10.1. Критические кучи песка П. Бака и Ч. Танга
Его и прежде в хаос обращала; Тогда и этот рушился утес, И не одна кой-где скала упала.
Данте
В 1988 г.
в журнале Американского физического общества Physical Review появилась статья Пера Бака, Чао Танга и Курта Ви- зенфельда «Самоорганизованная критичность», оказавшая огромное влияние на понимание механизмов самоорганизации пространственно протяженных диссипативных динамических систем. Бак и его сотруд-ники показали, что подобные системы различной физической природы эволюционируют в критические состояния, не имеющие постоянных характерных пространственных масштабов, например, длины когерентности или характерных времён, например, времени релаксации. Поведение во время таких самоорганизующихся критических состояний описывается степенным законом типа фликкер-шума, а их пространственная структура является масштабно-инвариантной (фрактальной).Авторы проиллюстрировали свою идею численным моделированием процесса осыпания песчинок в куче песка. Если крутизна склона в какой-то точке на поверхности кучи становится слишком большой, находящаяся там песчинка осыпается, увлекая за собой другие песчинки. Наконец, когда все песчинки достигнут некоторого минимального устойчивого состояния, лавина прекратится. Добавление одной- единственной песчинки может спровоцировать новую лавину. Такие
119
едва устойчивые состояния называются критическими состояниями системы.
Осыпающиеся и останавливающиеся лавины образуют в пространстве области со структурой типа фрактальных кластеров. Их размеры распределены по системному закону:
D(S) ~ S-т, (10.1)
где т ~ 1,0 для двумерного массива 50x50 точек и т ~ 1,37 для трехмерного массива 20x20x20 точек.
Время жизни таких лавин удовлетворяет степенному закону
D(T) ~ T-а, (10.2)
где а ~ 0,43 в двухмерном случае и а ~ 0,92 в трехмерном случае.
Соответствующие показатели степени в спектре мощности (см. п. 5.2) 2 - а равны 1,57 и 1,08.На рис. 10.1, 10.2 показаны результаты такого моделирования для двумерных и трехмерных массивов точек.
а s
я
и
Рис. 10.1. Типичная структура фрактальных кластеров образующихся при малых локальных возмущениях системы для массивов 100x100 точек. (Из статьи Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality // Physical Review A - 1988. - V.38. - No 1.- P.364 - 374)
-Г I Ґ . 1
? И W (Й В ІЙ 1
Рис 10.2. Распределение размеров кластеров для двухмерного (а) и трехмерного (б) массивов точек.
Наклон пунктирной линии соответственно равен 1,0 и 1,37. (Из статьи, указанной в подрисуночной подписи к рис. 10.1)Самоорганизованная критичность стала «типовой» моделью для множества масштабно-инвариантных явлений: магнитных и сегнето- электрических доменов, гидродинамических турбулентных потоков, землетрясений, экологических и социальных процессов.