Контрольные вопросы

1. Дайте определение коллинеарности и компланарности двух векторов.

2. Операции над векторами, заданными в координатной форме. Найдите координаты суммы векторов: (1, 2, -3), (0, -2, 5), (4, 0, -2)

3.

4. Основные свойства скалярного произведения. Распространяется ли скалярное произведение на три и больше число векторов?

5. Запишите скалярное произведение в координатной форме.

6. Найдите углы, образуемые вектором (4, 0, -3) с осями координат, т.е. с векторами (1, ,0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).

7. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.

8. Дайте определение векторного произведения. Основные свойства. Векторное произведение в координатной форме.

9*. Доказать, что [-, +] =2 [, ] и выяснить геометрический смысл этого тождества.

10*. Вектор [, [,]] называется двойным вектором произведением заданных векторов. Доказать, что справедливо равенство [, [,]] = (,) - (, ).

11.* Доказать основное алгебраическое свойство смешанного произведения: циклическая перестановка векторов не меняет его величины, т.е.

[, ] = [,] = [,]

[, ] =,,. Что означает эта запись?

12.

13. Прямая l задана точкой M0 (x0, y0) и нормальным вектором (A, B).

1. написать уравнение прямой, привести его к общему виду.

2. привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.

14. Прямая l задана точкой M0 (x0, y0) и направляющим вектором (m, n). Написать уравнение прямой, привести к общему виду..

15. Прямая l задана двумя своими точками M1 (x1, y1) и M2 (x2, y2). Написать уравнение прямой.

16. Заданы прямая l и точка M. Требуется:

1. вычислить расстояние от точки M до прямой.

2. написать уравнение прямой l1, проходящей через точку М перпендикулярно прямой l.

3. написать уравнение прямой l1, проходящей через точку М параллельно заданной прямой l.

17. Виды задания прямой в пространстве.

18. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через точки M0(x0, y0, z0) и M1(x1, y1, z1) параллельно вектору (x, y, z).

19. Прямая l задана общим уравнениями

Написать каноническое уравнение этой прямой.

20. Заданы плоскость Р и точка М0. Написать уравнение плоскости Р1, проходящей через точку М0, параллельно плоскости Р. (P: Ax + By + Cz + D= 0; M0 (x0, y0, z0)).

21. Доказать что прямые

l1: и l2: (x + 7)/3 = (y - 5)/-1 = (z - 9)/4

параллельны.

22. Написать уравнение гиперболы с полуосями a и b и центром в точке С(x0, y0), если известно, что ее действительная и мнимая оси параллельны осям Ox и Oy соответственно.

23. Из фокуса параболы y?=12x под острым углом a к оси OX направлен луч света, причем tg a = 3/4. Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.

24. Вывести уравнение прямой в полярной системе координат, если:

a) прямая проходит через полюс;

б) прямая не проходить через полюс.

25. Показать, что параметрические уравнения x = a cos t y = a sin t t Î [0.2p], определяют окружность x? + a? = a?.

26. Основные типы поверхности второго порядка.

27. Приведение поверхностей второго порядка к каноническому виду.