§ 36. Модальные функции и их соотношения

Аристотелем используются четыре модальных термина: dvapatov «необходимо», aSovaxov— «невозможно» Swaxov — «возможно» и e8oyo{isvov — «случайно». Последний термин двусмыслен: в трактате «Об истолковании» он означает то же самое, что и SOVOCTOV; в «Первой аналитике» он имеет, кроме этого, более сложное значение, которое я буду рассматривать ниже.

Согласно Аристотелю, только предложения являются необходимыми, невозможными, возможными или случайными.

чтобы человек был живым существом». Подобным же образом я буду выражать и другие модальности. Выражения типа: «Необходимо, что р», обозначаемые здесь через Lp, или «Возможно, что р», обозначаемое через Мр, — я называю «модальными функциями»; Lи М, которые соответствуют выражениям «необходимо, ЧТО» и «возможно, чТо», суть «модальные функторы», р — их «аргумент». Так как модальные функции являются пред-ложениями, я говорю, что Lи М представляют собой образующие предложение функторы от одного пропозиционального аргумента. Предложения, начинающиеся с L, или их эквиваленты называются «аподиктическими»; начинающиеся же с М, или их эквиваленты — «проблематическими». Немодальные предложения называются «ассерторическими». Эта современная терминология и символика помогут нам дать ясное изложение аристотелевской пропозициональной модальной логики.

Два модальных термина «необходимо» и «возможно» и их соотношения имеют в ней основное значение. В своем сочинении «Об истолковании» Аристотель ошибочно утверждал, что возможность подразумевает отсутствие необходимости, то есть в нашей терминологии:

(а) Если возможно, что р, то не необходимо, что р .

(б) Если необходимо, что р, то возможно, что р, а из

(Ь) и (а) при помощи гипотетического силлогизма следует, что:

Если необходимо, что р, то не необходимо, что р, а это нелепо . После дальнейшего изучения проблемы Аристотель правильно констатирует, что:

Если возможно, что р, то не необходимо, что не р , однако он не исправляет своей прежней ошибки в тексте сочинения «Об истолковании». Эта поправка дана в «Первой аналитике», где отношение возможности к необходимости имеет форму эквивалентности:

Возможно, что р, если и только если не необходимо, что не р .

Из этого я делаю вывод, что другое отношение — отношение необходимости к возможности, которое излагается в сочинении «Об истолковании» в виде импликации , также означает эквивалентность и может быть дано в форме:

Необходимо, что р, если и только если не возможно, что не р.

Если мы обозначим функтор «если (и только если» через Q , ставя этот знак перед его аргументами, и «не» — через V, то мы сможем символически выразить отношения (е) и (f)так:

QMpNLNp,то есть Мр — если и только если — NLNp,

QLpNMNp,то есть Lp— если и только если — NMNp.

Вышеприведенные формулы являются основными в любой системе модальной логики.