4.3 Операции над отношениями

На отношения переносятся основные операции над множествами, но они могут выполняться только на одной и той же области задания.

Объединением отношений φ1 и φ2 на множестве М называется отношение φ3:

φ1φ2 = φ3, φ1 = , φ2 = .

φ3 = ,

Ф1Ф2Ф1Ф2 & a, bM.

Например, пусть имеем два отношения: φ1 = , φ2 = , M = {2, 3, 4}, Ф1 = {, , }, Ф2 = {, , }

Тогда объединение этих отношений φ3 = , Ф3 = Ф1Ф2 = {, , , , }.

Отметим, что для операции объединения над отношениями справедлива следующая запись:

x(φ1φ2)yx φ1 yx φ2y

Пересечением отношений φ1 и φ2 на множестве М называется отношение φ3:

φ1φ2 = φ3, φ1 = , φ2 = .

φ3 = ,

Ф1Ф2Ф1&Ф2 & a, bM.

Например, пусть имеем два отношения: φ1 = , φ2 = , M = {1, 2}, φ1= , φ2 =

Тогда пересечение этих отношений φ3 = = .

Отметим, что для операции пересечения над отношениями справедлива следующая запись:

x(φ1φ2)yx φ1 y&x φ2y

Операции объединения и пересечения также, как и для множеств применимы для любого числа отношений.

Отношение φ3 называется разностью отношений φ1 и φ2, если

φ1 = , φ2 = .

φ3 = φ1\ φ2 = ,

Ф1\Ф2Ф1&Ф2 & a, bM.

Например, пусть имеем два отношения: φ1 = , φ2 = , M = {1, 2, 3}, Ф1= {, , }, Ф2 = {,, }

Тогда разность этих отношений φ3 = = .

Отметим, что для операции разности над отношениями справедлива следующая запись:

x(φ1\φ2)yx φ1 y&x φ2’ y

Над отношениями выполняются также операции инверсии и композиции.

Если φ = , то инверсияφ-1 = < Ф-1, М >.

Для того, чтобы найти инверсию отношения, необходимо проинвертировать элементы его графика на множестве М. Отметим, что для операции инверсии над отношениями справедлива следующая запись

х φ-1у уφ х.

Например, для отношения φ=, М={1,2,3}, Ф={, ,}, инверсия φ-1= < Φ-1,М> и Φ-1= {,, ).

Композицией двух отношении является новое отношение, у которого компонируют графики отношений.

φ1 = , φ2 = .

φ1φ2 =

Например, пусть имеем два отношения: φ1 = , φ2 = , M = {1, 2, 3}, Ф1= {, , ,}, Ф2 = {,, ,}

Тогда композиция графиков этих отношений равна Ф3 = Ф1Ф2 = {, ,, , }.

Отметим, что все операции над отношениями могут выполняться только на одной и той же области задания, и в результате выполнения операций снова получается отношение с той же самой областью задания

Введем операцию, меняющую область задания отношений.

Пусть φ =, иАМ, тогда сужением отношения φ на множестве А называется новое отношение

φ1 =

Например, φ =, М={ 1,2,3}, Ф = {,, }, A = {1,2}. Тогда φ1 = .