ТЕМА 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимые переменные, искомую функцию (или дифференциал) и ее производные. Обыкновенное дифференциальное уравнение имеет следующий вид:

(1)

Здесь независимая переменная, искомая функция и ее производные вплоть до производной порядка .

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в уравнение (число в формуле (1)). Так, уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения называется решение, содержащее столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид:

, (2)

где произвольные постоянные, или постоянные интегрирования.

Если решение уравнения (1) получено в неявном виде

, (3)

то такое решение называется общим интегралом уравнения (1).

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего выбором конкретных значений произвольных постоянных.

Задачей Коши для дифференциального уравнения (1) называется задача отыскания решения этого уравнения, удовлетворяющего следующим начальным условиям:

(4)

Число начальных условий равно порядку уравнения, что позволяет определить все произвольные постоянные в общем решении (2).

График каждого частного решения в плоскости представляет линию, называемую интегральной кривой, а совокупность всех интегральных кривых образует семейство интегральных кривых.

Рассмотрим уравнение (1) в виде, разрешенном относительно старшей производной:

. (5)

Теорема. Если в некоторой окрестности точки функция определена и имеет непрерывные частные производные по переменным , то в этой окрестности задача Коши имеет единственное решение.

Особым решением дифференциального уравнения называется решение, в каждой точке которого нарушаются условия теоремы существования и единственности. Оно не может быть получено из общего подбором значений произвольных постоянных.

Линейным называется дифференциальное уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производных:

где , некоторые функции, непрерывные в некоторой области .

При уравнение называется однородным, в остальных случаях неоднородным.

При постоянстве коэффициентов уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами.

Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнение с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

Для его решения следует сначала разделить переменные, то есть разнести их в разные стороны уравнения:

( ),

а затем проинтегрировать обе части уравнения:

Следует иметь в виду, что полученные неопределенные интегралы могут различаться на произвольную постоянную .

Пример1. Решить задачу Коши: ,.

Решение. Поделим обе части уравнения на

Тогда и .

Вычисляя интегралы, находим: .

Отсюда общее решение.

Подставим в это решение начальное условие: ; Следовательно, и искомое частное решение, то есть решение задачи Коши. Однородное уравнение первого порядка

Однородным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

. (6)

Для его решения введем новую переменную . Тогда и . Подставляя эти соотношения в (6), получаем: или . Это уравнение с разделяющимися переменными, и оно легко интегрируется. Найдя , получаем искомое решение .

Пример2. Решить уравнение: .

Решение. Полагая и , получим:

, или .

Интегрируя обе части последнего уравнения, получим:

Произвольная постоянная здесь взята в виде для удобства. Тогда и окончательно общее решение принимает вид:

Пример3. Решить уравнение: .

Решение. Пусть . Тогда разделим обе части уравнения на :

После замены переменной это уравнение приводится к виду:

, или .

Вычислим интеграл в левой части последнего уравнения:

Тогда , и общее решение уравнения записывается в следующем виде:

Линейное уравнение первого порядка

Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка можно с помощью введения двух новых искомых функций и , положив , и дополнительного условия на одну из них, выбираемую произвольно. Рассмотрим применение этого метода на следующем примере.

Пример4. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Будем искать решение в виде: ;

Тогда ; Подставляя выражения для искомой функции и ее производной в рассматриваемое дифференциальное уравнение, получим:

, или

. (7)

Поскольку одну из функций и мы вправе выбрать произвольно, выберем ее так, чтобы выполнялось условие: Тогда уравнение (7) запишется в виде: . Это уравнение легко интегрируется: ; .

Произвольную постоянную здесь можно положить равной нулю, так как мы выбираем частное решение. Тогда .

После подстановки в исходное уравнение получим (при ):

; ; .

Таким образом, искомое общее решение.

Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение следующего вида:

. (8)

Здесь и , так как в этих случаях уравнение (8) превращается в линейное уравнение.

Уравнение Бернулли, как и линейное уравнение, решается с помощью представления этой функции в виде .

Пример5. Решить уравнение:

. (9)

Решение. Это уравнение Бернулли и . Положим . Тогда уравнение (9) запишется в виде:

. (10)

Будем искать функцию как решение уравнения:

Тогда и . Вычисляя интегралы, получим:

Подставляя полученное выражение в (10), получим:

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

Выполняя интегрирование, приходим к выражению:

, или .

Окончательно получаем: .

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:

. (11)

Если уравнение (11) может быть разрешено относительно второй производной, то оно записывается в следующей форме:

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка состоит в нахождении частного решения, удовлетворяющего начальным условиям:

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения этого типа представляются в виде:

, (12)

где - постоянные числа.

Будем искать решение уравнения (12) в виде , где постоянное число. После подстановки этого выражения в (12) получим:

Поскольку , должно выполняться квадратное уравнение:

. (13)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения (12). В зависимости от величины его дискриминанта возможны три случая:

а) .

Можно показать, что общим решением в этом случае является комбинация двух линейно-независимых решений, отвечающих двум различным корням характеристического уравнения:

. (14)

б) .

В этом случае общим решением будет:

. (15)

в) . В этом случае характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня: и

Общее решение записывается в следующем виде:

. (16)

В формулах (14)–(16) и произвольные постоянные.

