Характеристическая функция
В рамках схемы Бернулли, мы можем рассмотреть вероятность "хотя бы одного успеха" при n испытаниях.
Эта вероятность есть сумма:
С учетом противоположного события – "ни одного успеха не произошло", получаем сумму вероятностей достоверного события:
(*)
Введем функцию
, 
Эта функция называется характеристической функцией для схемы Бернулли.
Характеристическая функция обладает свойствами:
1. 
(это свойство следует из представления 
, 
).
2. 
- в силу (*).
Обозначим 
(то есть при 
:
Получим
(**)
Функцию 
назовем производящей функцией.
В частности, при 
получаем вероятность того, что успех не произойдет ни разу, при 
из (**) получаем вероятность достоверного события, равную 1.
Обратим внимание, что коэффициентами при соответствующих степенях 
являются 
- вероятности m успехов при n испытаниях.
Рассмотрим теперь два независимых случайных события 
и 
. Пусть вероятности успеха для каждого события равняются соответственно 
и 
.
Рассмотрим функцию 
При нулевой степени z стоит вероятность события 
- вероятность того, что ни в одном из испытаний успех не произойдет. Коэффициент при первой степени z равен вероятности события 
- успех произойдет только один раз. Наконец, коэффициент при z2 есть вероятность того, что успех произойдет в обоих испытаниях.
Обобщим на случай n испытаний, в которых успех может произойти с вероятностью pi: составим производящую функцию
(***)
Коэффициенты при степенях zi равны вероятностям i успехов при n испытаниях, когда для каждого i-того испытания вероятность успеха есть pi.
Пример.
Стрелок делает 3 выстрела по цели. При очередном выстреле он делает поправку, с каждым выстрелом улучшая результат. При первом выстреле он попадает в мишень с вероятностью p1=0.8, во втором – с вероятностью p3=0.85, в третьем – p3=0.90. Найти вероятности попасть в мишень 1, 2 и 3 раза.
Составляем производящую функцию:
Получим следующее представление:
Следовательно, вероятность трех попаданий при трех выстрелах 0.612, вероятность двух успехов – 0.329, вероятность одного успеха – 0,056. В сумме, как можем заметить, все коэффициенты равны 1.
Эта формула выводится так же, как мы выводили формулу для случайного распределения шариков по лункам: 
, учитывая то, что вероятность "успеха" каждого события своя.
Если число испытаний n велико, а наша задача заключается в том, чтобы найти вероятность числа успехов, скажем, не менее 10, нам придется затратить значительные усилия для вычисления. В этом случае используются предельные теоремы. В частности, следующая теорема (Пуассона), дает формулу приближенного вычисления при определенных условиях.