможностей. А если первые непостижимы, то что же мы должны сказать в отношении вторых, третьих и т. д. флюксий? Возможно, тот, кто в состоянии представить себе начало начала или конец конца несколько раньше первого или позже второго, будет достаточно проницателен, чтобы понять эти вещи. Но я полагаю, что большинство людей считает невозможным понять их в каком бы то ни было смысле. 41. Можно было бы подумать, что люди должны бы выражаться как можно более точно о таком тонком предмете. И тем не менее, как было замечено раньше, мы можем часто наблюдать, что показатели флюксий или символы, представляющие флюксии, ошибочно принимаются за сами флюксии. Разве не так обстоит дело в том случае, когда сразу же после того, как флюксии флюент объявлены скоростями их возрастания, а вторые флюксии — изменени- ями первых флюксий или скоростей, нам говорят, что

z, z, z, z, z, z представляет собой ряд величин, из которых каждая последующая величина является флюксией предыдущей, а каждая предыдущая является флюентой (fluent), в отношении которой следующая за ней является ее флюксией?

Можно легко себе представить различные ряды величин и выражений, геометрических и алгебраических, в виде линий, поверхностей, образов, которые можно продолжать без конца или предела. Но не так-то легко представить себе ряд либо просто скоростей, либо просто за-рождающихся приращений, взятых отдельно от них п им соответствующих. Может быть, некоторые могли бы прийти к той мысли, что автор имел п виду ряд ординат, в котором каждая ордината была флюксией предыдущей и флюентой [интегралом 1 (fluent) последующей, т. е. что флюксия одной ординаты была сама ординатой другой кривой и что флюксия этой последней ординаты была ординатой еще одной кривой и т. д. ad infinitum. По кто в состоянии представить себе, как флюксия (будь то скорость или зарождающееся приращение) ординаты может быть сама ординатой? Или, более того,— что каждая предыдущая величина или интеграл относится к своей последующей или флюксии как площадь криволинейной фигуры к своей ординате, в соответствии с чем автор замечает, что каждая предыдущая величина в таком ряду является площадью криволинейной фигуры, абсциссой которой является zy а ординатой — следующая за ней величина?

В целом представляется, что скорости отбрасываются, а вместо них вводятся площади и ординаты. Но как бы выгодны ни оказались такие аналогии или такие выражения для облегчения решений современных квадратур, мы тем не менее обнаружили, что они никак не просвещают нас в отношении исходной истинной природы флюксий и не дают нам возможности составить на их основе правиль-ные представления о флюксиях, взятых сами по себе. Общее конечное стремление автора во всем этом очень ясно, но принципы его туманны. Но, возможно, что эти теории великого автора не были рассмотрены и детально изучены его учениками, которые, как было замечено выше, кажется, стремятся скорее действовать, а не познавать, скорее применять его правила и его формулы, а не понять его принципы и глубоко проникнуть в суть его понятий. Тем не менее очевидно, что для того чтобы следовать ему в его квадратурах, они должны находить интегралы по флюксиям, а для того чтобы делать это, они должны уметь находить флюксии по интегралам; для того же чтобы найти флюксии, они должны сначала знать, что такое флюксии. В противном случае в их действиях нет ясности и научности. Таким образом, прямой метод предшествует обратному и в обоих предполагается знание принципов. Но что касается произведения действий в соответствии с правилами и с помощью общих формул, первоначальные принципы и основания которых не поняты, то это следует считать чисто техническим вопросом. Поэтому, какими бы туманными (abstruse) и метафизическими ни были принципы, их придется изучать всем, кто постигает теорию флюксий. Ни один геометр не имеет также права применять правила великого автора, не рассмотрев сначала его метафизические понятия, из которых эти правила выведены. Хотя знание метафизических понятий совершенно необходимо для науки, которую нельзя постичь без точного, ясного и четкого понимания основополагающих принципов, тем не менее многие беззаботно обходятся без этого, занимаясь только выражениями, рассматривая их и обращаясь с ними с величайшим искусством и распорядительностью, чтобы с их помощью получить другие выражения, применяя методы, которые, взятые сами по себе, являются по меньшей мере подозрительными и косвенными, как бы ни рекомендовали их индукция и авторитет — два мотива, которые признаются достаточными для возникновения разумной веры и морального убеждения, но ничего более высокого. 48. Может быть, вы надеетесь, что вам удастся отклонить ту убедительную критику, которая была здесь высказана, и защитить ложные принципы и непоследовательные рассуждения под тем общим предлогом, что эти возражения и замечания являются метафизическими. Но это фальшивый предлог. Я обращаюсь к уму каждого непредубежденного разумного читателя в подтверждение очевидного смысла и истинности того, что было изложено в вышеприведенных замечаниях. К нему же я обращаюсь в проблеме, не являются ли вопросы, по которым высказаны замечания, самой непостижимой метафизикой, и метафизикой не моей, а вашей собственной. Я не хотел бы, чтобы вы потяли таким образом, будто я подразумеваю, что ваши по- нятия ложны или неправильны, потому что они являются метафизическими. Ничто не может быть объявлено ни истинным, ни ложным на таком основании. Назвать какое- либо положение метафизическим или нет —- мало чему поможет. Вопрос состоит в том, является ли оно ясным или расплывчатым, правильным (right) или неправильным, хорошо или плохо обоснованным?

