Вейвлет-преобразование в теории случайных процессов и квантовой теории поля

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика.
Москва 2006

Введение 9
1 Основные сведения о непрерывном вейвлет-преобразовании 13
1.1 Об истории вейвлет-преобразования 13
1.2 Некоторые сведения из теории групп 18
1.3 Разложение по представлениям аффинной группы 20
1.4 Спектральная форма вейвлет-преобразования 23
1.5 Анализ локальной регулярности : . 24
1.6 Дуальные вейвлеты 25
2 Случайные процессы и квантовая теория поля 27
2.1 Квантовая теория поля как задача функционального анализа . 27
2.2 Случайные процессы и СДУ 30
2.3 Квантовая механика 37
2.4 Квантовая теория поля как задача статистической механики . 39
2.5 Сингулярности и перенормировка 41
2.6 Применение квантовополевых методов для описания классических
систем с большим числом степеней свободы 48
3 Многомасштабные случайные процессы 53
3.1 Самоподобие и зависимость от масштаба 53
3.2 Вейвлет-преобразование случайных функций 59
3.2.1 Случайные вейвлет-коэффициенты 60
3.2.2 Распределение энергии по масштабам 62
3.2.3 Дельта-коррелированные процессы 64
3.3 Многомасштабная стохастическая динамика 66
3.3.1 Уравнение Ланжевена 66
3.3.2 Итерационное решение стохастических уравнений 67
3.3.3 Уравнение КПЗ с масштабно-зависимой случайной силой . 71
3.3.4 Накачка с некоррелированными масштабными компонентами 73
3.3.5 Накачка на фиксированном масштабе 76
3.4 Непрерывное вейвлет-преобразование в стохастической гидродина-
мике 79
3.4.1 О многомасштабном описании турбулентности 79
3.4.2 Многомасштабное разложение уравнений Навье-Стокса с помощью непрерывного вейвлет-преобразования 80
3.4.3 Стохастическая гидродинамика с многомасштабной силой . 86
3.4.4 Диссипация и передача энергии по масштабам 94
3.4.5 Гипотезы Колмогорова 98
3.4.6 Заключительные замечания о многомасштабной теории турбулентности 101
4 Стохастическое квантование 103
4.1 О методе стохастического квантования 103
4.2 Операторный формализм Намики и Ямонака 105
4.3 Стохастическое квантование и теория возмущений 106
4.4 Многомасштабное стохастическое квантование 109
4.5 Поля Янга-Миллса 113
5 Квантовая механика иерархических систем 117
5.1 Иерархические системы и квантовая информация 117
5.2 Квантовое измерение 118
5.3 Волновая функция и матрица плотности иерархических систем . . 121
6 Вейвлеты и устранение расходимостей в теории поля 129
6.1 Ультрафиолетовые расходимости 129
6.2 Теория ф4 132
6.3 Коммутационные соотношения для многомасштабных полей . . . 138
7 Многомасштабные разложения и р-адическая теория поля 141
7.1 Геометрия и числовые поля в физике 141
7.2 Архимедовы и неархимедовы нормы в математической физике . . 142
7.3 Поле р-адических чисел 143
7.4 р-адическая квантовая теория поля 146
7.4.1 р-Адическая теория поля и евклидова теория поля 146
7.4.2 Геометрический подход к р-адической теории поля 148
7.5 О возможной связи неархимедовой геометрии с анизотропией реликтового излучения 154
7.5.1 Фрактальная геометрия распределения массы во Вселенной 154
7.5.2 Дискретные симметрии и квантовая гравитация 155
7.5.3 Дискретные симметрии как возможная причина анизотропии реликтового излучения 157
7.6 р-Адическое вейвлет-преобразование 160
7.6.1 Непрерывное вейвлет-преобразование над 160
7.6.2 р-адическое вейвлет-преобразование с вейвлетом Хаара . . 164
8 Некоторые приложения вейвлетов к биологии и анализу данных167
8.1 О биологических приложения вейвлетов 167
8.1.1 Многомасштабные разложения и первичная структура ДНК 167
8.1.2 Цветовые карты вейвлет-коэффициентов как инструмент ис-
следования первичной структуры нуклеотидных последовательностей 170
8.1.3 Дальние корреляции в первичной структуре нуклеотидных
последовательностей 172
8.2 Применение вейвлетов для разделения гауссовых пиков 181
8.2.1 Проблема разделения близколежащих пиков в ядерных экспериментах 181
8.2.2 Вейвлет-преобразование гауссовых пиков 183
8.2.3 Распределение с одним гауссовым пиком 184
8.2.4 Распределение с двумя гауссовыми пиками 185
8.2.5 Применение вейвлет-преобразования к калибровке пластиковых сцинтилляторов в эксперименте NEMO 186
Заключение 195
А Приложения 217
А.1 Вычисление однопетлевых интегралов в стохастической гидроди-
намике 217
А.1.1 Функция отклика 217
А.1.2 Корреляционная функция 219