§ 2. Поступательное движение твердого тела
Примером поступательного движения может служить движение спарника колес паровоза. Как известно, кривошипы О1А и О2В паровозных осей О1 и О2 соединяются спарником АВ (рис. 47). При этом О1О2 = АВ. При движении паровоза спарник АВ, оставаясь параллельным О1О2 совершает поступательное движение. Устанавливая основные свойства поступательного движения, докажем две теоремы. Теорема 1. При поступательном движении твердого тела точки его описывают одинаковые траектории. Доказательство. Действительно, пусть отрезок АМ соединяет две произвольные точки тела, совершающего поступательное движение. Положение точек А и М определим их радиусами-векторами rA и гM (рис. 48). Проведем вектор АМ = г, соединяющий точки А и М. Тогда rM=rA+r
где r постоянно по величине и направлению (г = const). Из соотношения (11.49) видим, что траектория точки М получается из траектории точки А параллельным смещением точек этой траектории на постоянный вектор r = АМ. Таким образом, траектории точек А и М будут одинаковыми кривыми, которые при наложении совпадают. Теорема 2. При поступательном движении твердого тела в каждый момент все его точки имеют равные скорости и ускорения. Доказательство. Действительно, дифференцируя (11.49), получим:
rM=rA+r
и, так как r= const, r=0. Следовательно,
rM=rA
или
υМ=υА Дифференцируя (11.50) по времени, получим ωМ=ωА где
ωМ=υМ, ωА= υА
Теорема доказана. Из изложенного следует, что изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения какой-нибудь одной его точки, т. е. к задаче кинематики точки. Уравнения поступательного движения тела имеют вид хА= хА(t), y=yА(t), zА= zА(t)