Хотя мгновенные приращения, зарождающиеся и исчезающие величины, флюксии и бесконечно малые ве-личины всех степеней являются в действительности такими призрачными (shadowy) существами, которые так трудно отчетливо вообразить или представить себе, что их (мягко выражаясь) нельзя признать в качестве принципов или объектов ясной и точной науки; и хотя одной этой неясности и непонятности вашей метафизики было бы достаточно, чтобы лишить силы ваши претензии на доказанность вашей теории,— тем не менее, если я ие ошибаюсь, было, кроме того, показано, что ваши выводы правильны в той же мере, в какой ясны ваши концепции, и что ваша логика так же предосудительна, как ваша метафизика. Поэтому в целом должно представляться, что ваши выводы не по-лучены путем правильных рассуждений на основе четких принципов; что, следовательно, занятия современных аналитиков, какими бы полезными они ни были для математических расчетов и построений, не приучают и не подготавливают ум к тому, чтобы ясно воспринимать и делать правильные выводы, и что, следовательно, в силу таких обстоятельств, вы не имеете права давать указания по вопросам, лежащим вне той сферы, к которой вы принадлежите и за пределами которой ваше суждение не должно цениться выше, чем суждение других людей.

Я давно уже подозревал, что эти современные методы анализа не научны, и намекнул на это читающей публике двадцать пять лет тому назад 18. После этого меня увлекли другие дела, и я считал, что найду себе более полезное занятие, чем выискивать и собирать свои мысли по такому сложному предмету. Правда, недавно меня попросили 10 подтвердить мои высказывания. Однако, поскольку, как мне показалось, лицо, обратившееся с этой просьбой, размышляет не достаточно зрело, чтобы понимать либо ту метафизику, которую оно опровергает, либо математику, которой оно покровительствует, мне не стоило бы причинять себе беспокойство и писать, чтобы его в чем-то убедить. Ие надо было бы мне и теперь, после столь ДОЛГОГО перерыва в изучении затронутых мною вопросов, утруждать себя или вас настоящим обращением, если бы я не имел целью помешать вам в той мере, в какой я только в состоянии, обманывать себя и других в вопросах, имеющих гораздо большее значение и важность. И с тем чтобы вы более ясно могли понять силу и направленность изложенных выше замечаний и развить их еще дальше в своих собствен-ных размышлениях, я ставлю в заключение следующие вопросы:

В [опрос] 1. Разве предметом геометрии не являются пропорции определяемых (assignable) протяжениостей? И разве есть необходимость в рассмотрении величин бесконечно больших или бесконечно малых?

