Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

Интеграл вида где n- натуральное число.

С помощью подстановки функция рационализируется.

Тогда

Пример.

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Проиллюстрируем это на примере.

Пример.

Интегрирование биноминальных дифференциалов.

Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение

xm(a + bxn)pdx

где m, n, и p – рациональные числа.

Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1) Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки

, где l - общий знаменатель m и n.

2) Если - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой

, где s – знаменатель числа р.

3) Если - целое число, то используется подстановка , где s – знаменатель числа р.

Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.

На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.

Интегралы вида .

Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:

Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:

1)

2)

3)

1 способ. Тригонометрическая подстановка.

Теорема: Интеграл вида подстановкой или

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Пример:

Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

Пример:

Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Пример:

2 способ. Подстановки Эйлера. (1707-1783)

1) Если а>0, то интеграл вида рационализируется подстановкой

.

2) Если a0, то интеграл вида рационализируется подстановкой .

3) Если aодинаковые) n точками.

x0 < x1 < x2 < … < xn

Тогда x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, … ,xn – xn-1 = Dxn;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[x0, x1] ® m1, M1; [x1, x2] ® m2, M2; … [xn-1, xn] ® mn, Mn.

Составим суммы:

n = m1Dx1 + m2Dx2 + … +mnDxn =

n = M1Dx1 + M2Dx2 + … + MnDxn =

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой.

Т.к. mi £ Mi, то n £ n, а m(b – a) £ n £ n £ M(b – a)

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.

x0 < e1 < x1, x1 < e < x2, … , xn-1 < e < xn.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

Sn = f(e1)Dx1 + f(e2)Dx2 + … + f(en)Dxn =

Тогда можно записать: miDxi £ f(ei)Dxi £ MiDxi

Следовательно,

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

Обозначим maxDxi – наибольший отрезок разбиения, а minDxi – наименьший. Если maxDxi® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

Если , то

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек ei интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Обозначение :

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Также верны утверждения:

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.