Оптимальные методы решения интегральных уравнений вольтерра й их приложения

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Пенза - 2004

Специальность 05.13.18. — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.
Актуальность темы. Аппарат интегральных уравнений прочно вошел в физику (теория волн на поверхности жидкостей, задачи спектроскопии, кристаллографии, акустики и т.д.), геофизику (задачи гравиметрии, сейсмики), механику (колебания конструкций), материаловедение (исследование вязкоупругости, ползучести и т.д.), теорию управления (определение импульсной функции линейной системы, задача оптимальной линейной фильтрации и т.д.), теорию надежности и массового обслуживания (задача восстановления и др.).
Кроме того развиваются новые направления, связанные с применением интегральных уравнении Вольтерра, в том числе некоторые разделы биологии (задача о распространении эпидемий, задача кинетики печени, моделирование внутри- и межклеточных взаимодействий и т.д.), иконика (восстановление искаженного изображения), томография (формирование объемных изображений объектов по наблюдаемым сечениям), экономика производства (динамические макроэкономические модели, модели развивающихся систем) [29, 30, 34, 42, 58, 67, 81, 83, 82, 84, 101, 106, 110, 118].
В связи с этим активно развиваются ставшие уже классическими метод механических квадратур, итерационные методы, проекционные методы решения ИУВ. В расчете на применение ЭВМ построен ряд методов, основанных на сочетании метода квадратур с аппроксимацией искомых решений или интегральных операторов в целом, а также методы типа Рунге-Кутта, блочные, на основе сплайнов и т.д.
Вместе с тем остаются открытыми такие вопросы как оптимальность по сложности и точности методов решения интегральных уравнении Вольтерра на различных классах дифференцируемых функций, построение эффективных при реализации на ЭВМ алгоритмов решения слабосингулярных уравнений Вольтерра. Практически не уделяется внимание многомерным уравнениям Вольтерра, численные методы решения которых имеют ряд существенных отличий от соответствующих методов для уравнений Фредгольма и допускают распараллеливание. Недостаточно разработаны численные методы для моделей развивающихся систем и экологии.
Цель работы. Работа посвящена построению оптимальных по точности и сложности алгоритмов решения одномерных и многомерных интегральных уравнений Вольтерра на различных классах функций; построению численных методов решения систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра, описывающих двух- и п—продуктовые модели экономики; построению численных методов решения систем нелинейных уравнений математической экологии.
Общая методика. При обосновании полученных результатов использовались теория проекционных методов, методы теории приближения функций, теория интегральных уравнений, методы оптимизации.
Краткое содержание работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложений.
В первой главе диссертации дан краткий обзор численных методов решения интегральных уравнений Вольтерра, известных к данному моменту оптимальных алгоритмов решения интегральных уравнений второго рода, результатов о поперечниках множеств. Также доказан ряд вспомогательных утверждений, используемых в работе.
Вторая глава посвящена построению оптимальных по точности и сложности алгоритмов решения одномерных и многомерных ИУВ второго рода на различных классах функций; построению эффективных численных методов решения одномерных и двухмерных слабосингулярных ИУВ; также изучается возможность ускорения вычислительного процесса при решении многомерных ИУВ за счет использования многопроцессорных компьютеров; исследуется эффект сверхсходимости приближенного решения многомерных ИУВ, полученного методом сплайн-коллокации.
В третьей главе работы строятся и обосновываются численные методы решения систем нелинейных интегральных уравнений, описывающих двухпродуктовые и п—продуктовые модели экономики.
Четвертая глава посвящена численному решению нового класса систем интегро-дифференциальных уравнений математической экологии, описывающих систему «хищник-жертва» и более общую систему «ресурс- потребитель».
В приложении к диссертации помещены тексты программ, реализующих алгоритмы, предложенные в работе, а также результаты решения модельных примеров.
Научная новизна. Основные результаты диссертации следующие:
1. Вычислены п—поперечники Бабенко и Колмогорова множеств Q* 7(П, Л/’
Q*I7(Q, Л/), В*>7(П), В*7(П) И построены оптимальные по порядку методы восстановления функций из этих классов;
2. Построены оптимальные по порядку по точности алгоритмы решения
ИУВ второго рода на классах функций Wr(l), Q*>7(fi, Л/), Q*>7(Q, Л/),
В*7(П), B‘7(Q) как в одномерном, так и в многомерном случае;
3. Разработан и обоснован эффективный численный метод решения одномерных и двухмерных слабосингулярных ИУВ;
4. Построены оптимальпые по сложности методы решения ИУВ на классах Q*7(Q, Л/), В*7(П) и слабосингулярных уравнений (C’^O, Т]);
5. Предложен принцип распараллеливания вычислительного процесса для решения многомерных ИУВ на многопроцессорных компьютерах;
6. Построено приближенное решение многомерпых ИУВ, обладающее свойством сверхсходимости;
7. Предложен и обоснован численный метод решения систем нелинейных интегральных уравнений, описывающих двух- и п—продуктовые модели экономики;
8. Построены два численных метода решения нелинейных "шрединге- ровских” систем уравнений;
9. На языке программирования C++ разработан пакет следующих программ:
• решения одномерных линейных ИУВ второго рода на классах функций ГИГ(1), Q;7(fi,AZ), B*7(Q);
• решения одномерных слабосингулярных ИУВ;
• решения двухмерных ИУВ второго рода;
• получения сверхсходящегося приближенного решения ИУВ;
• решения систем нелинейных интегральных уравнений теории развивающихся систем.
Апробация. Отдельные части работы докладывались на:
- VI-м Международном семинаре-совещании ’’Кубатурные формулы и их приложения” (г. Уфа, 2001 г.);
- Международных симпозиумах ’’Надежность и качество-2001”, ”Надежность и качество-2002”, ” Надежность и качество-2003” (г. Пенза 2001, 2002, 2003г.);
- ХИ-й и ХИІ-Й Международной школе-семинаре ”Синтез и сложность управляющих систем” (г. Пенза, 2001, 2002г.);
- Международной конференции по вычислительной математике ICCM- 2002 (г. Новосибирск, 2002г.);
- V-й Международной конференции ’’Дифференциальные уравнения и их приложения” (г. Саранск, 2002г.);
- Симпозиуме «Актуальные проблемы науки и образования» (Пенза, Ноябрь 2003);
- научных конференциях профессорско-преподавательского состава Пен зейского государственного университета.
Кроме того, доклады по теме диссертации были приняты, но по различным причинам не смогли были доложены на следующих конференциях:
- 2nd International Conference on Approximation Methods and Orthogonal Expansions (AMOE 2003) Tartu, Estonia, September 12-14,2003;
- VII-й Международный семинар-совещание ’’Кубатурные формулы и их приложения” (Красноярск, Август 2003 г.);
- Научная школа «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Саранск, Июль 2003.
Пакет программ, реализующих алгоритмы, разработанные в диссертации, зарегистрирован в Отраслевом Фонде Алгоритмов и Программ (ОФАП). Код по ЕПСД: 03524577.00694-01.
Комплект программ автора ’’Оптимальные методы решения интегральных уравнений Вольтерра” также используется в производственной деятельности ОАО Научно-производственное предприятие ’’Рубин” (акт о внедрении прилагается).
Публикации. По результатам диссертации опубликованы работы [16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 97, 98, 99, 100, 115]. Часть работ выполнена при поддержке Российского Гуманитарного Научного Фонда (грапт 01-02-00147а).