В.2. Разве целью геометрии не является измерение определяемых конечных протяжений? И разве не зта практическая цель вначале натолкнула людей на изучение геометрии?

В.З. Разве ошибочное определение предмета и цели гео-метрии не создало уже ненужные трудности и неверные тенденции в названной науке?

В.4. Разве можно по справедливости сказать, что люди действуют в соответствии с научным методом, если они не представляют себе отчетливо ни предмета, о котором они говорят, ни предполагаемой цели, ни метода, с помощью которого она достигается?

В.5. Разве не достаточно того, что каждое определяемое число частей может содержаться в некой определяемой величине? И разве не является ненужным, а также абсурдным допущение, что конечная протяженность бесконечно делима?

В.6. Не будет ли верно, что чертежи в геометрическом доказательстве должны рассматриваться как знаки всех возможных конечных фигур, всех чувственных и воображаемых протяжениостей или величин того же рода?

В.7. Разве возможно освободить геометрию от непреодо-лимых трудностей и нелепостей до тех пор, пока ее истинным предметом считается либо абстрактная общая идея протяженности, либо абсолютная внешняя протяженность?

В.8. Разве понятия абсолютного времени, абсолютного места и абсолютного движения не суть наиболее отвлеченно метафизические? Можем ли мы их измерить, высчитать или познать? В.9. Разве математики не занимаются спорами и парадоксами, относящимися к тому, чего они не понимают и не могут понять? И разве теория сил не является достаточным доказательством этого?

В.10. Разве не было бы достаточно рассматривать в геометрии определяемые конечные величины, не касаясь бесконечности? И разве не было бы более правильным измерять вместо кривых большие по размерам многоугольники с конечными сторонами, а не предполагать, что кривые являются многоугольниками с бесконечно малыми сторонами (предположение и неправильное, и непостижимое)?

В.11. Разве многие положения, с которыми не легко согласиться, не являются тем не менее истинными? И разве положения, содержащиеся в двух нижеследующих вопросах, не относятся к их числу?

В. 12. Разве возможно, чтобы мы получили идею или понятие протяженности до движения? Или, если бы человек никогда не воспринимал движения, разве мог бы он когда-либо узнать или представить себе, что одна вещь отделена промежутком (to be distant) от другой?

В. 13. Разве у геометрической величины есть сосуществующие части? И разве всякая величина, так же как время и движение, не находится в постоянном течении?

В. 14. Можно ли предположить, что протяженность яв-ляется атрибутом существа неизменного и вечного?

В. 15. Разве отказ от изучения начал и раскрытия ме-тодов, используемых в математике, не свидетельствует о наличии фанатизма в математике?

В.16. Разве определенные положения, имеющие ныне хождение среди аналитиков, не противны здравому смыслу? И разве общепринятое предположение о том, что конечная величина, разделенная на нуль, бесконечна, не относится к их числу?

В. 17. Разве рассмотрение геометрических чертежей абсолютно или самих по себе (а не как представляющих все определяемые значения или фигуры того же рода) не является главным основанием для предположения о том, что конечная протяженность бесконечно делима, и главной причиной всех трудностей и нелепостей, отсюда вытекающих?

В. 18. Из того, что геометрические теоремы носят об-щий характер и вследствие этого линии на чертежах яв- ляются общими заменителями или представителями (representatives), следует ли, что мы не можем ограничивать или рассматривать [как ограниченное] число частей, на которые делятся такие конкретные линии?

В.19. Когда говорят или подразумевают, что такой-то определенный отрезок, обозначенный на бумаге, содержит больше, чем любое счетное число частей, разве в действительности следует здесь понимать нечто большее, чем знак, безразлично представляющий все конечные линии независимо от их величины? В каком относительном качестве он содержит, т. е. обозначает, больше, чем любое определяемое число частей? И разве не будет совершенно абсурдом предполагать, что конечная линия, рассмотренная сама по себе или в своей собственной положительной природе, может содержать бесконечное число частей?

