§ 4. Дифференциальные уравнения плоско-параллельного движения твердого тела

Как известно из кинематики (ч.II., гл. V, § 3), плоско-параллельное движение твердого тела определяется тремя независимыми параметрами: координатами хc и уc полюса (который выберем в центре инерции С тела) и углом поворота φ тела вокруг центра инерции (рис.

118). Следовательно, в данном случае тело имеет три степени свободы (k = 3). Поэтому составим три уравнения Лагранжа второго рода

(j=1,2,3).

Будем рассматривать координаты хc, уc и угол поворота φ, как обобщенные координаты: q1=xc, q2=yc, q3= φ

Пусть к телу приложена система сил F1, F2,…,Fn указанная на рис. 118. Вычислим обобщенные силы

где Rx, Ry — проекции главного вектора приложенных к телу внешних сил Fi на координатные оси Ох и Оу, а Мc — главный момент этих сил относительно оси Сz,перпендикулярной к плоскости движения.

Обобщенные силы соответственно равны

Кинетическая энергия тела согласно формуле (111.121) равна

где m — масса тела, Ic-его момент инерции относительно центральной оси Сz.

Вычисляя частные производные и и подставляя в урав-

нения Лагранжа второго рода, получим искомые дифференциальные уравнения плоско-параллельного движения твердого тела

или в векторной форме

mrc=R, Icε=Mc,

где ε=φ — угловое ускорение тела, гc = ωc — ускорение центра масс тела,

Мc — главный момент относительно точки С.

П р и м е р.

Колесо радиуса г и веса Р катится без скольжения по горизонтальной плоскости под действием силы F, приложенной в центре инерции колеса (рис. 119). Задан закон движения центра инерции колеса хc =

, уc = г.

Найти величину силы F, нормальную реакцию опоры N и коэффициент трения k колеса о плоскость.

Произведем анализ сил, действующих на колесо. На него действует сила F, сила тяжести Р и реакция горизонтальной плоскости, состоящая из нормальной реакции N и силы трения Fтр, которая направлена в сторону, противоположную движению колеса.

Применив уравнения (111.226), получим