Свойства сравнений, подобные свойствам равенств

Свойство 1: Два числа, сравнимые с третьим, сравнимы между собою.

Свойство 2: Сравнения можно почленно складывать.

Доказательство: Пусть

a₁ º b₁(mod m), a₂ º b₂(mod m), …, a_k º b_k(mod m).

Тогда (п. 1, Теорема 1, 1)

a_l = b₁ + mt₁, a₂ = b₂ + mt₂, ..., a_k = b_k + mt_k, (2)

откуда

a₁ + a₂ +…+ a_k = b₁ + b₂+…+b_k + m(t₁ + t₂ +…+t_k)

или (п. 1, Теорема 1, 1)

a₁ + a₂ +…+ a_k º b₁ + b₂+…+b_k(mod m).

Свойство 3: Слагаемое, стоящее в какой-либо части сравнения, можно переносить в другую часть, переменив знак на обратный.

Доказательство: Складывая сравнение a+b º c(mod m) с очевидным сравнением – b º -b(mod m), получим a º с - b(mod m).

Свойство 4: К каждой части сравнения можно прибавить любое число, кратное модуля.

Доказательство: Складывая сравнение a º b(mod m) с очевидным сравнением mk º 0(mod m), получим а + mk = b(mod m).

Свойство 5: Сравнения можно почленно перемножать.

Доказательство: Рассмотрим снова сравнения (1) и вытекающие из них равенства (2). Перемножая почленно равенства (2), получим

a₁a₂...a_k = b₁b₂...b_k + mN,

где N - целое. Следовательно (п. 1, Теорема 1, 1),

a₁a₂...a_k = b₁b₂...b_k(mod m).

Свойство 6: Обе части сравнения можно возвести в одну а ту же степень.

Доказательство: Следует из предыдущего утверждения.

Свойство 7: Обе части сравнения можно умножить на одно и то же целое.

Доказательство: Перемножив сравнение a º b(mod m) с очевидным сравнением k º k(mod m), получим ak º bk(mod m).

Свойства 2 и 5 (сложение и умножение сравнений) обобщаются следующей теоремой.

Теорема 1: Если в выражении многочлена с целыми коэффициентами заменим числами , сравнимыми с прежними по модулю m, то новое выражение S будет сравнимо с прежним по модулю m.

Доказательство: Из

,

x₁ º y₁(mod m), …, x_k º y_k(mod m),

находим (Свойство 5)

,

,

откуда, суммируя, получим

.

Если

a º b(mod m), a₁ ºb₁(mod m),…, a_n º b_n(mod m), x º x₁(mod m).

то

.

Это утверждение есть частный случай предыдущего.

Свойство 8: Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если последний взаимно прост с модулем.

Доказательство: Из a º b(mod m), а = а₁d, b = b₁d, (d, m) = 1 следует, что разность а - b, равная (а₁ – b₁)d, делится на m. Поэтому (Глава 1, п. 2, Теорема 8) a₁ – b₁ делится на m, т.е. a₁ º b₁(mod m). 3