Степенной ряд.
Опр. Степенным наз. функциональный ряд вида
= a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + . . . ( 5 )
где х0 и коэффициенты ряда аn Î R .
При х0 = 0 получаем ряд по степеням х
= a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + . . . ( 6 )
Теорема Абеля Если степенной ряд ( 6 ) сходится при х = х1, то он абсолютно сходится при всех значениях х меньших х1 по модулю ( |x| < |x1| ). Если ряд ( 6 ) расходится при х = х2 , то он расходится при всех значениях х больших х2 по модулю ( |x| > |x2| ).
Док-во. Пусть при х = х1 ряд ( 6 ) сходится, т.е. 
и все его члены ограничены anxn < M. Преобразуем ( 6 ) к виду 
( 7 )
Введем в ряд ( 7 ) модули 
( 8 )
и сравним его с рядом 
( 9 )
Большими оказываются члены ряда ( 9 ) : |an x1n| (|x/x1|)n < M (|x/x1|)n , который является геометрической прогрессией. При |x| < |x1| ряд ( 9 ) сходится, следовательно, сходится и ряд с меньшими членами ( 8 ) и абсолютно сходятся ряды ( 7 ) и ( 6 ).
Пусть при х = х2 ряд ( 6 ) расходится. Предположим, что существует х большее х2 по модулю (|x| > |x2|), при котором ряд ( 6 ) сходится. Но тогда он должен сходится и при x2. Это противоречие исключает предположение о сходимости ряда при |x| > |x2| .