В.20. Разве все аргументы в пользу бесконечной делимости конечной протяженности не предполагают пли не подразумевают, что предметом геометрии являются либо общие абстрактные идеи, либо абсолютная внешняя про-тяженность? И, следовательно, разве такие аргументы также ие теряют силу и не исчезают вместе с упомянутыми предположен ня ми?

В.21. Разве предполагаемая бесконечная делимость конечной протяженности не является ловушкой для математиков и занозой у них в боку? И разве величина бесконечно уменьшенная (diminished) и величина бесконечно малая — ие одно и то же?

В.22. Разве необходимо иметь дело со скоростями зарождающихся или исчезающих величин, или моментами, или бесконечно малыми величинами? И разве введение таких непостижимых категорий ие является упреком математикам?

В.23. Разве внутренне противоречивые положения (in-consistencies) могут быть истинами? Разве можно в каком- либо предмете и какой-либо науке допускать положения противоречивые (repugnant) и абсурдные? И разве применение бесконечно малых величин следует признавать за достаточно благовидный предлог и основание для допущения таких положений в геометрии?

В.24. Разве мы ие можем сказать, что мы действительно знаем какую-либо величину, когда нам известно ее пропорциональное отношение к данным величинам? И разве можно узнать это отношение при помощи каких-либо иных средств, кроме выражений или показателей, геомет- рпческих, алгебраических ІІЛИ арифметических? И разве выражения в линиях или образах (species) могут быть полезны иначе как лишь в той мере, в какой они сводятся к числам?

В.25. Разве нахождение истинных выражений или обо-значений количеств не является самой общей чертой и стремлением математиков, а арифметическое действие — тем, что ограничивает и определяет их применение?

В.2(). Разве математики в достаточной мере рассматривали аналогию и применение знаков? И насколько им соответствует конкретный ограниченный характер вещей?

В.27. Разве в силу тої о что при изложении общего чисто алгебраическою примера мы можем в зависимости только от нашего собственного- желания приписать какой-либо букве, что она б\ДОт обозначать положительную пли отрицательную величину, мы можем затем в геометрическом примере, ограниченном гипотезами и рассуждениями, основанными на конкретных свойствах и отношениях фигур, претендовать на такую же вольность?

В.28. Разве изменение предположения или, как мы можем назвать это, fallacia suppositions 20, не является софистикой, которой в значительной мере заражены обоснования современных теорий как в механической философии, так и в запутанной и сложной геометрии?

В.29. Разве мы в состоянии получить идею или понятие скорости отдельно (distinct) от се измерений и отдельно от них, как мы можем получить понятие о теплоте отдельно от градусов на термометре, которыми она измеряется, и обособленно от них? И разве не это допускается в рассуждениях современных аналитиков?

В.30. Разве можно постичь движение в точке пространства? И если нельзя постичь движение, разве можно постичь скорость? II если нет, разве можно постичь первую пли последнюю скорость в простом пределе, первоначальном или конечном, дескриптивного пространства?

В.31. Разве там, где нет приращений, может быть какое-либо соотношение приращений? Разве можно считать пули пропорциональными реальным величинам? Или: говорить об их пропорциях — разве не значит нести че-пуху? Л также в каком смысле должны мы понимать от-ношение поверхности к линии, площади к ординате? И разве можно говорить, что образы или числа, действительно выражающие величины, не являющиеся однородными, тем ие менее выражают свое отношение друг к другу?

В.32. Если возможна квадратура всех определяемых окружностей, разве круг в сущности не так же сводится к квадрату, как парабола? Или разве в действительности площадь, ограниченная параболой, может быть измерена более точно, чем круг?

В.33. Разве не было бы более правильным применять [в вычислениях] разумное приближение, чем пытаться до-биться точности при помощи софистики?

