§ 21. Объяснение символики
Настоящая глава не относится к истории логики. Ее цель — изложить систему немодальной силлогистики в соответствии с требованиями современной формальной логики и вместе с тем в тесной связи с идеями, выдвинутыми самим Аристотелем.
Современная формальная логика строго формальна.
Для того чтобы получить точно формализованную теорию, удобнее использовать специально созданную для зтой цели символику, нежели использовать обычный язык, подчиняющийся своим собственным грамматическим законам. Я поэтому начну с объяснения такой символики. Так как аристотелевская силлогистика предполагает почти всю элементарную часть пропозициональной логики, называемую теорией дедукции, то я поясню символические обозначения обеих этих теорий. В обеих теориях встречаются переменные и постоянные. Пере-менные обозначаются строчными, постоянные — пропис-ными латинскими буквами. Начальными буквами латин-ского алфавита а, Ь, с, dя обозначаю переменные термины аристотелевской логики. Эти переменные термины имеют в качестве своих значений общие термины, такие, например, как «человек» или «живое существо». Для обозначения логических констант я использую прописные буквы А, Е, Iи О, всегда употреблявшиеся в этом смысле средневековыми логиками.С помощью этих двух родов букв я образую четыре функции аристотелевской логики, при этом константы я записываю перед переменными:
АаЬ означает Всякое а есть b или
bприсуще всякому а, ЕаЬ ,, Ни одно а не есть bили
Ь не присуще ни одному а, 47. labозначает Некоторое а есть b или
bприсуще некоторому а, ОаЬ „ Некоторое а не есть bили
bне присуще некоторому а.
Константы А, Е, I и О называются функторами, а и b— их аргументами. Все аристотелевские силлогизмы составляются из этих четырех типов функций, связанных между собой словами «если» и «и». Эти слова также обозначают функторы, но функторы иного рода, чем ари-стотелевские константы: их аргументами являются не выражения для терминов, то есть конкретные, или переменные термины, а пропозициональные выражения, то есть предложения вида «Все люди суть живые существа», пропозициональные функции вида «АаЬ» или пропозициональные переменные.
Я обозначаю пропозициональные переменные через р, qyг, s, ..., функтор «если» — через С, функтор «и» — через К. Выражение Cpqозначает «Если р, то q»(слово «то» может быть опущено) и называется импликацией, в которой р — антецедент, a q— консеквент. С не принадлежит к антецеденту; оно только символизирует объединение антецедента с кон- секвентом. Выражение Kpqозначает «р и q»и называется конъюнкцией. Мы встретим в некоторых доказательствах третий функтор логики предложений — пропозициональное отрицание. Это функтор от одного аргумента и обозначается через N.Функцию Npзатруднительно выразить как на английском, так и на любом другом современном языке, поскольку не существует отдельного слова для обозначения пропозиционального отрицания L Мы могли бы выразить его словосочетанием: «неверно-что р» или «это-не-случай,-когда р». Ради краткости я буду употреблять выражение «не-р».Принцип моей системы обозначений состоит в напи-сании функторов перед аргументами. Таким путем я могу устранить скобки. Эта бесскобочная символика, которую я ввел и использовал в моих статьях по логике начиная с 1929 года , одинаково хорошо применима как в математике, так и в логике. Ассоциативный закон сложения выглядит в обычной системе обозначений следующим образом:
(а Ь) с = а -|- (Ъ -|- с),
и не может быть представлен без скобок. Однако если вы напишете функтор-j-перед его аргументами, то получите
(a -f— V)-f— с = —|—|— abcи а —(— (Ь —(— с) = —\- а —(— Ьс.
Ассоциативный закон может быть теперь записан без скобок:
—]—j— abc= —|— а —j— be•
Теперь я объясню некоторые выражения, которые будут записываться в этой системе символики. Символическое выражение силлогизма легко для понимания. Возьмем, например, модус Barbara:
Если всякое bесть с и всякое а есть 6, то всякое а есть с.
В символах он читается, как
CKAbcAabAac.
Конъюнкция посылок АЪс и АаЬ, а именно KAbcAab, служит антецедентом формулы, заключение Аас — ее консеквентом.
Некоторые выражения теории дедукции более сложны.
Рассмотрим символическое выражение гипотетического силлогизма:Если (если р, то q), то [если (если 9, то г), то (если р, то г)].
Это читается так:
CCpqCCqrCpr.
Для того чтобы понять строение этой формулы, необходимо помнить, что С является функтором от двух пропозициональных аргументов, которые следуют непосредственно после С, образуя вместе с С новое сложное пропозициональное выражение. Выражениями такого рода и являются импликации Cpq, Cqrи Срг, содержащиеся в формуле. Заключите каждую из них в скобки, вы получите выражение:
C(Cpq)C(Cqr)(Cpr).
Теперь вы можете легко обнаружить, что (Cpq) является антецедентом всей формулы, а ее остальная часть, то есть C(Cqr)(Cpr)—консеквентом, в свою очередь имеющим (Cqr) в качестве своего антецедента и (Срг) в качестве своего консеквента.
Таким же путем мы можем анализировать все другие выражения, например следующее, которое содержит, кроме С, еще Nи К:
CCKpqrCKNrqNp.
Напомним, что К, подобно С, — функтор от двух аргументов, а N— фактор от одного аргумента. Используя различного вида скобки, мы получаем выражение
С\С{Крд)г\ {С \K{Nr)q](Np)}.
Здесь [C(Kpq)r]— антецедент всей формулы, в то время как {С[/С (Nr) q] (Np)} — ее консеквент, содержащий конъюнкцию [K(Nr)q]в качестве своего антецедента и отрицание (Np)в качестве своего консеквента.