§ 29. Правило отбрасывания Слупецкого
Я начну с двух терминологических замечаний: выражения типа Aaby lab, ЕаЪ и ОаЬ я называю простыми выражениями; первые два — простыми утвердитель-ными выражениями, третье и четвертое — простыми отрицательными выражениями.
Простые выражения, так же как и выражения типа:где все а представляют собой простые выражения, я называю элементарными выражениями. С помощью этой терминологии правило отбрасывания Слупецкого может быть сформулировано следующим образом:
Если аир — простые отрицательные выражения, а 7 — элементарное выражение, в таком случае, если Сау и Ср^ отбрасываются, то и СаС$у также должно быть отброшено.
Правило отбрасывания Слупецкого тесно связано со следующим металогическим принципом традиционной логики: «utraque si praemissa neget, nil inde sequitur» h Этот принцип, однако, не является достаточно общим, так как относится лишь к простым силлогизмам, состоящим из трех терминов. Другая формулировка того же принципа: «ех mere negativis nihil sequitur» , по-ви-димому, более общая, является ложной, когда она применяется не только к силлогизмам, но также и к другим выражениям силлогистики. Такие положения, как CEabEbaили СЕаЪОаЬ, ясно показывают, что нечто может следовать и из чисто отрицательных посылок. Правило Слупецкого является общим правилом, которое свободно от недостатков традиционных формулировок.
Поясним этот пункт подробнее, для того чтобы сделать ясным правило Слупецкого. Предложение Аас не следует ни из посылки АаЬу ни из посылки Abe, однако когда мы соединяем эти посылки, сказав: «АаЬ и АЬс», то мы получаем заключение Аас по модусу Barbara. Еас не следует ни из ЕЬс, ни из Aab: но из конъюнкции этих посылок «ЕЬс и АаЬ» мы получаем заключение Еас по модусу Celarent. В обоих случаях мы получаем из конъюнкции посылок некоторое новое предложение, которое не может быть результатом ни одной из них в отдельности.
Если мы, однако, имеем две отрицательные посылки, например ЕсЬ и ЕаЬ, мы можем, конечно, получить из первой заключение ОсЬу а из второй — ОсЬуно из конъюнкции этих посылок не может быть выведено ни одного нового предложения, за исключением тех, которые следуют из каждой из них в отдельности. В этом и состоит смысл правила отбрасывания Слупецкого: поскольку из двух отрицательных посылок нельзя вывести ничего, помимо того, что следует из каждой из них в отдельности, постольку если 7 не следует ни из а, ни из р, то оно не может следовать и из их конъюнкции. Правило Слупецкого так же очевидно, как и соответствующий принцип традиционной логики.Я покажу теперь, как это правило может быть применено к отбрасыванию неразрешимых выражений. Для этой цели я использую это правило в его символической форме, обозначая его через RS (правило Слупец-кого) :
RS. *Сос7, *Ср7 -> *СосСру.
Здесь, как и повсюду, я употребляю греческие буквы для обозначения переменных выражений, удовлетворяющих определенным условиям: так, аир должны быть простыми отрицательными выражениями силлогистики, 7 должно быть элементарным выражением в том смысле, как это объяснено выше, а все три выражения должны быть такими, чтобы Си СР7 можно было бы отбросить. Стрелка (—>) означает «следовательно».
Я хочу подчеркнуть, что RS — специфическое правило, имеющее силу лишь для отрицательных выражений а и J3 аристотелевской логики. Как мы уже видели, оно не может быть применено к утвердительным выражениям силлогистики. Оно не применимо и к теории дедукции. Это вытекает из следующего примера: выражения CNCpqrи CNCqpr— оба не истинные и должны быть отброшены, если операция отбрасывания введена в эту теорию, в то время как CNCpqCNCqprявляется ее положением. Так же и в алгебре предложение «а равно Ь» не следует ни из посылки «а не меньше 6», ни из посылки «Ь не меньше а», но оно следует из конъюнкции посылок.
В качестве первого применения нового правила я покажу, что выражение
*59а.
СКЕсЬЕаЫас,которое было отброшено аксиоматически, может быть теперь опровергнуто. Это видно из следующего вывода:
р/Еас, а/с, b/aX 79
ССЕасІсаСЕасІас 79 X С*80—*64 *80. CEacIca
*80 X *81. с/а, b/с, а/с *81. СЕсЫас
*64 X *82. Ь/с *82. СЕаЫас
RS. a/Ecb, §/Eab, y/IacX*81, *82->*83 *83. СЕсЬСЕаЫас
Правило RS применено здесь впервые, аир — простые отрицательные выражения, и у также простое вы-ражение. Из *83 с помощью закона экспортации VII мы получаем формулу *59а:
p/Ecb, q/Eab, r/IacX 84 84. CCKEcbEablacCEcbCEablac 84хС*59а —*83 *59а. CKEcbEablac
Из вышеизложенного следует, что правило Слупецкого сильнее нашего аксиоматически отброшенного вы-ражения *59а. Поскольку *59а должно быть вычеркнуто, формула *59, то есть СКАсЬАаЫас, остается единственным выражением, которое отбрасывается аксиоматически.
Второй раз я применю правило RS, чтобы повторно опровергнуть формулу (F3):
*64 X *85. й/с, с/а *85. CEadlcd
*85 X *86. Ь/а *86. CEbdlcd
RS. a/Ead, $/Ebd, ~{jlcd X *85, *86 -> *87 *87. CEadCEbdlcd.
*80 X *88. bja, d/a *88. CEbcIcd
RS. a/Ebc, ф/Ebd, т/ІсйХ*88,*86->*89 *89. CEbcCEbdlcd
RS. a/Ead, $/Ebc,T/CEbdlcd X *87, *89 -> *90 *90. CEadCEbcCEbdlcd *88 X *91. a/b *91. CEacIcd
RS. a/Eac, §/Ebd, i/IcdX*91, *86->*92 *92. CEacCEbdlcd
RS. a/Eac, §/Ebc,у/CEbdlcd X *92, *89 -> *93 *93. С EacC EbcC Ebdlcd
RS. a/Eac, $/Ead,у/CEbcCEbdlcdX*93; *90->*94 *94. С EacC EadC EbcC Ebdlcd *85 X *95. b/d *95. CEablcd
RS. a/Eab, $/Ebd,у/led X *95, *86 -> *96 *96. CEabCEbdlcd
RS. a/Ebc, ф/Ebc,у /С Ebdlcd X *96, *89->*97 *97. CEabC EbcC Ebdlcd
RS. a/Eab, $/Ead, -{/C EbcC Ebdlcd///!, *90^*98 *98. CEabC EadC EbcC Ebdlcd
RS. a/Eab, %/Eac, -(/C EadC EbcC Ebdlcd X *98, *94 -> *99 *99. CEabCEacCEadCEbcCEbdlcd
Правило RS используется в этом выводе 10 раз, а и р всегда являются простыми отрицательными выражениями, а у повсюду выступает как элементарное выражение. Таким же способом мы могли бы опровергнуть другие формулы формы (F4), а также формулу (FI) из параграфа 28. Однако производить такие вы-воды нет необходимости, так как мы можем теперь изложить общую проблему разрешимости.