01.04.03 - радиофизика.
Очень многие процессы в природе являются нестационарными и демонстрируют изменения во времени своих статистических свойств. Примерами могут служить переходные процессы в радиофизических устройствах, атмосферная и гидродинамическая турбулентность, нестационарные волны в океане, нестационарные геофизические и физиологические сигналы и т.д. Классические методы анализа структуры сигналов [1-5] представляют собой инструменты исследования стационарных случайных процессов; их применение для обработки нестационарных данных зачастую приводит к различным проблемам в интерпретации полученных результатов. В частности, наличие двух пиков в спектре мощности с некратными частотами может соответствовать
принципиально разным ситуациям: в динамике изучаемой системы могут од-новременно присутствовать два независимых ритма или может наблюдаться процесс переключения частоты, и в каждый момент времени удается зафиксировать только один ритмический процесс.
Довольно часто при исследовании экспериментальных данных используется идеология анализа систем с медленно-меняющимися параметрами: предполагается, что на небольших промежутках времени свойства процесса меняются незначительно, и его можно рассматривать как стационарный, применяя
классический аппарат статистической обработки. Такой подход следует признать эффективным, если нестационарность ассоциируется с низкочастотной областью спектра по отношению к динамике, представляющей интерес для исследователя. Если же свойства процесса даже на коротких временных промежутках успевают существенно поменяться, то есть два варианта
дальнейших действий - либо отказываться от классических методов анализа временных рядов и ориентироваться на специальные методики, либо тщательно проводить предварительную обработку экспериментальных данных, выбирая только те участки, на которых сигналы можно считать приближенно стационарными. Но даже при условии осуществления такой предварительной обработки данных может быть целесообразно проводить анализ структуры сигналов с применением наиболее универсальных методов, эффективно работающих независимо от свойства стационарности данных. Таких универсальных инструментов существует не так много. К числу наиболее известных и популярных подходов можно отнести метод аналитического сигнала, использующий преобразование Гильберта [1,6-8], метод анализа флуктуаций относительно тренда (АФТ) [9-12] и вейвлет-анализ [13-24].
Метод аналитического сигнала позволяет ввести понятие мгновенной амплитуды, фазы и частоты для узкополосного случайного процесса; с его помощью можно анализировать, каким образом мгновенная амплитуда и частота меняются во времени. Такой подход может быть эффективен при изучении взаимосвязи сигналов (например, при рассмотрении явления фазовой синхронизации в нестационарной динамике автоколебательных систем).
Техника АФТ является новым инструментом изучения эффектов длительных корреляций в структуре нестационарных случайных процессов. Основная идея этого метода состоит в переходе от анализируемого сигнала к одномерным «случайным блужданиям» [9]. Фактически, данный переход осуществляется путем приведения исходного сигнала к нулевому среднему значению и последующего вычисления интеграла с переменным верхним пределом. Далее рассматриваются отклонения «случайных блужданий» от прямой, описывающей локальный тренд на небольших участках процесса. Как показано в работах [9], вычисляемые методом АФТ величины связаны с характеристиками, описывающими спад корреляционной функции и частотную зависимость функции спектральной плотности мощности. Таким образом, с помощью данного подхода можно проводить спектрально-корреляционный анализ, причем, уже не ограничиваясь только стационарными случайными
процессами.
Вейвлет-анализ является наиболее мощным на сегодняшний день инструментом исследования структуры нестационарных данных [14-22]. К настоящему времени вейвлеты продемонстрировали свою эффективность при решении очень широкого круга задач, связанных с подавлением шумов, сжатием
больших объемов информации, анализом изображений, синтезом сигналов и т.д. Вероятно, еще не было ни одного математического подхода, который бы всего за 10 лет приобрел столь широкое прикладное значение в самых разных областях науки. Возможности вейвлет-анализа очень широки. Также, как и метод аналитического сигнала, он позволяет определять мгновенную амплитуду, фазу и частоту ритмических компонент нестационарных процессов, не
-7-
ограничиваясь при этом узкополосными сигналами. Взаимосвязь мгновенной фазы по Гильберту и мгновенной фазы, введенной на основе вейвлетов, продемонстрирована, в частности, в работе [25]. При изучении явления синхронизации в динамике систем с несколькими временными масштабами использование вейвлетов может быть более эффективным чем исследования на основе метода аналитического сигнала [26,27]. Это связано с тем, что вейвлетпреобразование является инструментом многомасштабного анализа, позволяющим одновременно анализировать структуру сигналов в разных диапазонах масштабов наблюдения.
С точки зрения изучения корреляционных свойств случайных процессов, базирующийся на вейвлет-преобразовании мультифрактальный формализм [28-38] обладает не только теми же возможностями, что и техника АФТ, но еще и рядом преимуществ, например, возможностью проводить спектральнокорреляционный анализ нестационарных случайных процессов по сигналам малой длительности [39]. Для метода АФТ требуется, во-первых, большая длительность временного ряда; во-вторых, АФТ менее эффективен при анализе корреляций на малых временных интервалах. Таким образом, из всех перечисленных методов исследования структуры нестационарных сигналов вейвлеты обладают наиболее широкими возможностями. |