Глава I 10
1 Обзор численных методов решения уравнений Вольтерра
и их приложений 10
2 Классы функций 15
3 Вспомогательные утверждения 17
3.1 Оператор Вольтерра 17
3.2 Существование и единственность решения 19
3.3 Гладкость решения на классе Qr>y((0, Т]) 20
Глава II Оптимальные по точности и сложности алгоритмы решения ИУВ 23
1 Оптимальные методы восстановления функций из классов
м), Q” (п, м), в;,,(А), в;-(А) 23
2 Одномерные уравнения 33
2.1 Решение уравнений Вольтерра на классе функций М) 33
2.1.1 Обоснование метода 34
2.2 Решение уравнений Вольтерра на классе функций B*y(Q) . 36
2.3 Уравнения Вольтерра на классе функций Wr(l) 37
2.4 Слабосингулярные уравнения Вольтерра 38
2.5 Вычисление слабосиигулярных интегралов 42
2.5.1 Формула 1 42
2.5.2 Формула 2 43
2.6 Метод дискретных вихрей для слабосингулярных уравнений 44
з
З Решение многомерных уравнений Вольтерра 46
3.1 Описание вычислительной схемы 46
3.2 Обоснование метода 47
4 Сверхсходимость приближенного решения многомерных
интегральных уравнений Вольтерра 50
5 Решение двумерных слабосингулярных ИУВ 55
6 Схема распараллеливания 61
7 Оптимальные по сложности алгоритмы решения интегральных уравнений Вольтерра 63
7.1 Оптимальный алгоритм на классе Л/) 64
7.2 Оптимальный алгоритм на классе В*7(П) 66
7.3 Слабосингулярные уравнения 68
Глава III Приближенное решение нелинейных интегральных уравнений теории развивающихся систем 70
1 Двухпродуктовые модели
70
70
71 73 77
1.1 Постановка задачи
1.2 Описание метода
1.3 Теорема сходимости
1.4 Дискретизация метода
2 n-продуктовые модели 80
2.1 Постановка задачи 80
2.2 Описание метода 81
Глава IV Приближенное решение ’’шредингеровских” систем уравнений математической экологии 87
1 Введение
87
2 Постановка задачи 88
3 Система "хищник-жертва” 88
3.1 Описание модели 88
3.2 Метод сплайн-коллокации 89
4 Система ’’ресурс-потребитель” 94
4.1 Постановка задачи 94
4.2 Метод Ньютона-Канторовича 94
Литература 101
Глава V Приложения 116
А Листинги программ на языке C + + 116
А.1 Решение одномерных ИУВ на классе функций 1+г(М) . 117
А.2 Решение одномерных ИУВ на классе функций 6]) . . 123
А.З Решение одномерных ИУВ на классе функций В*7([а, Ь]) . . 129
А.4 Решение слабосингулярных уравнений Вольтерра 135
А.5 Вычисление слабосингулярных интегралов 143
А.6 Решение двухмерных уравнений Вольтерра с непрерывны
ми ядрами и ядрами из Q* 7 и В*7 145
А.7 Сверхсходимость приближенного решения одномерных ИУВ 153 А.8 Реализация двухпродуктовой модели 162
A. 9 Вспомогательные процедуры 168
В Решение модельных задач 175
B. 1 Решение одномерных ИУВ на классе функций Wr(M) . . . 175
В.2 Решение ИУВ на классах функций Q*7((o,6]) и В*7([а,Ь]) . 176
В.З Решение слабосингулярных уравнений Вольтерра 177
В.4 Решение двухмерных уравнений с ядрами из И/г,г, Q*7 и В*7179 В.5 Двухпродуктовая модель 180