В.34. Разве не более приличествовало бы действовать путем пров и индукций, чем притворяться, будто имеется доказательство, хотя оно основано на ложных принци-пах?

В.35. Разве нет способа дойти до истины, хотя принципы не научны, а ход рассуждений не верен? И разве такой способ следует называть наукой, а не уловкой (knack)?

В.36. Разве может быть наука о выводах, если нет науки о принципах? И разве может человек иметь научные принципы, не понимая их? И, следовательно, разве математики нашего времени поступают как люди науки, прилагая намного больше усилий для применения своих принципов, чем для их понимания?

В.37. Разве величайший гений, сражающийся с ложными принципами, не может быть поставлен в тупик? И разве можно получить точные квадратуры без новых postulata или допущений? И если нет, разве не следует те допущения, которые являются разумными и последовательными, предпочесть противоположным? См. § 28 и 29.

В.38. Разве утомительные расчеты в алгебре и флюксии являются наиболее подходящим способом для совершен-ствования ума? И разве тот факт, что люди привыкли рассуждать целиком и полностью о математических знаках и фигурах, не ставит их в тупик относительно того, как рассуждать без этих знаков и фигур?

В.39. Какую бы сноровку ни приобрели аналитики в постановке задач или нахождении соответствующих выражений для математических величин, разве она необходимо влечет за собой соответствующую ей способность постигать другие вопросы и выражать их суть дела?

В.40. Разве не является общим положением или правилом, что один и тот же коэффициент, делящий равные произведения, дает равные частные? И тем не менее разве может быть такой коэффициент выражен через 0, т. е. нулем? Или разве может кто-нибудь сказать, что если уравнение 2x0=5x0 разделить на 0, то частные в обеих частях будут равны? В силу этого разве не может дело об-стоять так, что какое-либо правило будет справедливо в отношении всех величин и тем не менее не будет распространяться на нуль или включать нуль? И разве подведение нуля под понятие «величина» не привело людей к ложным рассуждениям?

В.41. Разве в самых общих рассуждениях о равенствах и пропорциях нельзя доказывать так же точно, как в геометрии? Разве в таких доказательствах люди не обязаны придерживаться того же строгого хода рассуждения, как в геометрии? И разве такие их рассуждения не выводятся из тех же самых аксиом, которые приняты в геометрии? В силу этого разве алгебра не является такой же истинной наукой, как и геометрия?

В.42. Разве люди не могут рассуждать при помощи образов (species) так же, как при помощи слов? Разве в обоих случаях не действуют те же самые правила логики? И разве у нас нет права ожидать и требовать одинакового доказательства в обоих случаях?

В.43. Разве алгебраист, флюксионист, геометр или вообще всякий человек, который что-то доказывает, может ожидать снисхождения за неясные принципы или неправильные рассуждения? И разве алгебраическое обозначение или образ может в конце действий толковаться в таком смысле, какой не мог быть ему придан вначале? Или разве может любое конкретное предположение подойти под общее правило, которое несовместимо с его обоснованием?

В.44. Разве различие между простым вычислителем и человеком науки не состоит в том, что один вычисляет на основе ясно понятых принципов и при помощи четко доказанных правил, а другой нет?

В.45. Хотя геометрия является наукой, алгебра признается за науку, а аналитический метод считается самым превосходным из всех, тем не менее разве в применении анализа к геометрии не могли бы оказаться допущенными ложные принципы и неправильные методы рассуждения?

В.46. Хотя алгебраические рассуждения всегда признаются справедливыми, когда они ограничиваются знаками или образами как общими представителями вели- чин, тем не менее разве вы не можете впасть в ошибку, если, ограничивая их применение тем, что они обозначь т конкретные вещи, вы не ставите себе ограничений в том смысле, чтобы размышлять в соответствии с характером таких конкретных вещей? II разве такую ошибку следует отнести только за счет одной алгебры?

В.47. Разве не представляется так, что цель современных математиков состоит скорее в том, чтобы при помощи уловки (artifice) получить выражение, а не в том, чтобы при помощи доказательства возвыситься до науки?