Пример6. Решить дифференциальное уравнение: ;

Решение. Характеристическое уравнение принимает вид: ; Дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня: . Тогда, согласно (14), общее решение дифференциального уравнения записывается в виде:

Пример7. Решить дифференциальное уравнение: ;

Решение. Характеристическое уравнение имеет один кратный корень ; В соответствии с (15) общее решение дифференциального уравнения записывается в виде:

Пример8. Решить дифференциальное уравнение:

Решение. Дискриминант характеристического уравнения отрицателен, характеристическое уравнение имеет комплексные корни: В этом случае формула (16) дает следующее общее решение дифференциального уравнения:

. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Этот тип уравнений характеризуется наличием правой части, то есть имеет вид:

. (17)

Можно доказать, что общее решение уравнения (17) представляется в виде:

, (18)

где общее решение уравнения (17), а частное решение уравнения (17). Иными словами, общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения линейного однородного решения и одного из частных решений линейного неоднородного уравнения.

Отметим еще одно важное свойство решений линейных дифференциальных уравнений – принцип суперпозиции решений. Пусть правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляется в виде суммы двух (или более) функций:

. (19)

Тогда решение этого уравнения может быть представлено в виде , где и решения дифференциальных уравнений: и соответственно. Это означает, что, разбив правую часть линейного неоднородного дифференциального уравнения на сумму двух слагаемых, можно свести его решение к решению двух более простых дифференциальных уравнений.

Заметим, что при формулировке принципа суперпозиции решений не требуется постоянство коэффициентов. Кроме того, этот принцип справедлив и для дифференциальных уравнений более высокого порядка. Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (17), в котором правая часть имеет следующий вид: , где , постоянные числа, , многочлены порядка и .

Такие уравнения называют уравнениями со специальной правой частью, и для нахождения их частного решения можно применить метод Эйлера. Согласно этому методу, частное решение ищется в следующем виде:

. (20)

В правой части равенства (20) , а и многочлены степени с неопределенными коэффициентами (их число равно ). Степень множителя определяется по следующему правилу.

Если контрольное число (комплексное при не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения (18), то . Если контрольное число совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то . Наконец, если контрольное число совпадает с корнем характеристического уравнения и этот корень кратный, то . Очевидно, что последний случай возможен только при , так как кратный корень может быть только вещественным.

Для определения неопределенных коэффициентов в многочленах и следует подставить выражение (20) в уравнение (17), предварительно найдя его производные и . Неопределенные коэффициенты находятся из системы линейных алгебраических уравнений, к которым сведется уравнение (17) после подстановки в него выражения (20).

Пример9. Решить дифференциальное уравнение: .

Решение. Характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения имеет вид: . Его корни . Общее решение однородного уравнения записывается в форме: , где и произвольные постоянные.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде (20). По условиям примера Контрольное число равно единице и не совпадает с корнями характеристического уравнения. Поэтому Таким образом, формула (20) дает: . Найдем производные .

Подставим эти выражения в дифференциальное уравнение:

Сокращая обе части уравнения на и приводя подобные, получаем:

Последнее равенство должно выполняться для произвольных значений , что возможно лишь при выполнении следующих условий:

Решая систему уравнений, находим:

Следовательно, и общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения принимает вид:

Пример10. Найти общее решение дифференциального уравнения: .

Решение. Характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения имеет два комплексных корня: Общее решение однородного уравнения записывается в виде: , где и произвольные постоянные.

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Заметим, что правая часть уравнения – сумма двух слагаемых, каждое из которых может быть представлено в виде (25). Поэтому, в соответствии с принципом суперпозиции решений, частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

Найдем производные функции :

Подстановка этих выражений в исходное уравнение дает:

Выполнение этого уравнения при произвольных значениях возможно только в том случае, когда коэффициенты при функциях в левой и правой частях уравнения будут одинаковы. Это условие приводит к системе уравнений:

Ее решение: ; ; ; ; .

В окончательном виде получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Рассмотрим еще один метод нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Этот метод применим для уже рассмотренных уравнений с правой частью специального вида, а также для уравнений с правой частью более общего вида. Этот метод называют методом вариации произвольных постоянных, или методом Лагранжа.

Рассмотрим этот метод применительно к уравнению (17), хотя он позволяет находить решение и более общего уравнения с переменными коэффициентами. Согласно этому методу сначала находят два линейно- независимых решения и однородного дифференциального уравнения. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде их линейной комбинации, в которой произвольные постоянные и заменяются на неизвестные функции и :

. (21)

Подстановка этого выражения в неоднородное дифференциальное уравнение (17) приводит к следующему уравнению:

. (22)

Перегруппируем слагаемые в (22):

(23)

Рассмотрим подробнее уравнение (23). Так как функции и являются решениями однородного дифференциального уравнения (12), выражения в третьей и четвертой скобках в (23) тождественно равны нулю. Наложим на пока неопределенные функции и следующее условие:

(24)

Тогда выражение в пятой скобке в (23) также окажется равным нулю. Продифференцируем обе части равенства (23):

Это соотношение показывает, что и выражение в первой скобке в (23) тождественно равно нулю.

Таким образом, при условии (24) уравнение (23) сводится к следующему: Иными словами, уравнение (23) равносильно системе уравнений:

(25)

Поскольку определитель этой системы является вронскианом двух линейно независимых решений и , и отличен от нуля, система всегда имеет единственное решение.

Решив систему уравнения (25), остается лишь найти и , то есть проинтегрировать полученные из (25) функции и ) и, подставить их в выражение для .

Пример11. Найти решение дифференциального уравнения: .

Решение. В этом уравнении правая часть не подпадает под вид, допускающий применение метода неопределенных коэффициентов.

Поэтому для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Но сначала для нахождения фундаментальной системы решений рассмотрим однородное дифференциальное уравнение: .