1. Графы. Определение

Граф G задается множеством точек или вершин х₁, х_г, . . ., х_п (которое обозначается через X) и множеством линий или ребер а₁,а₂, .

Если ребра из множества А ориентированы, что обычно показывается стрелкой, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным графом (рис. 1.1 (а)). Если ребра не имеют ориентации, то граф называется неориентированным (рис. 1.1(6)). В случае когда G =(X, А) является ориентированным графом и мы хотим пренебречь направленностью дуг из множества А, то неориентированный граф, соответствующий G, будем обозначать как

В этой книге, когда дуга обозначается упорядоченной парой, состоящей из начальной и конечной вершин (т. е. двумя концевыми вершинами дуги), ее направление предполагается заданным от первой вершины ко второй). Так, например, на рис. 1.1(а) обозначение относится к дуге а₁, а — к дуге а₂.

Другое, употребляемое чаще описание ориентированного графа G состоит в задании множества вершин X и соответствия Г, которое показывает, как между собой связаны вершины. Соответствие Г называется отображением множества X в X, а граф в этом случае обозначается парой G =(X, Г).

Для графа на рис. 1.1(а) имеем , т. е. вершины являются конечными вершинами дуг, у которых начальной вершиной является х₁.

Рис. 1.1.(а) Ориентированный граф, (б) Неориентированный граф, (в) Смешанный граф.

В случае неориентированного графа или графа, содержащего и дуги, и неориентированные ребра (см., например, графы, изображенные на рис. 1.1(6) и 1.1(в)), предполагается, что соответствие Г задает такой эквивалентный ориентированный граф, который получается из исходного графа заменой каждого неориентированного ребра двумя противоположно направленными дугами, соединяющими те же самые вершины. Так, например, для графа, приведенного на рис. 1.1(6), имеем и т. д.

Поскольку представляет собой множество таких вершин , для которых в графе G существует дуга , то через естественно обозначить множество вершин , для которых в G существует дуга . Отношение принято называть обратным соответствием. Для графа, изображенного на рис l.l(a), имеем

и т. д.

Вполне очевидно, что для неориентированного графа для всех .

Когда отображение Г действует не на одну вершину, а на множество вершин , то под понимают объединение,

т. е. является множеством таких вершин , что для каждой из них существует дуга в G, где . Для графа, приведенного на рис. 1.1(а), и .

Отображение записывается как . Аналогично «тройнoe» отображение записывается как и т. д. Для графа, показанного на рис. 1.1(а), имеем:

и т.д.

Аналогично понимаются обозначения и т. д