Центр параллельных сил. Центр тяжести

Rz=, или R= Зная координаты точек приложения параллельных сил, опреде­лим положение центра параллельных сил, применив теорему Вариньона о моменте равнодействующей. Для определения координаты хс центра параллельных сил со­ставим уравнение моментов сил относительно оси у. Получим Му(R)=

или

Rxc=

откуда

Xc=

Аналогично найдем Yc=

Для определения координаты 2с центра параллельных сил по­вернем сначала все силы на один и тот же угол а, например на угол а = (рис. 29), и составим уравнение моментов сил относительно оси х. Получим Rzc= откуда

Zc= Следовательно, координаты центра параллельных сил опреде­ляются по формулам

Xc= , Yc= , Zc=

Понятие о центре тяжести тела

Согласно закону всемирного тяготения, на все частицы тела, которое находится вблизи земной поверхности, действуют силы при­тяжения к Земле, называемые силами тяжести.

Силой тяжести, или весом, называется равнодействующая парал­лельных сил тяжести отдельных частиц тела. Силу тяжести будем обозначать буквой Р.

Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести отдельных частиц тела. Положение центра тяжести тела зависит только от формы тела и распределения в теле его частиц. Из курса физики известно, что, в зависимости от положения цент­ра тяжести, различают три формы равновесия: устойчивое, неустой­чивое и безразличное. Поэтому вопрос о центре тяжести рассматри­вается в статике. Центр тяжести неоднородного тела

Пусть неоднородное тело М произвольной формы (рис. 30) разбито на «элементов. Обозначим вес i-го элемента через ΔPi;. Точка приложения силы ΔPi; находится внут­ри элемента. Однако, где именно внутри элемента нахо­дится эта точка, мы не знаем. В зависимости от выбора координат этой точки, формулы (1.51), в которых следу­ет положить Fi = ΔPi, дадут нам приближенное значение координат центра тяжести тела. Для точного определения положения центра тяжести тела нужно в формулах (1.51) совершить предельный переход, считая, что объем каждого элемента стремится к нулю, а число элементов неограниченно возрастает (n ∞). Получим:

Xc=, Yc=, Zc=, где р — вес тела. Как известно из математического анализа, пределы сумм, стоя­щие в числителе формул (1.52), не зависят от выбора точек Аi (Xi, Yi, Zi) приложения сил ΔPi; и представляют собой интегралы вида

, , распространенные на весь объем V тела М.

Xc=, Yc=, Zc=,

Центр тяжести однородного тела Если тело однородно, то удельный вес его постоянный (γ=const). Тогда вес тела р будет равен р = γV , а dр = γdV. Здесь V обозначает объем тела, dV — элементарный объем. Подставляя эти значения в формулы (1.53), получим выражения для координат центра тяжести однородного тела:

Xc=, Yc=, Zc=, Как видно из формул (1.54), центр тяжести однородного тела является центром тяжести его объема. Интегралы, стоящие в числи­телях формул (1.54), называются статическими моментами объема тела относительно соответствующих координатных плоскостей. Так, интеграл есть статический момент тела относительно плоскости Оуz, интеграл — относительно Охz и интеграл —относительно плоскости Оху.

Центр тяжести площади плоской фигуры

Определение центра тяжести площади плоской фигуры в теоретической механике представляет особый интерес. Здесь возможны два случая: 1) плоская фигура ограничена ломаной линией (рис 31); 2) плоская фигура ограничена криволинейным контуром (рис 32). В первом случае фигуру разбивают на элементарные фигуры, положение центров тяжести которых известны, и применяют формулы для координат центра параллельных сил (1.51).

В случае однородной плоской фигуры сила тяжести пропорциональна ее площади р=γS, где S – площадь, γ – вес единицы площади. Тогда получим:

Xc=, Yc=

Если плоская фигура ограничена криволинейным контуром, то получим:

Xc=, Yc=

где интеграл , распространенный на всю площадь плоской фигуры, называется статическим моментом этой площади относительно оси у и

обозначается через Му.

Мх=, Му= .

Таким образом, формулы (1,56) принимает вид

Хс=, Yc=.

Центр тяжести линии

К этому понятию приходим, рассматривая однородное тело, например проволоку, с постоянной площадью поперечного сечения а и длинной l.

Итак, пусть требуется определить координаты центра тяжести линии АВ длиною l (рис 33). В случае однородной линии ее вес пропорционален длине (р=γ l), вес элемента dр = γdl, γ — вес единицы длины (γ = сonst). Следова­тельно, по формулам (1.53) получим

Xc=, Yc=, Zc=

Интегралы в (1.58) являются криволинейными

Графическое нахождение центра тяжести площади плоской фигуры

Положение центра тяжести площади плоской фигуры можно определить графически, как точку пересечения линий действия рав­нодействующих параллельных сил тяжести элементарных фигур, на которые расчленена рассматриваемая плоская фигура в данном положении и в повернутом на некоторый угол. Определяя графически центр тяжести площади плоской фигуры, сле­дует придерживаться такой последовательности: 1) разбить рассматриваемую фигуру на элементарные, положение центров тяжести, которых можно легко опреде­лить; 2) измерив площади всех указанных фигур в выбран­ном масштабе, приложить их силы тяжести, которые пропор­циональны соответствующим площадям (рис. 34), т. е. р1 = kS1; р2 = kS2; ...; рn = kSn, где (k — коэффициент пропорциональности. Если при этом рассматриваемая плос­кая фигура содержит вырезанные площади (отверстия), то соответствующие силы тяжести, как вычитаемые силы, сле­дует направить вертикально вверх (рис. 35); 3) далее нужно обозначить параллельные силы соответственно полями и с помощью веревочного многоугольника опре­делить линию действия равнодействующей; 4) повернув все силы на один и тот же угол, вновь следует опре­делить линию действия равнодействующей. Точка пересечения С указанных линий действия равнодействующих является центром тяжести рассматриваемой фигуры