Основные понятия

Нашей ближайшей задачей будет изучение сравнений такого общего вида:

f(x) º 0(mod m); f(x) = axⁿ + a₁x^n-1 + ... +а_n.

Если а не делится на m, то n называется степенью сравнения.

Решить сравнение - значит найти все значения x, ему удовлетворяющие. Два сравнения, которым удовлетворяют одни и те же значения x, называются равносильными.

Если сравнению (1) удовлетворяет какое-либо x = х₁, то (глава 3, п. 2, Теорема 1) тому же сравнению будут удовлетворять и все числа, сравнимые с х₁ по модулю m: x º х₁(mod m). Весь этот класс чисел считается за одно решение. При таком соглашении сравнение (1) будет иметь столько решений, сколько вычетов полной системы ему удовлетворяет.

Пример: Сравнению

х⁵ + x + 1 º 0(mod 7)

среди чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 полной системы вычетов по модулю 7 удовлетворяют два числа: x = 2 и x = 4. Поэтому указанное сравнение имеет два решения:

x º 2(mod 7), x º 4(mod 7). 2