В.48. Разве не может быть здравой (sound) метафизики, так же как и ложной? Правильной (sound), так же как и неправильной, логики? И разве не может современный анализ быть подведеп под одно из этих определений, а если так, то под которое из них?

В.49. Разве в действительности ие существует philo- sophia prima, определенная трансцендентальная паука, стоящая выше математики и охватывающая более широкие вопросы, которую нашим современным аналитикам, может быть, следовало бы изучать, а ие презирать?

В.50. Разве со времени открытия математических паук среди математиков не происходили вечные споры и дис-куссии? И разве это ие снижало очевидности их мето-дов?

В.51. Разве может что-нибудь иное, кроме метафизики и логики, раскрыть глаза математикам и освободить их от тех трудностей, которые ими испытываются?

В.52. Разве можно, с учетом общепринятых принципов, какую-либо величину свести к нулю путем какого-либо деления или разделения, даже если провести его насколько можно дальше?

В.53. Если целью геометрии является практика, эта практика есть измерение, а мы измеряем только поддающиеся определению протяженности, то разве отсюда не следует, что неограниченные приближения полностью отвечают цели (intention) геометрии?

В.54. Разве те же самые дела, которые ныне совершаются с помощью бесконечно малых величин, не могут быть совершены с помощью величин конечных? И разве не было бы это огромным облегчением для воображения и разума математиков?

В.55. Разве могут все эти любящие математику физики, анатомы и другие, имеющие дело с животной стороной жизни, которые со слепой верой признают теорию флюксий, без стыда оскорблять других людей за то, что не верят тому, чего не понимают?

В.56. Разве корпускулярная, экспериментальная и математическая философия, столь культивируемая за последнее столетие, не поглощает слишком много внимания, определенную часть которого можно было бы с пользой применить для других целей?

В.57. Разве из-за этой и других действующих в том же направлении причин умы думающих людей не находятся в подавленном состоянии, что унижает и притупляет более высокие способности? И разве не этим мы можем объяснить ту узость и тот фанатизм, которые преобладают среди многих людей, считающихся учеными, их неспособность к вещам моральным, интеллектуальным и теологическим, их склонность измерять все истины при помощи чувства и опыта животной жизни?

В.58. Разве то, что одни и те же люди восхищаются великим автором за его флюксии п высмеивают его за религиозность, действительно является следствием раз-мышления?

В.59. Если некие философы-virluosi нашего века не религиозны, разве можно сказать, что из-за недостаточности веры?

В.60. Разве не было бы более справедливым и обоснованным рекомендовать религиозные положення на основе их последствий, чем доказывать математические принципы на основе сделанных из них выводов?

В.61. Разве ие было бы менее предосудительным признавать положения, стоящие выше разума, чем положения, ему противоречащие?

В.62. Разве непостижимые тайны не могут с большим правом допускаться в божественной вере, чем в человеческой науке?

В.63. Разве те математики, которые резко выступают против непостижимых тайн, когда-либо критически ис-следовали свои собственные принципы?

В.64. Разве математики, столь чувствительные в вопросах религии, строго скрупулезны в своей собственной науке? Разве они не подчиняются авторитету, не принимают вещи на вору и не верят непостижимому? Разве у них нет своих собственных непостижимых тайн и, более того, своих непоследовательностей (repugnancies) и противоречий (contradictions)? В.65. Разве не подобало бы людям, которые оказались озадаченными и поставленными в тупик в отношения своих собственных принципов, судить о других вопросах осторожно, беспристрастно и скромно?

В.66. Разве современный анализ не является сильным argumentum ad hominem 21 против любящих математику неверующих нашего времени?

В.67. Разве из вышеприведенных замечаний следует, что точное и правильное рассуждение является харак-терной особенностью нашего столетия? И разве наблю-даемый ныне рост безверия можно отнести за счет столь действительно ценного отличия?