Специальность 01.01.04 - геометрия и топология.
Актуальность темы. Настоящая работа посвящена изучению геодезических и коициркуляриых преобразований локально конформно квази- сасакиевых структур на многообразиях.
Интересно отмстить, что понятие преобразования встречается еще в трудах древнегреческого математика Аполлония Перігкого. Именно, в работе ’’Конические сечения” он рассматривал инверсии, причем нс только относительно окружности, но также эллипса, параболы и гиперболы. Тем самым истоки теории преобразований имеются в’’Конических сечениях” Аполлония [2]. Построение классической теории геодезических отображений, по существу, берет свое начало в середине 19 века в трудах итальянского геометра Э. Бельтрами 124], рассмотревшего отображение поверхности на плоскость при котором геодезические переходят в прямые, то есть в ігодезические на плоскости. Базовые теоретические результаты теории геодезических отображений римановых пространств были получены в работах Т. Леви-Чивита |29), который вывел основные уравнения теории геодезических отображений, а также Т. Томаса [31| и Г. Вейля [32], получивших основные инварианты геодезических отображений: проективные параметры Томаса и тензор Вейля проективной кривизны. С тех пор многие исследователи обращались к этой проблематике, изучая геодезические отображения псевдоримановых многообразий, наделенных дополнительной структурой. Теория наполнялась новым содержанием. Так, в се-
роди І ic 20 века Уэстлейком и Я но (33) было доказано, что кслеровы структуры не допускают нетривиальных геодезических отображений, сохраняющих комплексную структуру. Весомый вклад в формирование теории внесли одесские математики — Н.С. Синюков [22], [23] и его последователи И. Ми кеш [20], С.Г. Лейко [19] и другие [17], [б]. Они также исследовали отображения и преобразования римановых, эрмитовых и других структур на многообразиях. Об актуальности таких исследований говорит в своей монографии Н.С. Синюков |22]: ’’Теория геодезических отображений римановых пространств, а также ее обобщения представляют интерес с прикладной точки зрения. Известно, что на основании принципа наименьшего действия Якоби траектории движения консервативной склерономной го- лономной системы являются геодезическими линиями риманова пространства, основная метрическая форма которого определяется кинетической энергией системы |29]. Далее, в соответствии с первым законом Ньютона траектории свободных частиц, движущихся в гравитационном поле, и липни тока в некогерентной жидкости являются геодезическими линиями риманова пространства, основная метрическая форма которого определяется обобщенными ньютоновскими потенциалами гравитационного поля. Поэтому, два риманова пространства, допускающие геодезическое отображение друг на друга, описывают процессы, протекающие при эквивалентных внешних нагрузках по одним и тем же ’’траекториям”, ио при различных энергогических режимах. Следовательно, один из этих процессов можно моделировать другим”.
Сейчас вопросами проективных преобразований занимается, в частности, В.Ф. Кириченко |12| и его ученики Х.М. Абоуд [1], А.В. Никифорова |14] и другие. Более того, на сегодняшний день ведется активное изучение многообразий с фиксированными на них контактными структура-
ми. Поэтому естественно продолжить изучение геодезических преобразо ваний применительно к контактным структурам. Так. в работе В.Ф. Кириченко и Н.Н. Дондуковой [11] вводится понятие контактно-геодезического преобразования почти контактной метрической структуры как геодезического преобразования, сохраняющего почти контактную структуру. Taxi же авторами доказывается, что косимплсктические и сасакиевы структуры, а также структуры Кенмоцу не допускают нетривиальных контактногеодезических преобразований метрики. В продолжение обозначенной тематики нами рассматриваются контактно-геодезические преобразования квази-сасакисвых и локально конформно квази-сасакиевых структур.
Еще один интересный класс преобразований римановых пространств образуют конформные преобразования. Доказано |22|, что конформное преобразование метрики является геодезическим только в тривиальном случае. При этом в классе кон(|юрмных преобразований метрики псевдори- мапова многообразия выделяют нетривиальные конформные преобразования, которые сохраняют так называемые геодезические окружности или геодезические циклы — кривые, у которых первая кривизна постоянна, а остальные кривизны равны нулю. Такие преобразования называются хон- циркулярпыми. Основоположником данной теории является К. Яно [33|. Он получил критерий, позволяющий выделить конциркулярные преобразования из класса конформных, а также основные инварианты таких преобразований. Изучение конциркулярно-инвариаитпых свойств структур, является отдельной актуальной задачей современной дифференциальной (см. например, работы А. Фиалкова [26], Н.С. Синюкова [22], С.Г. Лейко [18]) и, в частности, контактной [15] геометрии. Наличие конциркуляриых преобразований позволяет ввести в рассмотрение особый класс почти контактных метрических структур, а именно, допускающих локально конциркулярное
преобразование в кпази-сасакиеву структуру. Такне структуры мы назвали локально конциркулярно квази-сасакиевыми и посвятили изучению их свойств вторую часть нашего исследования.
Цель диссертационной работы состоит в изучении ічюдезических и коициркуляриых преобразований локально конформно квази-сасакиевых структур на многообразиях. |
