Тема 4.6 Бинарные отношения и их свойства.
Декартовым произведением двух множеств называется 
.
Бинарным отношением между множествами А и В называется всякое подмножество их декартового произведения.
Бинарное отношение – множество, состоящее из двоек чисел.
Если 
тогда бинарным отношением между А и В будет 2mn.
Среди всех бинарных отношений выделяют две и дают им следующие названия:
1. универсальное бинарное отношение – состоит из всех элементов множества 
.
2. нулевое бинарное отношение – не содержит ни одного элемента и совпадает с пустым множеством.
Бинарным отношением на множестве А называется любое подмножество 
Обратным бинарным отношением к бинарному отношению Р называется множество Р-1: 
.
Свойства бинарных отношений:
1) Бинарное отношение Р на множестве А называется рефлексивным, если для любого элемента х множества А, двойка чисел 
.
2) Бинарное отношение Р называется симметричным, если из того что двойка чисел 
следует, что 
.
Бинарное отношение Р называется антисимметричным если из того, что двойка чисел и следует, что 
.
3) Бинарное отношение называется транзитивным, если из того, что и 
следует, что 
.
4) Бинарное отношение Р называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Самостоятельная работа №10.
Контрольная работа
Вариант 1
Первый уровень сложности – задачи №№ 1,2,3 – оценка “удовлетворительно”
Второй уровень сложности – любые четыре задачи – оценка “хорошо”
Третий уровень сложности – все задачи – оценка “отлично”
1. Найти области истинности следующих предикатов:
а). «
на множестве действительных чисел R »
б). «
на множестве действительных чисел R »
в). « 
на множестве действительных чисел»
2. Дана формула 
. Являются ли вхождения переменной x свободными?
3. Высказывательная форма x+y=z , с переменными, упорядоченными по алфавиту и принимающими значения из множества однозначных натуральных чисел, задаёт предикат F(x,y,z) . Выпишите тройки чисел, компоненты которых находятся в отношении F.
4. Задано бинарное отношение 
. Определите свойства заданного бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, антисимметричность и транзитивность).
5. Пусть бинарные отношения P и S определены на М, где М-множество всех людей следующим образом:
P= {(x,y) | x,y M,x является отцом y}
S= {(x,y) | x,y M,x - дочь y}
Описать явно следующие отношения:
а). PS b) 
c). 
d) 
Вариант 2
Первый уровень сложности – задачи №№ 1,2,3 – оценка “удовлетворительно”
Второй уровень сложности – любые четыре задачи – оценка “хорошо”
Третий уровень сложности – все задачи – оценка “отлично”
1.
Найти области истинности следующих предикатов: а). «
x,y 
- множество действительных чисел»
б). «
на множестве действительных чисел R »
в). « 
если 
и 
»
2. Дана формула 
. Являются ли вхождения переменной x связанными?
3. Высказывательная форма « x – среднее арифметическое y и z » , с переменными, упорядоченными по алфавиту и принимающими значения из множества однозначных натуральных чисел, задаёт предикат F(x,y,z) . Выпишите тройки чисел, компоненты которых находятся в отношении F.
4. Задано бинарное отношение 
. Определите свойства заданного бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, антисимметричность и транзитивность).
5. Пусть бинарные отношения P и S определены на М, где М-множество всех людей следующим образом:
P= {(x,y) | x,y 
M, x является отцом y}
S= {(x,y) | x,y
M, x - дочь y}
Описать явно следующие отношения:
а). 
b) c). 
d) 
Вариант 3
Первый уровень сложности – задачи №№ 1,2,3 – оценка “удовлетворительно”
Второй уровень сложности – любые четыре задачи – оценка “хорошо”
Третий уровень сложности – все задачи – оценка “отлично”
1.
Найти области истинности следующих предикатов: а). «
x - множество действительных чисел»
б). «
на множестве натуральных чисел N »
в). « 
на множестве натуральных чисел N »
2. Дана формула . Являются ли вхождения переменных x и y связанными?
3. Высказывательная форма « y равен квадратному корню из произведения чисел x и z » , с переменными, упорядоченными по алфавиту и принимающими значения из множества однозначных натуральных чисел, задаёт предикат F(x,y,z) . Выпишите тройки чисел, компоненты которых находятся в отношении F.
4. Задано бинарное отношение 
. Определите свойства заданного бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, антисимметричность и транзитивность).
5. Пусть бинарные отношения P и S определены на М, где М-множество всех людей следующим образом:
P= {(x,y) | x,y M, x является матерью y}
S= {(x,y) | x,y M, x - сын y}
Описать явно следующие отношения:
а). PS b) c). SP d) 
Вариант 4
Первый уровень сложности – задачи №№ 1,2,3 – оценка “удовлетворительно”
Второй уровень сложности – любые четыре задачи – оценка “хорошо”
Третий уровень сложности – все задачи – оценка “отлично”
1. Найти области истинности следующих предикатов:
а). «
x,y - множество действительных чисел»
б).
«
на множестве действительных чисел R » в). « 
на множестве действительных чисел»
2. Дана формула . Являются ли вхождения переменной y связанными?
3. Высказывательная форма « x+y делится нацело на z » , с переменными, упорядоченными по алфавиту и принимающими значения из множества однозначных натуральных чисел, задаёт предикат F(x,y,z) . Выпишите тройки чисел, компоненты которых находятся в отношении F.
4. Задано бинарное отношение 
. Определите свойства заданного бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, антисимметричность и транзитивность).
5. Пусть бинарные отношения P и S определены на М, где М-множество всех людей следующим образом:
P= {(x,y) | x,y M, x является отцом y}
S= {(x,y) | x,y M, x - дочь y}
Описать явно следующие отношения:
а). 
b) 
c).PS d) 